Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 4 (P3)
Bộ câu hỏi tự luận toán 11 cánh diều. Câu hỏi và bài tập tự luận Bài tập file word toán 11 cánh diều Ôn tập chương 4 (p3). Giá trị lượng giác của góc lượng giác . Bộ tài liệu tự luận này có 4 mức độ: Thông hiểu, nhận biết, vận dụng và vận dụng cao. Phần tự luận này sẽ giúp học sinh hiểu sâu, sát hơn về môn học toán 11 cánh diều
ÔN TẬP CHƯƠNG 4. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ SONG SONG (PHẦN 3)
Bài 1: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng ( IBC) là hình gì?
Trả lời:
+ Ta tìm giao tuyến của mp (IBC) và (SAD)
+ Trong mặt phẳng (SAD) có: Ix // AD
Gọi giao điểm của Ix và SD là J
⇒ IJ // BC
⇒ thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là hình thang IBCJ.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O . Gọi M là trung điểm của SA. Thiết diện của mặt phẳng (P) với hình chóp S.ABCD là hình gì? biết (P) là mặt phẳng qua điểm M và song song với SC; AD.
Trả lời:
+ Qua M kẻ các đường thẳng MQ // AD và MO // SC
Ta có: SC và AD lần lượt song song với mặt phẳng (OMQ) nên (OMQ) ≡ (P)
+ Dễ dàng tìm được: (OMQ) ∩ (ABCD) = NP, với NP // MQ // BC và O ∈ NP. Từ đó ta có:
vậy thiết diện tạo bởi (P) và hình chóp là hình thang MNPQ
Bài 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD // BC và AD = 2 BC, M là trung điểm SA. Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
Trả lời:
+ Ta có:
⇒ Mx // BC // AD; gọi Mx cắt SD tại N
⇒ Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp( MBC) là tứ giác MNCB
+ Ta có: MN // AD // BC nên MNCB là hình thang
Lại có MN // AD và M là trung điểm SA
⇒ MN là đường trung bình của tam giác SAD và MN = (1/2)AD = BC
⇒ thiết diện MNCB là hình bình hành.
Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có AD không song song với BC. Gọi M; N; P; Q; R; T lần lượt là trung điểm của AC; BD; BC; CD; SA và SD. Chứng minh MQ // RT
Trả lời:
Ta có M và Q lần lượt là trung điểm của AC; CD
⇒ MQ là đường trung bình của tam giác CAD nên MQ // AD (1)
Ta có R; T lần lượt là trung điểm của SA; SD
⇒ RT là đường trung bình của tam giác SAD nên RT // AD (2)
Từ (1) và ( 2) suy ra MQ // RT
Bài 5: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
Trả lời:
Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB
⇒ MN // AB
Tương tự ta có PQ // AB; MQ // CD và NP // CD
Suy ra MN song song với PQ vì cùng song song với AB
MQ song song với PN vì cùng song song với CD
⇒Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD
Bài 6: Cho tứ diện ABCD; M, N, P,Q lần lượt là trung điểm AC; BC; BD; AD. Tìm điều kiện để MNPQ là hình thoi.
Trả lời:
Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AC; CB
⇒ MN là đường trung bình của tam giác ACB
⇒ MN // AB
Tương tự ta có PQ // AB; MQ // CD và NP // CD
Suy ra MN song song với PQ vì cùng song song với AB
MQ song song với PN vì cùng song song với CD
⇒Tứ giác MNPQ là hình bình hành.
Tứ giác MNPQ là hình thoi khi MQ = PQ ⇔ AB = CD
Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Chứng minh mặt phẳng (BCE) song song với mặt phẳng (ADF).
Trả lời:
Vì ABCD là hình bình hành nên BC // AD .
Vì ABEF là hình bình hành nên BE // AF.
Mà BC và BE cắt nhau nằm trong mặt phẳng (BCE)
.
Bài 8: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / SB, NP/ / CD, MQ/ / CD
a) Chứng minh rằng PQ / / SA
b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ . Chứng minh rằng SK / / AD / / BC
Trả lời:
Ta có
Lại có
(Định lý Ta-let)
Từ (1) và (2) suy ra
b) Xét 3 mặt phẳng (SAD); (SBC) và ( ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK, AD, BC
Suy ra SK, AD, BC song song hoặc đồng quy.
Mặt khác
Bài 9: Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .
a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và )
b) Bốn điểm đồng phẳng.
Trả lời:
a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác .
Vậy
Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .
Vậy minh đồng qui .
b) Do nên và xác định một mặt phẳng.
Suy ra đồng phẳng.
Bài 10: Cho hình chóp S ABCD đáy là hình thang ( AB là đáy lớn). Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, SB
a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD); (SCD) và (IJK ).
b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK ).
c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK) .
d) Xác định thiết diện của hình chóp và (IJK ). Thiết diện là hình gì?
Trả lời:
a) Do AB / / CD ⇒ Giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD .
Giả sử (IJK) ∩ (SAB) = KP với P ∈ SA
Ba mặt phẳng (ABC); (IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ, AB , và PK nên chúng song song hoặc đồng quy.
Mặt khác AB / / IJ ⇒ PK / / AB / / IJ
b) Do PK / / AB mà KS = KB ⇒ P là trung điểm của SA.
Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD suy ra PI / / SD ⇒ SD không cắt (IJKP).
c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA.
d) Ta có thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJK) là tứ giác IPKJ
Có KP/ / IJ (chứng minh trên) suy ra thiết diện IPKJ là hình thang.
Bài 11: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q là các điểm lần lượt nằm trên BC, SC, SD, AD sao cho MN / / BS, NP / / CD, MQ / / CD.
a) Chứng minh PQ / / SA
b) Gọi K = MN / / PQ. Chứng minh SK / / AD / / BC
c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx / /SC,Qy/ /SB. Tìm Qx ∩ (SAB) và Qy / / (SCD)
Trả lời:
a) Ta có
Tương tự ta có
Từ (l) và (2) suy ra
.
b) Hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) có 2 điểm chung là S và K
nên SK = (SBC) ∩ (SAD)
Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC), (SAD) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK, BC, AD
mà BC / / AD nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK / / AD / / BC
c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = CQ ∩ BA, G = BQ ∩ CD.
Trong mặt phẳng (SCQ) dựng Qx / / CS cắt SE tại F thì Qx ∩ (SAB) = F
Tương tự trong mặt phẳng (SBG) dựng Qy / / BS cắt SG tại H thì Qy ∩ (SCD) = G.
Bài 12: Cho hình chóp tứ giác với đáy có các cạnh đối diện không song song với nhau và là một điểm trên cạnh .
a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .
Trả lời:
a) Trong mặt phẳng , gọi .
Trong gọi .
Ta có và nên .
b) Trong gọi .
Trong gọi .
Ta có và nên .
Bài 13: Cho hình chóp , có đáy là hình bình hành tâm . Gọi lần lượt là trung điểm của .
a) Chứng minh rằng .
b) Tìm giao tuyến và .
c) Tìm giao tuyến của và . Suy ra giao điểm của và . d) Gọi . Chứng minh rằng .
Trả lời:
a) Ta có là đường trung bình trong tam giác nên .
Tương tự là đường trung bình trong tam giác nên .
Do vậy .
b) Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với và .
c) Gọi .
Do nên giao tuyến của và đi qua và song song với .
Trong mặt phẳng gọi .
d) Ta có: do đó lần lượt là trọng tâm tam giác và
Khi đó .
Bài 14: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.
Trả lời:
Ta có M, M' lần lượt là trung điểm của BC, B'C', BCC'B' là hình bình hành suy ra MM' // CC'
Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA'//CC'
Mặt phẳng ((AMC) //(A'M'C') nên AMC. AM'C' là hình lăng trụ
Bài 15: Cho hình chóp S ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của SA và SB
a) Chứng minh MN / / CD
b) Tìm giao điểm P của SC với ( AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I . Chứng minh SI / / AB / / CD . Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?
Trả lời:
a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN / / AB
Mặt khác AB / / CD ⇒ MN / / CD
b) Gọi O = AC ∩ CD và E = SO ∩ ND khi đó SE cắt SC tại P .
Xét 3 mặt phẳng (SAB); (SCD ) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI AB , và CD song song hoặc đồng quy.
Do AB / / CD nên SI / / AB / / CD
Ta có SI / / AB ⇒
Khi đó SI / / AB, SI = AB ⇒ SIBA là hình bình hành
Bài 17: Cho tứ diện ABCD. Gọi và lần lượt là trọng tậm của các tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD)
Trả lời:
Gọi I là trung điểm CD
Vì là trọng tâm của tam giác ACD nên ∈ AI
Vì là trọng tâm của tam giác BCD nên ∈ BI
Ta có
AB ⊂ (ABC)
Và AB ⊂ (ABD)
Bài 18: Cho tứ diện ABCD. M là trọng tâm của tam giác ABC. Hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là điểm nào sau đây?
Trả lời:
Gọi E là trung điểm của AB. M, N lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC, ABD nên
Theo định lí Ta-lét ta có MN // CD.
Vậy hình chiếu song song của điểm M theo phương CD lên mặt phẳng (ABD) là trọng tâm của tam giác ABD.
Bài 19: Vẽ hình biểu diễn của tứ diện ABCD lên mặt phẳng (P) theo phương chiếu AB (AB không song song với (P))
Trả lời:
Vì phương chiếu l là đường thẳng AB nên hình chiếu của A và B chính là giao điểm của AB và (P).
Do đó
Các đường thẳng lần lượt đi qua C, D song song với AB cắt (P) tại C', D' thì C', D' chính là hình chiếu của C, D lên (P) theo phương AB.
Vậy hình chiếu của tứ diện ABCD là tam giác A'C'D'.
Bài 20: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Xác định các điểm M, N tương ứng trên các đoạn AC', B'D' sao cho MN song song với BA' và tính tỉ số
Trả lời:
Xét phép chiếu song song lên mặt phẳng (A'B'C'D') theo phương chiếu BA'.
Ta có N là ảnh của M hay M chính là giao điểm của B'D' và ảnh AC' qua phép chiếu này.
Do đó ta xác định M, N như sau
Trên A'B' kéo dài lấy điểm K sao cho A'K = B'A' thì ABA'K là hình bình hành
nên AK // BA' suy ra K là ảnh của A trên AC' qua phép chiếu song song.
Gọi .
Đường thẳng qua N và song song với AK cắt AC' tại M.
Ta có M,N là các điểm cần xác định.
Theo định lí Thales, ta có