BÀI 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tìm tập xác định của các hàm số
a) y=sin⁡3x
b) y=cos⁡2x
c) y=cos⁡x;
d) y=sin⁡1+x1-x

Giải:

1. a) Đặt t=3x, ta được hàm số y=sin⁡t có tập xác định là D=R. Mặt khác, tRx=t3R nên tập xác định của hàm só y=sin⁡3x là R.
2. b) Ta có 2xRx≠0. Vậy tập xác định của hàm só́ y=cos⁡2x là D=R∖{0}
3. c) Ta có xRx≥0. Vậy tập xác định của hàm số y=cos⁡x là D=[0;+∞).
4. d) Ta có

1+x1-xR1+x1-x≥0⇔-1≤x<1

Vạy tập xác định của hàm số y=sin⁡1+x1-x là D=[-1;1).

Câu 2: Xét tính chẵn lẻ của hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Do tập xác định nên .

Ta có . Vậy hàm số là hàm số chẵn.

1. b) Tập xác định .

Ta có

. Vậy hàm số đã cho là hàm số lẻ.

Câu 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau trên các khoảng cho trước

1. a) trên đoạn
2. b) trên đoạn
3. c) trên khoảng

Giải:

1. a) Theo lí thuyết: Hàm số

Đồng biến trên các khoảng

Nghịch biến trên các khoảng

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng và đồng biến trên khoảng   

1. b) Theo lí thuyết: Hàm số

Đồng biến trên các khoảng

Nghịch biến trên các khoảng

Suy ra đồng biến trên khoảng và nghịch biến trên khoảng

1. c) Theo lí thuyết: hàm số đồng biến trên các khoảng

Suy ra với hàm số đồng biến trên khoảng và       

Câu 4: Vẽ đồ thị của hàm số trên đoạn

Giải:

Câu 5: Xác định chu kì tuần hoàn của các hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Hàm số tuần hoàn với chu kì
2. b) Hàm số tuần hoàn với chu kì

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số
a) y=xcos⁡3x
b) y=1+cos⁡x1-cos⁡x
c) y=x3sin⁡2x;
d) y=x3-sin⁡xcos⁡2x

Giải:

1. a) Kí hiệu f(x)=xcos⁡3x. Hàm số có tập xác định D=R.

Ta có với xD thì -xD và

f(-x)=(-x)cos⁡3(-x)=-xcos⁡3x=-f(x).

Vậy y=xcos⁡3x là hàm số lẻ.

1. b) Biểu thức f(x)=1+cos⁡x1-cos⁡x xác định khi và chỉ khi

cos⁡x≠1⇔x≠2kπ,kZ

Vậy tập xác định của hàm sớ y=1+cos⁡x1-cos⁡x là D=R∖{2kπ,kZ}.

Với xD thì -xD và f(-x)=f(x).

Do đó hàm số đã cho là hàm số chẵn.

1. c) Tập xác, định D=R, do đó với xD thì -xD. Ta có

f(-x)=(-x)3sin⁡2(-x)=x3sin⁡2x=f(x).

Vậy y=x3sin⁡2x là hàm số chẵn.

1. d) Biểu thức f(x)=x3-sin⁡xcos⁡2x có nghĩa khi và chỉ khi cos⁡2x≠0

⇔2x2+kπ,kZx4+k2,kZ.

Vậy tập xác định của hàm só là

D=R∖4+k2,kZ

Với xD thì -xD và f(-x)=-x3+sin⁡xcos⁡2x=-f(x), do đó hàm só y=x3-sin⁡xcos⁡2x là hàm số lẻ.

Câu 2: 

1. a) Chứng minh rằng cos⁡12(x+4kπ)=cos⁡x2 với mọi số nguyên k. Từ đó vẽ đồ thị hàm số y=cos⁡x2;
2. b) Dựa vào đồ thị hàm số y=cos⁡x2, hãy vẽ đồ thị hàm só y=cos⁡x2.

Giải:

4. a) Ta có cos⁡12(x+4kπ)=cos⁡x2+2kπ=cos⁡x2 với mọi kZ, do đó hàm số y=cos⁡x2 tuần hoàn với chu kì 4. Vì vậy ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm só y=cos⁡x2 trên một đoạn có độ dài 4, rồi tịnh tiến song song với trục Ox các đoạn có độ dài 4 ta sẽ được đồ thị hàm số y=cos⁡x2.

Hơn nữa, vì y=cos⁡x2 là hàm số chẵn, nên ta chỉ cần vẽ đồ thị hàm só đó trên đoạn [0;2] rồi lấy đối xứng qua trục tung, sẽ được đồ thị hàm số trên đoạn [-2;2].

1. b) Ta có cos⁡x2={cos⁡x2,nếu cos⁡x2≥0 -cos⁡x2,nếu cos⁡x2<0.

Vì vậy, từ đồ thị hàm số y=cos⁡x2 ta giữ nguyên những phần đồ thị nằm phía trên trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành những phần đồ thị nằm phía dưới trục hoành, ta được đồ thị hàm số y=cos⁡x2 .

Câu 3: Xác định tất cả các giá trị của tham số để hàm số là hàm chẵn.

Giải:

Tập xác định: Suy ra  

Ta có

Để hàm số đã cho là hàm chẵn thì 

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số 

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Giải:

1. a) nên .

