CHƯƠNG IV: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1: ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có và Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng 

1. a) và .
2. b) và .

Giải:

1. a) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng
2. b) Giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình thang . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

1. a) và
2. b) và

Giải:

1. a) Gọi O là giao điểm của AC và BD.

, là hai điểm chung của và nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng .

1. b) Gọi I là giao điểm của AD và BC.

, là hai điểm chung của và nên giao tuyến của mặt phẳng và mặt phẳng là đường thẳng

Câu 3: 

1. a) Cho bốn điểm không đồng phẳng, ta có thể xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng phân biệt từ bốn điểm đã cho ? 
2. b) Trong mp, cho bốn điểm , , , trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Điểm . Có mấy mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên?
3. c) Cho 2 đường thẳng cắt nhau và không đi qua điểm . Xác định được nhiều nhất bao nhiêu mặt phẳng bởi a, b và A ?

Giải:

1. a) Do bốn điểm không đồng phẳng nên không tồn tại bộ ba điểm thẳng hàng trong số bốn điểm đó. Cứ ba điểm không thẳng hàng xác định một mặt phẳng nên số mặt phẳng phân biệt có thể lập được từ bốn điểm đã cho là
2. b) Điểm cùng với hai trong số bốn điểm , , , tạo thành một mặt phẳng, từ bốn điểm ta có cách chọn ra hai điểm, nên có tất cả mặt phẳng tạo bởi và hai trong số bốn điểm nói trên.
3. c) Có 3 mặt phẳng gồm .

Câu 4: Cho tứ diện . Gọi , lần lượt là trung điểm và . Mặt phẳng qua cắt và lần lượt tại , . Biết cắt tại . Chứng minh I, B, D thẳng hàng.

Giải:

Ta có cắt tại .

.

.

Vậy , , thẳng hàng.

Câu 5: Cho hình chóp tứ giác với đáy có các cạnh đối diện không song song với nhau và là một điểm trên cạnh .

1. a) Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng .
2. b) Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng .

Giải:

1. a) Trong mặt phẳng , gọi .

Trong gọi. 

Ta có và nên .

1. b) Trong gọi . 

Trong gọi . 

Ta có và nên .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp tứ giác , là một điểm trên cạnh , là trên cạnh . Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng.

Giải:

Trong mặt phẳng gọi . 

Trong gọi và .

Ta có .

Do đó . 

Vậy

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là trung điểm của cạnh . Gọi là giao điểm của đường thẳng vơí mặt phẳng . Khi đó tỉ số bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi . Ta có: ; .

Suy ra .

Xét tam giác có hai đường trung tuyến và cắt nhau tại điểm . Vậy là trọng tâm tam giác . Vậy ta có .

Câu 3: Cho hình chóp , đáy là hình thang với là đáy lớn , là trọng tâm tam giác . Mặt phẳng cắt cạnh tại . Khi đó, tỷ số bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi là trung điểm của

Ta có:

Suy ra, I là trung điểm của BM

Xét

Câu 4: Cho tứ diện . Gọi là một điểm bên trong tam giác và là một điểm trên đoạn . Gọi là hai điểm trên cạnh , . Giả sử cắt tại , cắt tại và cắt tại , cắt tại . Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng:

Giải:

Do là giao điểm của và nên (1)

Ta có là giao điểm của và

Mà , nên

(2)

Từ (1) và (2) có

Câu 5: Cho hình chóp , đáy là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song, điểm thuộc cạnh . 

1. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và
2. b) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và
3. c) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng: và
4. d) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng và

Giải:

1. a) Gọi

Lại có .

1. b) .

Và

1. c) Trong gọi

Và

1. d) Trong gọi , ta có .

Câu 6: Cho tứ diện , là một điểm thuộc miền trong tam giác , là điểm trên đoạn .

1. a) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .
2. b) Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt phẳng .
3. c) Gọi là các điểm tương ứng trên các cạnh và sao cho không song song với . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Giải:

1. a) Trong gọi , trong gọi

Lại có .

1. b) Tương tự, trong gọi , trong gọi

là điểm chung thứ hai của và nên .

1. c) Trong gọi , ; trong gọi .

