Kênh giáo viên » Bài tập file word Toán 11 Cánh diều

Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 4 (P1)

Bộ câu hỏi tự luận toán 11 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài tập file word toán 11 cánh diều Ôn tập chương 4 (P1). Giá trị lượng giác của góc lượng giác . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 cánh diều

ÔN TẬP CHƯƠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG (PHẦN 1)

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một tứ giác lồi. Gọi M, N, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD. Gọi J là giao điểm của AC và BD.

a. Chứng minh ME, NF, SJ đồng quy.

b. Chứng minh M, N, E, F đồng phẳng.

Trả lời:

a.Trong (SAC) gọi I là giao điểm của ME và SJ.

Ta có: ME là đường trung bình của tam giác SAC nên ME // AC

Suy ra MI // AC, mà M là trung điểm của SA

Nên I là trung điểm của SJ.

Suy ra: FI là đường trung bình của tam giác SJD

Suy ra FI // JD

Tương tự có: NI // JB nên N, I, F thẳng hàng

Vậy ME, NF, SJ đồng quy tại I.

b. Do I là giao điểm của ME và NF nên ME và NF xác định một mặt phẳng

Suy ra: M, N, E, F đồng phẳng.

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC.

a. Chứng minh MN // (BCD).

b. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (DMN) và (DBC). Xét vị trí tương đối của d và mặt phẳng (ABC).

Trả lời:

a. Ta có: MN là đường trung bình của tam giác ABC

Suy ra: MN // BC

Mà BC nằm trong mặt phẳng (BCD)

Vậy: MN // (BCD).

b. Vì MN // (BCD)

Nên (DMN) đi qua MN cắt (BCD) theo giao tuyến d đi qua D và song song với MN.

Mà MN nằm trong (ABC)

Do đó: d // (ABC).

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Trả lời:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có: OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có: MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với đáy ABCD có các cạnh đối diện không song song với nhau và M là một điểm trên cạnh SA. Tìm giao điểm của đường thẳng SB với mặt phẳng (MCD).

Trả lời:

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm AB và CD.

Trong mặt phẳng (SAB) gọi N là giao điểm của ME và SB.
Ta có: N ∈ EM ⊂ (MCD) (Do E ∈ CD ⊂ (MCD))

⇒ N ∈ (MCD)

Mà N ∈ SB

Nên N = SB ∩ (MCD)

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD, O là giao điểm của AC và BD, M là trung điểm SA. Tìm thiết diện của mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD nếu (α) qua M và song song với SC và AD.

Trả lời:

Vì (α) // AD nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAD) và (ABCD) theo hai giao tuyến song song với AD.

Tương tự (α) // SC nên (α) cắt hai mặt phẳng (SAC) và (SCD) theo hai giao tuyến song song với SC.

Có OM // SC (đường trung bình tam giác SAC)

Qua O kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AB và CD tại Q và P

Qua M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD tại N

Theo nhận xét trên ta có MN // PQ // SC

Vậy thiết diện là hình thang MNPQ.

Bài 6: Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh . Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng

a) và

b) và

Trả lời:

a) Trong gọi

Và

b) Trong gọi , ta có .

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm M thuộc cạnh SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng

a) (SAC) và (SBD); b) (SAC) và (MBD).

Trả lời:

a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Suy ra

Lại có

Do đó

Lại có

Do đó

Bài 7: Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh IJ // CD

Trả lời:

Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và BD

⇒ MN là đường trung bình của tam giác BCD nên MN // CD (1)

Do I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD

⇒ AI/AM = AJ/AN = 2/3

⇒ IJ // MN (định lí Ta-let đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: IJ // CD

Bài 8: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Chứng minh IJ // AB // CD // EF

Trả lời:

Xét tam giác SAB do I; J lần lượt là trung điểm của SA; SB suy ra IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác) (1)

Xét tam giác SCD do E; F lần lượt là trung điểm của SC và SD suy ra EF là đường trung bình

⇒ EF // CD (2)

Mà ABCD là hình bình hành nên AB// CD (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Bài 9: Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB

a) Chứng minh MN / / CD

b) Tìm giao điểm P của SC với ( AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh SI / / AB / / CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?

Trả lời:

a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN / / AB

Mặt khác AB / / CD Þ MN / / CD

b) Gọi O = AC Ç CD và E = SO Ç ND khi đó SE cắt SC tại P .

Xét 3 mặt phẳng (SAB); (SCD ) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI AB , và CD song song hoặc đồng quy.

Do AB / / CD nên SI / / AB / / CD

Ta có SI / / AB Þ

Khi đó SI / / AB, SI = AB Þ SIBA là hình bình hành

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA.

Trả lời:

Qua M vẽ đường thẳng song song với BD cắt AD tại N và cắt AC tại I

Qua M, I, N vẽ các đường thẳng song song với SA lần lượt cắt SB, SC, SD tại R, Q, P.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR

Bài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không?

Trả lời:

Vì M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, AD nên MN, NP, MP lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC, ACD, ABD

⇒ MN//BC, NP//CD, PM //BD

Mà BC, CD, BD thuộc (BCD)

MN, NP, PM không thuộc (BCD)

⇒ Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD)

Bài 12: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng: .
b) Chứng minh rằng: .

c) Gọi là giao điểm của và là điểm thuộc sao cho . Chứng minh .