Vậy giá trị lớn nhất của là 3 đạt được khi

Giá trị nhỏ nhất của y là 1, đạt được khi .

1. b)

Vậy giá trị lớn nhất của là đạt được khi , chẳng hạn là .

Giá trị nhỏ nhất của y là , đạt được khi, chẳng hạn là

Câu 5: Tìm tập xác định của các hàm số
a) y=32cos⁡x
b) y=cot⁡2x-4
c) y=cot⁡xcos⁡x-1
d) y=sin⁡x+2cos⁡x+1

Giải:

1. a) Hàm só́ y=32cos⁡x xác định khi và chỉ khi cos⁡x≠0 hay x2+kπ,kZ.

Vậy tập xác định của hàm số là D=R∖2+kπ,kZ

1. b) Hàm só y=cot⁡2x-4 xác dịnh khi và chỉ khi 2x-4kπ,kZ

 hay x8+k2,kZ

Vậy tập xác định của hàm số y=cot⁡2x-4 là D=R∖8+k2,kZ

1. c) Hàm số y=cot⁡xcos⁡x-1 xác định {sin x ≠0 cos x ≠1 {x≠kπ,k∈Z x≠k2π,k∈Z

Tập {k2,kZ} là tập con của tập {kπ,kZ} (ứng với các giá trị k chẵn). 

Vậy tập xác định của hàm số cot⁡xcos⁡x-1 là D=R∖{kπ,kZ}

1. d) Biểu thức sin⁡x+2cos⁡x+1 luôn không âm và nó có nghĩa khi cos⁡x+1≠0, hay cos⁡x≠-1. Vậy ta phải có x≠(2k+1),kZ, do đó tập xác định của hàm số y=sin⁡x+2cos⁡x+1 là

D=R∖{(2k+1),kZ}

Câu 6: Xác định chu kì tuần hoàn của các hàm số sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Áp dụng: Hàm số tuần hoàn với chu kì

1. b) Hàm số tuần hoàn với chu kì .

Áp dụng: Hàm số tuần hoàn với chu kì

Câu 7: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số :
a) y=2+3cos⁡x
b) y=3-4sin2⁡xcos2⁡x
c) y=1+4cos2⁡x3
d) y=2sin2⁡x-cos⁡2x

Giải

5. a) Vì -1≤cos⁡x≤1 nên -3≤3cos⁡x≤3, do đó -1≤2+3cos⁡x≤5.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5 , đạt được khi cos⁡x=1

x=2kπ,kZ.

Giá trị nhỏ nhất của hàm só là -1 , đạt được khi cos⁡x=-1

x=(2k+1),kZ

1. b) y=3-4sin2⁡xcos2⁡x=3-(2sin⁡xcos⁡x)2=3-sin2⁡2x.

Ta có 0≤sin2⁡2x≤1 nên -1≤-sin2⁡2x≤0.

Vậy 2≤y≤3.

Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 , đạt được khi sin2⁡2x=1

⇔sin⁡2x=±1⇔2x=±2+k2,kZx=±4+kπ,kZ.

Giá trị lớn nhất của y là 3 , đạt được khi sin2⁡2x=0

⇔sin⁡2x=0⇔2x=kπ,kZx=k2,kZ.

353. c) Vì 0≤cos2⁡x≤1 nên 131+4cos2⁡x353.

Giá trị nhỏ nhất của y là 13, đạt được khi cos⁡x=0⇔x=2+kπ,kZ.

Giá trị lớn nhất của y là 53, đạt được khi cos2⁡x=1

⇔cos⁡x=±1⇔x=kπ,kZ

1. d) y=2sin2⁡x-cos⁡2x=1-2cos⁡2x.

Vì -1≤cos⁡2x≤1 nên -2≤-2cos⁡2x≤2,

do đó -1≤1-2cos⁡2x≤3.

Giá trị nhỏ nhất của y là -1 , đạt được khi cos⁡2x=1

⇔2x=2kπ,kZx=kπ,kZ.

Giá trị lớn nhất của y là 3 , đạt được khi cos⁡2x=-1

⇔2x=(2k+1),kZx=2+kπ,kZ.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:  

Giải:

Ta có  

Mặt khác .

Câu 2: Tìm tập xác định của hàm số

Giải:

Hàm số xác định khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn đồng thời

, xác định và xác định.

 Ta có

 xác định

 xác định

Do đó hàm số xác định

Vậy tập xác định

Câu 3: Chứng minh hàm số không tuần hoàn. 

Giải:

Tập xác định .

 Giả sử

.

Cho và , ta được

. Điều này trái với định nghĩa là .

Vậy hàm số không phải là hàm số tuần hoàn.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: hàm số . Tìm các giá trị của tham số để hàm số xác định với mọi số thực (trên toàn trục số).

Giải:

Xét hàm số

.

Đặt .

Hàm số xác định với mọi

.

Đặt trên .

Đồ thị hàm số có thể là một trong ba đồ thị trên.

Ta thấy hoặc

Yêu cầu bài toán

.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn .

Giải:

Ta có  

Đặt

Từ đề bài ta xét

Ta lập BBT của hàm số trên .

Từ bảng biến thiên ta thấy 

Hay .

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số

Giải

Ta có

Áp dụng bất đẳng thức Bunyakopvsky cho số: 1; 1; ; ta có:

Hay

Dấu bằng xảy ra khi