BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IV

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

Giải:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm AB và CD.

Trong mặt phẳng (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.
Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) (Do E ∈ CD ⊂ (MCD))

⇒ N ∈ (MCD)

Mà N ∈ SB

Nên N = SB ∩ (MCD)

Câu 2: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Chứng minh MQ // RT

Giải:

Ta có M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD

⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD   (1)

Ta có R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD

⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD   (2)

Từ (1) và ( 2) suy ra MQ // RT

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Giải:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Câu 4: Câu 2: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).

Giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD .

Vì ABEF là hình bình hành nên BE // AF.

Mà BC và BE cắt nhau nằm trong mặt phẳng (BCE)

.

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Giải:

Ta có M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C', BCC'B' là hình bình hành suy ra MM' // CC'

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA'//CC'

Mặt phẳng ((AMC) //(A'M'C') nên AMC. AM'C' là hình lăng trụ

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác , gọi  là giao điểm của hai đường chéo  và . Một mặt phẳng  cắt các cạnh bên  tưng ứng tại các điểm . Chứng minh các đường thẳng  đồng qui.

Giải:

Trong mặt phẳng  gọi .

Ta sẽ chứng minh  .

Dễ  thấy .

Vậy  đồng qui tại .

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB

1. a) Chứng minh MN / / CD
2. b) Tìm giao điểm P của SC với ( AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh SI / / AB / / CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?

Giải:

1. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN / / AB

Mặt khác AB / / CD Þ MN / / CD   

1. b) Gọi O = AC Ç CD và E = SO Ç ND khi đó SE cắt SC tại P .

Xét 3 mặt phẳng (SAB); (SCD ) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI AB , và CD song song hoặc đồng quy.

Do AB / / CD nên SI / / AB / / CD

Ta có SI / / AB Þ  

Khi đó SI / / AB,  SI = AB  Þ SIBA là hình bình hành

Câu 3: Cho tứ diện ABCD. Gọi  và  lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng  song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)

Giải:

Gọi I là trung điểm CD

Vì  là trọng tâm của tam giác ACD nên  ∈ AI

Vì  là trọng tâm của tam giác BCD nên ∈ BI

 Ta có

AB  ⊂ (ABC)

Và AB ⊂ (ABD)

Câu 4: Cho hình chóp  có đáylà hình bình hành tâm , gọi  lần lượt là trung điểm của . Chứng minh

Giải:

Ta có  lần lượt là trung điểm của  nên  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh do đó .

Vậy .

Tương tự, Ta có  lần lượt là trung điểm của  nên  là đường trung bình của tam giác  ứng với cạnh do đó .

Vậy

Từ  và  ta có .

Câu 5: Cho hình hộp ABCD. A’B’C’D’. Gọi M là trung điểm AB, mặt phẳng (MA’C’) cắt cạnh BC tại N. Tính tỉ số .

Giải:

Do (MA’C’) chứa A’C’, mặt phẳng (ABC) chứa AC, mặt khác A’C’//AC nên giao tuyến của (MA’C’) và đáy (ABCD) là MN thì MN // AC.

Do M là trung điểm của AB nên MN là đường trung bình của tam giác ABC do đó .

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?

Giải:

Gọi E là trung điểm của AB. M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên

Theo định lí Ta-lét ta có MN // CD.

Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.

Câu 7: Cho tứ diện , là điểm huộc miền trong tam giác ,  là một điểm trên cạnh .

1. a) Dựng đường thẳng đi qua cắt cả và .
2. b) Gọi là một điểm trên cạnh sao cho  không song song với . Dựng đường thẳng đi qua  cắt  và .

Giải:

1. a) Trong gọi

Trong  gọi

Đường thẳng  chính là đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

1. b) Trong mặt phẳng gọi

Tronggọi , trong  gọi , thì  chính là đường thẳng đi qua  cắt cả  và .

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp ,  và  là hai điểm thuộc cạnh  và ,  là mặt phẳng qua  và song song với .

1. a) Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi.
2. b) Tìm điều kiện của để thiết diện là một hình thang.

Giải:

1. a) Ta có

.

Trong  gọi

Vậy

Từ đó ta có .

Thiết diện là tứ giác .

1. b) Tứ giác là một hình thang khi hoặc .

Trường hợp 1

Nếu  thì ta có  

Mà  (vô lí).

Trường hợp 2

Nếu  thì ta có các mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến là  nên

Đảo lại nếu thì  

 nên tứ giác  là hình thang.

Vậy để tứ giác  là hình thang thì điều kiện là .

Nên     

Câu 2: Cho hai hình vuông  và  ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo  và  lần lượt lấy các điểm  sao cho . Các đường thẳng song song với  vẽ từ  lần lượt cắt  và  tại  và . Chứng minh:

1. a) .
2. b) .

Giải:

1. a) Ta có

Tương tự .

Mà .

1. b) Vì và là các hìnhvuông nên .

Ta có

Từ , và ta được

.

Lại có .

Vậy .

Câu 3: Cho hình hộp  có tất cả các mặt đều là hình vuông cạnh . Các điểm  lần lượt trên  sao cho  .

1. a) Chứng minh khi biến thiên, đường thẳng luôn song song với một mặt phẳng cố định.
2. b) Chứng minh khi thì .

Giải:

1. a) Gọi là mặt phẳng qua và song song với . Gọi  là mặt phẳng qua  và song song với . Giả sử  cắt  tại điểm .

Theo định lí Thales ta có

Vì các mặt của hình hộp là hình vuuong cạnh  nên .

Từ  ta có , mà .

Mà .

Vậy  luôn song song với mặt phẳng cố định .

1. b) Gọi . Ta có

 suy ra  là trọng tâm của tam giác .

Tương tự  là trọng tâm của tam giác .

Gọi  là trung điểm của  ta có .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp  có đáy  là hình thang với đáy lớn là . Một mặt phẳng quay quanh  cắt  các cạnh  tại các điểm tương ứng .

1. a) Tìm tập hợp giao điểm của  và .
2. b) Tìm tập hợp giao điểm của  và .

Giải:

1. a) Phần thuận:

Ta có , .

Trong  gọi  .

.

Giới hạn:

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi  chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Phần đảo:

Lấy điểm  bất kì thuộc đoạn , trong gọi , trong  gọi  khi đó  là mặt phẳng quay quanh  cắt các cạnh  tại  và  là giao điểm của  và .

Vậy tập hợp điểm  là đoạn .

1. b) Ta có Nhưng nên .

Khi  chạy đến chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Khi chạy đến  thì  chạy đến và  chạy đến .

Lập luận tương tự trên ta có tập hợp điểm  là đoạn .

Câu 2: Cho hình chóp S ABCD. Đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.

1. a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD)
2. b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến của hai mặt phẳng ( ADJ ) và (BCI ) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB)và (SCD).

Giải:

1. a) Do AD / / BC nên giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) là đường thẳng qua J và song song với BC

Tương tự giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD) là đường thẳng qua I và song song với AD

1. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm AD, BC. JF, JE cắt nhau tại G

Qua J kẻ đường thẳng song song với BC cắt SB, SC tại H, K

Do AD / / BC nên giao tuyến của hai mặt phẳng (ADJ) và (BCI) là đường thẳng qua G và song song với BC.

Qua G kẻ đường thẳng song song với HK cắt AH, DK tại L, M

Giao tuyến (ADJ) và (BCI) giới hạn bởi hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đoạn thẳng LM

Áp dụng định lý Menelaus cho 3 điểm thẳng hàng I, G, F và tam giác SJE ta có

Gọi N = JM Ç AD

Do đó