BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Xét tính liên tục của hàm số tại x = 2.

Giải:

Ta có: .

.

.

Vậy hàm số liên tục tại .

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1.

Giải:

Hàm số không xác định tại  

Vậy hàm số gián đoạn tại .

Câu 3: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

Giải:

- Nếu thì là hàm phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên các khoảng và .

- Tại x = 3, ta có f( 3) = 5.

.

Do đó hàm không liên tực tại x = 3.

Vậy hàm số liên tục trên các khoảng và , nhưng gián đoạn tại x = 3.

Câu 4: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số tại x = -1.

Giải:

Ta có: và

Suy ra  

Vậy hàm số không liên tục tại .

Câu 5: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên .

Giải:

Với ta có hàm số liên tục trên khoảng và , .

Với ta có và nên hàm số liên tục tại ,

Từ và ta có hàm số liên tục trên .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hàm số và với . Giá trị của để liên tục tại là:

Giải:

Hàm số liên tục tại .

Ta có .

Vậy .

Câu 2: Cho hàm số. Tìm để liên tục tại .

Giải:

Hàm số liên tục tại .

.

.

Vậy: .

Câu 3: Cho hàm số . Tìm để gián đoạn tại .

Giải:

TXĐ: .

Với ta có

Với ta có

; suy ra .

Vậy để hàm số gián đoạn tại khi .

Câu 4: Cho hàm số . Tìm để liên tục trên .

Giải:

TXĐ: .

Với ta có .

Ta có .

Vậy để hàm số liên tục trên khi .

Câu 5: Cho hàm số . Xét tính liên tục của hàm số trên .

Giải:

Hàm số xác định với mọi x thuộc

Với hàm số liên tục

Với hàm số liên tục

Tại ta có :

 ;

Hàm số liên tục tại .

Vậy hàm số liên tục trên .

Câu 6: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác định của chúng :

a)

b)

Giải:

a)

Do đó, hàm số này liên tục tại

1. b)

Mà khi nên

Do đó, hàm số đã cho liên tục khi

Câu 7: Tìm các giá trị của để các hàm số sau liên tục trên tập xác định của chúng:

1. a) b)

Giải:

1. a) Hàm số liên tục với .

Do đó liên tục trên liên tục tại  

Ta có

Khi đó .

1. b) Ta có:

Từ yêu cầu đề bài:

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số:

Giải:

Xét . Phương trình có dạng nên PT có nghiệm

Với giả sử

liên tục trên R nên liên tục trên

Ta có

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số .

Câu 2: Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

1. a)
2. b) 

Giải:

1. a) Xét

tồn tại một số sao cho

tồn tại một số sao cho

Từ đó luôn tồn tại một số nên phương trình luôn có nghiệm.

1. b) Xét liên tục trên

Ta có:

tồn tại một số sao cho .

Từ đó nên luôn tồn tại một số thỏa mãn nên phương trình luôn có nghiệm.

Câu 3: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Giải:

Dễ thấy hàm liên tục trên . Ta có: 

tồn tại một số

tồn tại một số

tồn tại một số

Do ba khoảng và đôi một không giao nhau nên phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt.

Mà phương trình bậc 3 thì chỉ có tối đa là 3 nghiệm nên có đúng 3 nghiệm phân biệt.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

Giải:

Đặt .

Xét hàm số liên tục trên .

Ta có: tồn tại 3 số và lần lượt thuộc 3 khoảng đôi một không giao nhau là và sao cho và do đây là phương trình bậc 3 nên có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Ứng với mỗi giá trị và ta tìm được duy nhất một giá trị thỏa mãn và hiển nhiên 3 giá trị này khác nhau nên PT ban đầu có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2: Chứng minh phương trình sau luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.

1. b)
2. c)

Giải:

1. b) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó PT luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

1. c) Đặt liên tục trên R

Ta có

Do đó phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số .