Bài tập file word Toán 11 Cánh diều Ôn tập chương 8 (P3)

ÔN TẬP CHƯƠNG 8. QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN (PHẦN 3)

Bài 1:  Cho tứ diện ABCD có AC = a; BD = 3a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Biết AC vuông góc với BD. Tính MN.

Trả lời:

Gọi P là trung điểm của AB

⇒ PN; PM lần lượt là đường trung bình của tam giác ABC và ABD.

Suy ra

Ta có AC ⊥ BD ⇒ PN ⊥ PM hay tam giác PMN vuông tại P

Do đó

Bài 2: Cho tứ giác ABCD có AC và BD giao nhau tại O; điểm S không thuộc mp(ABCD). Trên đoạn SC; lấy 1 điểm M không trùng với S và C. Gọi K là giao điểm của SO và AM. Tìm giao điểm của đưởng thẳng SD và mp( ABM).

Trả lời:

   + Chọn mặt phẳng phụ chứa SD là mp(SBD)

   + Ta tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBD) và (ABM)

Ta có: B ∈ (SBD) ∩ (ABM)    (1)

Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD .

Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AM và SO.

Ta có:

- K  - K ∈ SO ⊂ (SBD)

- K  - K ∈ AM ⊂ (ABM)

⇒ K ∈ (SBD) ∩ (ABM)     (2)

Từ (1) và (2) suy ra: giao tuyến của (ABM) và (SBD) là BK

   + Trong mặt phẳng (SBD), gọi N là giao điểm của SD và BK

⇒ N là giao điểm của SD và mp (ABM)

Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, M là một điểm trên cạnh SC, N là trên cạnh BC. Gọi O = AC ∩ BD, J = AN ∩ BD và gọi I = SO ∩ AM. Tìm giao điểm của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN)

Trả lời:

Trong mp (SBD), gọi K = IJ ∩ SD

Ta có I ∈ AM ⊂ (AMN), J ∈ AN ⊂ (AMN)

⇒ IJ ⊂ (AMN)

Do đó K ∈ IJ ⊂ (AMN) ⇒ K ∈ (AMN)

Vậy K = SD ∩ (AMN)

Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I; J; E; F lần lượt là trung điểm của SA; SB; SC và SD. Tìm đường thẳng song song với IJ.

Trả lời:

   + Xét tam giác SAB có IJ là đường trung bình

⇒ IJ // AB (tính chất đường trung bình trong tam giác)    (1)

   + Xét tam giác SCD có EF là đường trung bình

⇒ EF // CD    (2)

   + Mà ABCD là hình bình hành nên : AB// CD    (3)

Từ( 1); (2) và (3) suy ra: IJ // AB // CD // EF

Bài 5: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Giả sử tam giác AB’C và A’DC’ đều có ba góc nhọn. Góc giữa hai đường thẳng AC và A’D là góc nào?

Trả lời:

Bài 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các mặt là hình vuông.

Tính góc (A’C’, BD).

Trả lời:

Tứ giác ACC’A có các cặp cạnh đối bằng nhau nên đó là một hình bình hành. Do đó, .

Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và cạnh SA vuông góc với các cạnh AB, AC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

Trả lời:

Vì SA vuông góc với hai đường thẳng AB và AC nên SA ⊥ (ABC). Suy ra SA ⊥ BC.

Tam giác ABC vuông tại B nên BC ⊥ BA.

Vì BC vuông góc với hai đường thẳng SA và BA nên BC ⊥ (SAB)

Bài 8: Cho tứ diện  có là tam giác vuông tại  và . Chứng minh .

Trả lời:

Ta có  nên .

Do đó  

Bài 9: Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng và . Gọi  là góc giữa cạnh bên và đáy. Tính  theo .

Trả lời:

Gọi  là trung điểm ,  là chân đường cao hạ từ .

Ta có .

 vuông tại  nên:

.

Trong tam giác vuông  ta có:

.

