BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số cộng:

.

Giải:

Vì  

Nên theo định nghĩa cấp số cộng, dãy số là một cấp số cộng với công sai

Câu 2: Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng sau

1. a) Dãy số , với ;
2. b) Dãy số , với ;

Giải:

1. a) Ta có nên

Do đó là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

1. b) Ta có nên

Suy ra là cấp số cộng với số hạng đầu và công sai .

Câu 3: Cho cấp số cộng có 7 số hạng với số hạng đầu và công sai

Viết dạng khai triển của cấp số cộng đó.

Giải:

Ta có  

Vậy dạng khai triển của cấp số cộng là  

Câu 4: Cho cấp số cộng có và .

1. a) Tìm .
2. b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số cộng?

Giải:

1. a) Ta có
2. b) Số hạng tổng quát của cấp số cộng là

Vì nên

Do là số nguyên dương nên số là số hạng thứ 405 của cấp số cộng đã cho.

Câu 5: 

1. a) Cho cấp số cộng có và . Tìm .
2. b) Cho cấp số cộng . Tính giá trị của biểu thức .

Giải:

1. a) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có nên .
2. b) Theo tính chất của cấp số cộng, ta có và .

Vì nên

Vậy .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho cấp số cộng có và .

1. a) Tính tổng của 25 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
2. b) Biết , tìm .

Giải:

Ta có

1. a) Ta có .
2. b) Vì nên .

Câu 2: 

1. a) Cho cấp số cộng có và . Tính số hạng đầu và công sai của cấp số cộng.
2. b) Cho dãy số xác định bởi và với mọi . Tính tổng của số hạng đầu tiên của dãy số đó. 

Giải:

1. a) Ta có .

Ta có hệ phương trình .

1. b) Từ công thức truy hồi của dãy số , ta có là một cấp số cộng với công sai . Do đó tổng của số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó là 

.

Câu 3: 

1. a) Cho cấp số cộng có . Tính .
2. b) Cho cấp số cộng có . Tìm số hạng đầu và công sai của cấp số cộng đó.

Giải:

1. a) Gọi là công sai của cấp số cộng. Theo giả thiết, ta có:

Suy ra .

1. b) Ta có và . Suy ra

Vậy .

Câu 4:

1. a) Cho cấp số cộng có . Tính giá trị của biểu thức .
   b) Cho cấp số cộng với . Tìm số hạng đầu của cấp số cộng.

Giải:

1. a) Ta có .

Suy ra . Do đó

1. b) Ta có hoặc .

+ Giải , ta được .

+ Giải , ta được .

Câu 5: Cho cấp số cộng thỏa mãn điều kiện . Tính giá trị của .

Giải:

Cấp số cộng có số hạng đầu và công sai nên số hạng tổng quát là

Giả sử . Khi đó

Theo giả thiết, ta có .

Câu 6: Biết rằng tồn tại các giá trị của để ba số lập thành một cấp số cộng, tính tổng các giá trị đó của .

Giải:

Theo tính chất của cấp số cộng ta có:

+) .

+)

Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và , ta tìm được . Với nghiệm và ta tìm được nghiệm

Do đó .

Câu 7: 

1. a) Cho các số thực thỏa mãn điều kiện: Ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba số theo thứ tự lập thành một cấp số cộng.
2. b) Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện lập thành một cấp số cộng. Chứng minh ba số lập thành một cấp số cộng.

Giải:

1. a) Theo giả thiết, ta có: .

Suy ra hoặc lập thành một cấp số cộng.

1. b) Theo giả thiết ta có:

Suy ra ba số hoặc lập thành một cấp số cộng.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

Giải:

- Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng. Theo định lý Vi-ét đối với phương trình bậc ba, ta có . Vì lập thành cấp số cộng nên . Suy ra . Thay vào phương trình đã cho, ta được 

- Điều kiện đủ: 

+ Với thì ta có phương trình (phương trình có nghiệm duy nhất). Do đó không phải giá trị cần tìm. 

+ Với , ta có phương trình  

Ba nghiệm lập thành một cấp số cộng nên là giá trị cần tìm. 

Câu 2: Một cơ sở khoan giếng đưa ra định mức giá như sau: Giá từ mét khoan đầu tiên là đồng và kể từ mét khoan thứ hai, giá của mỗi mét sau tăng thêm đồng so với giá của mét khoan ngay trước đó. Một người muốn kí hợp đồng với cơ sở khoan giếng này để khoan một giếng sâu mét lấy nước dùng cho sinh hoạt của gia đình. Hỏi sau khi hoàn thành việc khoan giếng, gia đình đó phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng số tiền bằng bao nhiêu?

Giải:

Gọi là giá của mét khoan thứ , trong đó  

Theo giả thiết, ta có và với . 

Ta có là cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Tổng số tiền gia đình thanh toán cho cơ sở khoan giếng chính là tổng các số hạng của cấp số cộng . Suy ra số tiền mà gia đình phải thanh toán cho cơ sở khoan giếng là

(đồng).

Câu 3: Trên một bàn cờ có nhiều ô vuông. Người ta đặt 7 hạt dẻ vào ô vuông đầu tiên, sau đó đặt tiếp vào ô thứ hai số hạt dẻ nhiều hơn ô đầu tiên là 5, tiếp tục đặt vào ô thứ ba số hạt dẻ nhiều hơn ô thứ hai là 5, … và cứ thế tiếp tục đến ô cuối cùng. Biết rằng đặt hết số ô trên bàn cờ người ta đã phải sử dụng hết

 25450 hạt dẻ. Hỏi bàn cờ đó có bao nhiêu ô?

Giải:

Kí hiệu là số hạt dẻ ở ô thứ .

Khi đó, ta có và .

Dãy số là cấp số cộng với và công sai nên có .

Theo giả thiết, ta có .

Suy ra bàn cờ có 100 ô.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Một công ty trách nhiệm hữu hạn thực hiện việc trả lương cho các kỹ sư theo phương thức sau: Mức lương của quý làm việc đầu tiên cho công ty là triệu đồng/quý, và kể từ quý làm việc thứ hai, múc lương sẽ được tăng thêm đồng mỗi quý. Tính tổng số tiền lương một kỹ sư nhận được sau ba năm làm việc cho công ty.

Giải:

Kí hiệu là mức lương của quý thứ làm việc cho công ty. Khi đó và .

Dãy số lập thành cấp số cộng có số hạng đầu và công sai .

Một năm có 4 quý nbên 3 năm có tổng 12 quý.

Số tiền lương sau 3 năm bằng tổng số tiền lương của 12 quý và bằng tổng 12 số hạng đầu tiên của cấp số cộng . Vậy, tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm làm việc cho công ty của kỹ sư là (triệu đồng).

Câu 2: Tìm giá trị của tham số để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt lập thành một cấp số cộng: .

Giải:

Đặt . Khi đó ta có phương trình: .

Phương trình đã cho có nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt  

(do tổng hai nghiệm bằng nên không cần điều kiện này).

+ Với điều kiện trên thì có hai nghiệm dương phân biệt là .

Khi đó phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt là .

Bốn nghiệm này lập thành một cấp số cộng khi  

Theo định lý Vi-ét ta có: .

Suy ra ta có hệ phương trình .

Cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện nên đều có thể nhận được.