Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 2 (P2)
Bộ câu hỏi tự luận toán 11 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài tập file word toán 11 cánh diều Ôn tập chương 2. Giá trị lượng giác của góc lượng giác . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 cánh diều
ÔN TẬP CHƯƠNG 2. DÃY SỐ, CẤP SỐ CỘNG, CẤP SỐ NHÂN (PHẦN 2)
Bài 1: Cho cấp số cộng (un) có u1 = −2 và công sai d = 3. Hỏi có bao nhiêu số hạng thỏa mãn điều kiện un < 11.
Trả lời:
Cấp số cộng có u1 = −2 và công sai d = 3 nên số hạng tổng quát của cấp số cộng là:
un = u1 + (n − 1) . d = −2 + 3(n − 1) = 3n − 5
Để un < 11 thì 3n − 5 < 11
Mà n nguyên dương nên n ∈ { 1,2,3,4,5}
Vậy có 5 số hạng của cấp số cộng thỏa mãn điều kiện
Bài 2: Viết ba số xen giữa các số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng. Tính tổng của ba số hạng xen giữa đó.
Trả lời:
Khi viết ba số xen giữa hai số 2 và 22 để được cấp số cộng có 5 số hạng thì:
u1 = 2 và u5 = 22.
+ Lại có: u + Lại có: u5 = u1 + (5 − 1) d nên 22 = 2 + 4d
⇔ 20 = 4d ⇔ d= 5
+Suy ra: u +Suy ra: u2 = u1 + d = 2 + 5= 7
u3 = u1 + 2d = 2 + 2 . 5 = 12
Và u4 = u1 + 3d = 2 + 3 . 5 = 17
=> u2 + u3 +u4 = 7 + 12 + 17 = 36
Bài 3: Cho cấp số cộng (un) có u5 = −10 và u15 = 60. Tổng của 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng
Trả lời:
Ta có:
Theo giả thiết ta có:
Tổng 20 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:
Bài 4: a) Cho dãy số có . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số
b) Cho dãy số có . Số 15 Là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số ?
Trả lời:
a) Giải phương trình ta được Vậy số hạng thứ 7.
b) Giải phương trình Vậy số hạng thứ 2.
Bài 5: Cho cấp số cộng có và .
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?
Trả lời:
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là
Vì nên
Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.
Bài 6: Cho cấp số cộng có và .
a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
b) Biết , tìm .
Trả lời:
Ta có
a) Ta có .
b) Vì nên .
Bài 7: Cho cấp số nhân có và
a) Tìm .
b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?
Trả lời:
a) Ta có
b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là
Vì nên
Bài 8: a) Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
b) Cho cấp số nhân có Tìm và công bội
Trả lời:
a) Gọi q là công bội của cấp số nhân .
Ta có
+ Với + Với và , ta có số hạng tổng quát là
+ Với + Với và , ta có số hạng tổng quát là
b) Ta có
Suy ra
Bài 9: a) Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
b) Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Tính tổng của số hạng đầu tiên của dãy số đó.
Trả lời:
a) Ta có .
Ta có hệ phương trình .
b) Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là
.
Bài 10: a) Cho cấp số cộng có . Tính .
b) Cho cấp số cộng có . Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.
Trả lời:
a) Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:
Suy ra .
b) Ta có và . Suy ra
Vậy .
Bài 11: Cho cấp số cộng thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .
Trả lời:
Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là
Giả sử . Khi đó
Theo giả thiết, ta có .
Bài 12: a) Cho cấp số nhân Tìm và
b) Cho cấp số nhân có và tìm và
Trả lời:
a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:
Với thì với thì
b) Ta có: nên theo giả thiế, ta có:
Suy ra
Bài 13: a) Cho cấp số nhân có và Tìm
b) Cho cấp số nhân có . Tính
Trả lời:
a) Ta có
Vì nên Do đó
hoặc
+ Với + Với thì
Suy ra
+ Với + Với thì
Suy ra
b) Ta có
Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được Lại có
Vì nên Suy ra
Bài 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:
Trả lời:
+ + Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.
Theo định lý Vi-ét, ta có
Theo tính chất của cấp số nhân, ta có . Suy ra ta có
+ + Điều kiện đủ: Với và thì nên ta có phương trình
Giải phương trình này, ta được các nghiệm là Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị
Vậy, và là các giá trị cần tìm.
Bài 15: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?
Trả lời:
Đặt và
Gọi là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ
Khi đó ta có
Suy ra là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội
Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là
Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:
mét khối gỗ.
Bài 16: Biết rằng tồn tại các giá trị của để ba số lập thành một cấp số cộng, tính tổng các giá trị đó của .
Trả lời:
Theo tính chất của cấp số cộng ta có:
+) +) .
+) +)
Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và ta tìm được nghiệm
Do đó .
Bài 17: Cho dãy số xác định bởi và Tổng
Trả lời:
Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra
Do đó
Vậy
Bài 18: Cho dãy số thỏa mãn Tìm có giá trị nguyên dương lớn nhất để
Trả lời:
Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có
Suy ra
Do đó
Vậy Vì nên
Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là .
Bài 19: Cho dãy số xác định bởi và . Số là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?
Trả lời:
Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:
.
Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .
Giải phương trình ta được
Bài 20: Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là và diện tích toàn phần là Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.
Trả lời:
Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là
Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là
Theo giả thiết, ta có
Với hoặc thì kích thước của hình hộp chữ nhật là
Suy ra tổng của ba kích thước này là cm.