Có ,

Mà 

Câu 7: Cho tứ diện . Trên và lấy các điểm và sao cho cắt tại , cắt tại , cắt tại . Chứng minh thẳng hàng.

Giải:

Ta có .

Tương tự

Từ (1),(2) và (3) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là trọng tâm của tam giác . Mặt phẳng đi qua cắt lần lượt tại . Một mặt phẳng đi qua cắt tương ứng tại và . Gọi .  Chứng minh thẳng hàng.

Giải:

Ta có , (1)

Từ (1),(2),(3) và (4) ta có là điểm chung của hai mặt phẳng và nên chúng thẳng hàng.

Câu 2: Cho tứ giác và . Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SCtại M. Xác định các giao điểm K, L của IJ và DJ với . Chứng minh A, K, L, M thẳng hàng.

Giải:

* Tìmgiao điểm

∙ Chọn mp phụ

∙Tìmgiao tuyến của và , S là điểm chung của và . Trong , gọi

∙Trong , gọi mà

Vậy:

* Xác địnhgiao điểm

∙ Chọn mp phụ

∙Tìmgiao tuyến của và , S là điểm chung của và

Trong , gọi

Trong , gọimà

Vậy:

* Chứng minh A,K,L,Mthẳng hàng

Ta có:A là điểm chung của và

∙mà

∙mà

⇒ Klà điểm chung của và

mà

mà

⇒ Llà điểm chung của và

mà

mà

⇒ M là điểm chung của và

Vậy: Bốn điểm A,K,L,M thẳng hàng

Câu 3: Cho hình chóp tứ giác , có đáy là hình thang với là đáy lớn và là một điểm trên cạnh .

1. a) Xác định giao tuyến của các mặt của hình chóp với mặt phẳng .
2. b) Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh . Xác định giao tuyến của các mặt của hình chóp với.

Giải:

a)

Trong mặt phẳng , gọi .

Trong mặt phẳng gọi .

Ta có nên , do đó .

Vậy ; ; ; ; .

b)

Trong mặt phẳng gọi lần lượt là các giao điểm của với và

Trong mặt phẳng gọi

Trong mặt phẳng gọi .

Ta có ,

Vậy

Tương tự .

Vậy ; ; ; ;

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho tứ diện đều có các cạnh bằng . Gọi là trung điểm , là điểm thuộc cạnh sao cho là điểm thuộc cạnh sao cho . Tính độ dài đoạn giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng của hình chóp theo .

Giải:

Trong mp , gọi .

Trong mp, gọi .

Khi đó .

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác với ba điểm thẳng hàng ta có:

Áp dụng định lý cosin vào tam giác ta có:

Câu 2: Cho tứ diện có lần lượt là trung điểm của và là điểm thuộc cạnh ( không là trung điểm ). Gọi là giao điểm của với là giao điểm của với . Chứng minh .

Giải:

Trong mp , gọi (P không phải là trung điểm đoạn BC nên MP cắt AC)

Trong mp, gọi

Do nên

Ta có:

do đồng phẳng nên

(Do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).Từ đây suy ra

Giả sử . Khi đó ta suy ra

Suy ra

Do J là trung điểm của PQ.

Ta có:

Chứng minh tương tự ta cũng có:

Từ (1,2,3) suy ra . Điều này dẫn đến M, N, J thẳng hàng. Như vậy I trùng J.

Điều này suy ra .

Câu 3: Cho tứ diện có cạnh bằng a. Trên tia đối của các tia CB, DA lần lượt lấy các điểm E, F sao cho . Gọi M là trung điểm của đoạn Diện tích của hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt (ABC), (ACD), (ABD) của tứ diện với mặt phẳng là bao nhiêu?

Giải:

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của với .

Trong mặt phẳng , gọi là giao điểm của và .

Ta có: .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tam giác MHK.

+ Tính diện tích tam giác .

Dễ thấy lần lượt là trọng tâm của các tam giác và .

Ta có: .

Xét hai tam giác và có chung, nên hai tam giác này bằng nhau. Suy ra . Vậy tam giác cân tại .

Áp dụng định lí cosin trong tam giác :

.

Gọi là trung điểm của đoạn . Ta có .

Suy ra: .

Diện tích là: .