Trả lời:

a) Ta có là đường trung bình trong

Suy ra .

Tương tự ta có .

(hai mặt phẳng có cặp cạnh song song cắt nhau). b) Ta có: .

Lại có .

c) Do

Theo định lý Talet ta có:

Mặt khác: .

Do suy ra .

Bài 13: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm của và .
c) Gọi là trọng tâm của . Chứng minh rằng .
d) Gọi là trung điểm , chứng minh rằng .

Trả lời:

a) Ta có: là đường trung bình trong tam giác suy ra .

Lại có: là đường trung bình trong tam giác nên .

Do vậy .

b) Trong mặt phẳng gọi khi đó chính là giao điểm của và .

c) Dễ thấy lần lượt là trọng tâm tam giác do đó

d) Do và lần lượt là trung điểm của và nên (tính chất đường trung bình).

Mặt khác và lần lượt là trung điểm của và nên .

Do vậy .

Bài 14: Cho hình lăng trụ tam giác có các cạnh bên là . Gọi và tương ứng là trung điểm của hai cạnh và .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao điểm của với mặt phẳng .
c) Tìm giao tuyến của và .

Trả lời:

a) Ta có và .

Mặt khác và nên :

và

là hình bình hành

b) Ta có :

Tương tự :

Đặt . Ta có : .

Vậy là giao điểm của và mặt phẳng .

c) Ta có :

Tương tự :

Vậy .

Bài 15: Cho hình lăng trụ tam giác . Gọi là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến của và .

Trả lời:

a) Ta có tứ giác là hình bình hành suy ra cắt tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó (đường trung bình của tam giác ).

Mặt khác nên .

b) Ta có :

là điểm chung của và ,

mà

nên và .

Bài 16: Cho hình hộp ABCD. A'B'C'D'. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CD và CC'.

a) Xác định đường thẳng đi qua M đồng thời cắt AN và A'B.

b) Gọi I, J lần lượt là giao điểm của với AN và A'B. Hãy tính tỉ số

Trả lời:

a) Giả sử đã dựng được đường thẳng cắt cả AN và BA'.

Gọi I, J lần lượt là giao điểm củavới AN và BA'.

Xét phép chiếu song song lên (ABCD) theo phương chiếu A'B.

Khi đó ba điểm J, I, M lần lượt có hình chiếu là B, I', M.

Do J, I, M thẳng hàng nên B, I', M cũng thẳng hàng.

Gọi N' là hình chiếu của N thì AN' là hình chiếu của AN.

Vì .

Từ phân tích trên suy ra cách dựng:

Lấy

Trong (ANN') dựng II' // NN' (đã có NN' // CD') cắt AN tại I.

Vẽ đường thẳng MI , đó chính là đường thẳng cần dựng.

b) Ta có MC = CN' suy ra MN' = CD = AB.

Do đó I' là trung điểm của BM .

Mặt khác II' // JB nên II' là đường trung bình của tam giác MBJ, suy ra IM = IJ .

Bài 17: a) Vẽ hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

b) Vẽ hình biểu diễn của một lục giác đều.

Trả lời:

a) Vẽ tam giác tam giác vuông nội tiếp trong một đường tròn . Qua O ta kẻ hai dây ME và NF của elip lần lượt song song với AC và AB. Khi đó, tứ giác MNEF là hình biểu diễn của một hình vuông nội tiếp trong một đường tròn.

b) Xét hình lục giác đều ABCDEF , ta nhận thấy:

- Tứ giác OABC là hình thoi - Tứ giác OABC là hình thoi

- Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O - Các điểm D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng của các điểm A, B, C qua tâm O

Từ đó, suy ra cách vẽ hình biểu diễn của lục giác đều ABCDEF như sau:

- Vẽ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC. - Vẽ hình bình hành O'A'B'C' biểu diễn cho hình thoi OABC.

- Lấy các điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A' B'C'D'E'F' của hình lục giác đều ABCDEF. - Lấy các điểm D', E', F' lần lượt đối xứng với các điểm A', B' C' qua O', ta được hình biểu diễn A' B'C'D'E'F' của hình lục giác đều ABCDEF.

Bài 18: Hình thang có thể là hình biểu diễn của một hình bình hành không.

Trả lời:

Hình thang không thể coi là hình biểu diễn của hình bình hành vì hai cạnh bên của hình thang không song song còn cặp cạnh đối của hình bình hành thì song song (tính song song không được bảo toàn).

Bài 19: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau. Đường thẳng a cắt (α) và (β) lần lượt tại A và C. Đường thẳng b song song với a cắt (α) và (β) lần lượt tại B và D.

Hình sau minh họa nội dung trên đúng hay sai?

Trả lời:

Sai vì

Ta có định lí: Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song

Theo đề bài ta có (α) // (β)

a//b nên A,B,C,D thuộc mặt phẳng

AB là giao tuyến của (α) và (ABDC)

CD là giao tuyến của (β) và (ABDC)

⇒ AB // CD (theo định lí)

Hình đề bài cho không biểu diễn được AB // CD

Bài 20: Cho hình chóp S ABCD. Đáy là hình thang với các đáy AD = a, BC = b. Gọi I J, lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD, SBC.

a) Tìm đoạn giao tuyến của (ADJ ) với mặt (SBC) và đoạn giao tuyến của (BCI ) với mặt (SAD)