BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: 

1. a) Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với?
2. b) Cho hai đường thẳng song song và . Có bao nhiêu mặt phẳng chứa và song song với ?

Giải:

1. a) Theo định lý. Cho hai đường thẳng chéo nhau. Có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.
2. b) Cho hai đường thẳng song song. Có vô số mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành. Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Chứng minh qua và song song với .

Giải:

Ta có

Câu 3: Cho tứ diện. và theo thứ tự là trung điểm của và, là trọng tâm tam giác. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là đường thẳng nào ?

Giải:

Gọi là giao tuyến của và .

Ta có , , , .

Suy ra đi qua và song song với .

Câu 4: Cho hình bình hành và một điểm không nằm trong mặt phẳng. Giao tuyến của hai mặt phẳng và là một đường thẳng song song với đường thẳng nào?

Giải:

Xét và có là điểm chung

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành tâm , là trung điểm cạnh . Chứng minh:

1. a) .
2. b) .

Giải:

1. a) Ta có:
2. b) Ta có: .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho tứ diện . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh ; và .

Giải:

và lần lượt là trọng tâm các tam giác và nên , và đồng qui tại (là trung điểm của ) .

Vì nên và .

Do và nên

Câu 2: Cho tứ diện . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh Gọi lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác . Gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng và . Chứng minh .

Giải:

Ta có là đường trung bình của tam giác, suy ra

Như vậy suy ra giao tuyến của 2 mặt phẳng và là đường thẳng qua và song song với .

lần lượt là trọng tâm của tam giác và tam giác nên vì

Do đó .

Câu 3: Cho tứ diện có . Mặt phẳng qua trung điểm của và song song với, . Tìm giao tuyến của mặt phẳng với các mặt của hình chóp. Hình tạo bởi các giao tuyến là hình gì?

Giải:

Gọi là trung điểm của .

Ta có: , là trung điểm .

, là trung điểm .

, là trung điểm .

Hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

Ta có :

Tương tự

Khi đó MNPQ là hình bình hành.

Lại có: suy ra .

Vậy MNPQ là hình thoi.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, gọi O là tâm của đáy. Tam giác SAB là tam giác đều. Gọi là điểm trên cạnh BC. Mặt phẳng đi qua và song song với . Hãy tìm giao tuyến của (P) với các mặt (ABCD), (SAD), (SCD), (SBC) của hình chóp.

Giải:

Qua kẻ một đường thẳng song song với , cắt tại .

Qua kẻ một đường thẳng song song với , cắt tại .

Gọi Quakẻ đường thẳng song song với , cắt tại .

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác MNPQ.

Do nên

Đặt Có

Tương tự,

Từ (1) và (2) ta có là hình thang cân.

Câu 5: Cho hai hình bình hành và không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là và .

1. a) Chứng minh song song với các mặt phẳng và .
2. b) Gọi lần lượt là hai điểm trên các cạnh sao cho. Chứng minh song song với .

Giải:

1. a) Ta có là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên ,

.

Tương tự, là đường trung bình của tam giác ứng với cạnh nên , .

1. b) Trong , gọi

Do nên .

Lại có . Mà .

Câu 6: Cho hình chóp có đáy là một hình bình hành. Gọi là trọng tâm tam giác , là trung điểm của và là điểm trên cạnh sao cho .

1. a) Đường thẳng đi qua và song song với cắt tại . Chứng minh .
2. b) Chứng minh .

Giải:

Ta có ,

, 

mà

.

1. b) Gọi là giao điểm của và

Ta có

, .

Câu 7: Cho hình chóp có đáy là hình thang, đáy lớn là là trung điểm Mặt phẳng qua song song với và cắt lần lượt tại và Hình tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng và các mặt (ABCD), (SDC), (SBC), (SAB) của hình chóp là hình gì?