Góc giữa cạnh bên và đáy là .

Bài 10: Cho hai mặt phẳng  và  song song với nhau và một điểm  không thuộc  và . Qua  có bao nhiêu mặt phẳng vuông góc với  và ?

Trả lời:

Qua  dựng đường thẳng  vuông cóc với  và . Khi đó có vô số mặt phẳng xoay quanh  thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 11: Cho hình chóp tứ giác , có đáy  là hình thoi tâm  cạnh bằng  và góc , cạnh  và  vuông góc với mặt phẳng . Trong tam giác  kẻ  tại . Tính số đo góc .

Trả lời:

Ta có  ; .

với  là hình chiếu của  lên ,  là hình chiếu của  lên .

Bài 12: Cho tứ diện đều . Góc giữa  và  bằng . Tính .

Trả lời:

Đặt . Gọi  là trung điểm của .

Tam giác  đều cạnh  nên  và .

Tam giác  đều nên  và .

Do đó, .

Tam giác  có .

Bài 13: Cho hình chóp  có đáy là hình thoi tâm  cạnh  và có góc . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đáy  và . Gọi  là trung điểm  và  là trung điểm . Góc giữa hai mặt phẳng  và  là?

Trả lời:

 đều nên . Mặt khác  (1).

Do  (2).

Từ (1) và (2), suy ra

Vậy, góc giữa và  bằng

Bài 14: Cho hình chóp  có đáy là nửa lục giác đều  nội tiếp trong đường tròn đường kính và có cạnh  vuông góc với mặt phẳng đáy với . Khoảng cách từ  và đến mặt phẳng  lần lượt là?

Trả lời:

.

Bài 15: Cho hình chóp có cạnh và  là tam giác đều cạnh bằng . Biết  và là trung điểm của . Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng?

Trả lời:

Ta có

:  (Định lý 3 đường vuông góc)

.

 (vì tam giác BCD đều).

Ta có:

.

Bài 16: Cho hình chóp có đáy là hình vuông cạnh . Đường thẳng  vuông góc với mặt phẳng đáy, . Gọi  là trung điểm của . Khoảng cách từ  đến  nhận giá trị nào?

Trả lời:

Khoảng cách từ  đến :

Bài 17: Cho hình chóp  có đáy là hình vuông cạnh , , . Gọi  là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Gọi  lần lượt là trung điểm của  và .

Ta có

.

Ta có

 .

Bài 18: Cho khối chóp  có  vuông góc với(ABC), đáy  là tam giác vuông cân tại , , góc giữa  và  là . Tính thể tích khối chóp .

Trả lời:

Ta có  là hình chiếu của  lên  suy ra góc giữa  và  là góc .

Tam giác  vuông cân tại ,   .

Xét  vuông tại  có

.

Ta có

  .

Bài 19: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc với CD, AB = CD = 6. M là điểm thuộc cạnh BC sao cho MC = x.BC (0 < x < 1). Mặt phẳng (P) song song với AB và CD lần lượt cắt BC, DB, AD, AC tại M, N, P, Q. Diện tích lớn nhất của tứ giác bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có

Mặt khác, AB ^ CD

Vì MQ//AB nên

Theo giả thiết MC = x.BC

Vì MN//CD nên

Diện tích hình chữ nhật MNPQ là

Ta có

Vậy diện tích tứ giác MNPQ lớn nhất bằng 9 khi M là trung điểm của BC.

Bài 20: Cho tứ diện  trong đó, ,  vuông góc với nhau từng đôi một và, ,. Khoảng cách từ  đến đường thẳng  bằng?

Trả lời:

+ Dựng  + Dựng  .

+  + , cắt  cùng nằm trong .

.

Xét trong  vuông tại  có  là đường cao ta có:

  .

+ Ta dễ chứng minh được  + Ta dễ chứng minh được   vuông tại .

Áp dụng hệ thức lượng trong  vuông tại ta có:

 .