Giải:

Trong mặt phẳng , qua kẻ đường thẳng Khi đó,

Trong mặt phẳng , qua kẻ đường thẳng Khi đó,

Vậy

Xét hai mặt phẳng và có hai mặt phẳng cắt nhau theo một giao tuyến đi qua điểm và song song với

Trong mặt phẳng kẻ Khi đó, là giao tuyến của mặt phẳng với mặt phẳng . 

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác

Tứ giác có là hình bình hành. Từ đó suy ra

Trong tam giác có thuộc đoạn , thuộc đoạn và nên

Tứ giác có là hình thang có đáy lớn là

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chópcóđáy là hình thoi cạnh ,,. là trung điểm của đoạn .là một điểm trên cạnh . Đặt . Mặt phẳng chứa và song song với . Tìm giao tuyến của các mặt (ABCD), (SAB), (SAC), SBC) của hình chóp với mặt phẳng . Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến theo là:

Giải:

Do  nên cắt  và lần lượt theo các  giao tuyến  song song với.

Vậy hình tạo bởi các giao tuyến là MNEF.

Trong kẻ (1). 

Trong kẻ (2). 

Từ (1) và (2),suy ra nên tứ giác là hình thang.

Hai tam giác và bằng nhau (c.c.c) nên .

Hai tam giác và bằng nhau (c.g.c) nên .

Áp dụng hệ quả của định lý hàm số cosin trong tam giác ta có:

.

Tam giác có

.

.

.

Ta có

.

Vậy 

Câu 2: Cho tứ diện trong đó và là một điểm trên cạnh với Mặt phẳng qua, song song với và. Tính diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện theo và.

Giải:

Qua kẻ các đường thẳng song song với và cắt và lần lượt tại và .

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác  có nên tứ giác  là hình chữ nhật.

Có

.

Câu 3: Cho hình chóp , là một điểm nằm trong tam giác . Các đường thẳng qua song song với cắt các mặt phẳng lần lượt tại . Tìm vị trí của trong tam giác để nhận giá trị lớn nhất

Giải:

Do nên bốn điểm này nằm trong cùng mặt phẳng. Giả sử là giao điểm của mặt phẳng này với . Khi đó thẳng hàng và ta có: .

Tương tự ta có: . Vậy . 

Ap dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

.

Dầu bằng xảy ra khi và chỉ khi: .

Điều này chỉ xảy ra khi là trọng tâm tam giác .

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp ,đáy là hình vuông cạnh ,mặt bên là tam giác đều.Cho .Gọi lần lượt là trung điểm của .Gọi là một điểm trên cạnh .Mặt phẳngcắt tại .Cho biết là hình thang cân.Đặt .Tìm để diện tích là nhỏ nhất.

Giải:

Ta có ngay và .Trong tam giác ,ta có

Trong tam giác ,ta có .

Trong hình thang cân ,gọi là chân đường cao hạ từ ,ta có .Suy ra .

Ta có biến đổi:.

Vậy đạt được khi .

Câu 2: Cho tứ diện trong đó và là một điểm trên cạnh . Mặt phẳng qua .., song song vớivà. Diện tích hình tạo bởi các giao tuyến của và các mặt của tứ diện đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?

Giải:

Qua kẻ các đường thẳng song song vớivà cắt và lần lượt tại và .

Qua kẻ đường thẳng song song với cắt tại .

Suy ra hình tạo bởi các giao tuyến là tứ giác có nên tứ giác là hình chữ nhật.

Có

.

Theo bất đẳng thức Cô-si: khi .

Câu 3:

Cho hình chóp với đáy là hình thang với đáy và . Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Gọi là giao điểm của và , là giao điểm của và . Chứng minh 

1. a) và song song với nhau.
2. b) và song song với nhau.
3. c)

Giải:

1. a) Ta có , suy ra .

Do .

Ta có: , suy ra .

Do .

Từ đó suy ra và song song với nhau.

1. b) Ta có: .

Suy ra . 

1. c) Gọi là giao điểm của với .

Do .

Theo định lý Thalet ta có: . Do song song với nên theo định lý Thalet ta có : .

Tương tự ta cũng có: .

Từ đây suy ra .