BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là hình bình hành.

Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Giải:

Ta có

.

Câu 2: 

1. a) Cho hai đường thẳng chéo nhau a, b và điểm M ở ngoài a và ngoài b. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng qua M và cắt cả a và b?
2. b) Trong không gian, cho 3 đường thẳng a, b, c chéo nhau từng đôi một. Có nhiều nhất bao nhiêu đường thẳng cắt cả 3 đường thẳng ấy?

Giải:

1. a) Mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A. Khi đó đường thẳng duy nhất cần tìm là đường thẳng qua 3 điểm M, A, B .
2. b) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B , mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại A khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a, b, c. Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cần tìm.

Câu 3: 

1. a) Cho ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau từng đôi một theo ba giao tuyến trong đó song song với . Khi đó vị trí tương đối của và là gì?
2. b) Trong không gian, cho đường thẳng và điểm O không nằm trong . Qua O có mấy đường thẳng song song với ?

Giải:

1. a) Giả sử d1 cắt d2 tại M khi đó đường thẳng d3 không nằm trong mặt phẳng (d1; d2) và cắt cả d1 và d2 nên d3 cắt mặt phẳng (d1; d2) tại M hay ba đường thẳng đó đồng quy.
2. b) Qua O không thuộc đường thẳng thì có duy nhất một đường thẳng song song với .

Câu 4: 

1. a) Cho ba đường thẳng đôi một chéo nhau. Có thể có bao nhiêu đường thẳng cắt cả ba đường thẳng đã cho.
2. b) Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Lấy điểm A, B thuộc a và C, D thuộc b. Khi đó hai đường thẳng AD và BC có vị trí như thế nào với nhau?

Giải:

1. a) Gọi M là đường thẳng nằm trên c, mặt phẳng đi qua M và chứa a cắt mặt đường thẳng b tại B, mặt phẳng đi qua M chứa b cắt đường thẳng a tại 4 khi đó đường thẳng AB cắt cả 3 đường thẳng a,b,c . Có vô số điểm M như thế nên có vô số đường thẳng cắt 3 đường thẳng đã cho.
2. b) Do a,b chéo nhau nên A,B,C,D là 4 đỉnh của 1 tứ diện do đó AD và BC chéo nhau. 

Câu 5: Cho hình chóp có đáy là hình thang với các cạnh đáy là và . Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh và và là trọng tâm của tam giác . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng và .

Giải:

Ta có là hình thang và là trung điểm của nên .

Vậy 

  với  .

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành. a) Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAD) và (SBC);(SAB) và (SCD).

1. b) Lấy M thuộc SC. Tìm giao điểm N của SD và (ABM). Tứ giác ABMN là hình gì?

Giải:

1. a) Trong (SAD) dựng đường thằng d đi qua S và song song với AD.

Ta có: d//AD,AD//BCd//BC.

Suy ra d thuộc (SBC).

Nên d là giao tuyến của (SAD) và (SBC).

Tương tự, trong (SAB) dựng đường thẳng d1 đi qua S, song song với AB thì d1 là giao tuyến của (SAB) với (SCD).

1. b) Giả sử SD∩(ABM)=N

⇒(ABM)∩(SCD)=MN

Xét ba mặt phẳng (ABM);(ABCD);(SCD) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là AB,MN,CD nên chúng song song hoặc đồng quy. 

Mà AB//CDAB//CD//MNABMN là hình thang.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang ( AB là đáy lớn). Gọi I,J,K lần lượt là trung điểm của AD,BC,SB.

1. a) Tìm giao tuyến (SAB) và (SCD);(SCD) và (IJK).
2. b) Tìm giao điểm M của SD và (IJK).
3. c) Tìm giao điểm N của SA và (IJK).
4. d) Tứ giác IPKJ là hình gì?

Giải:

1. a) Do AB//CD giao tuyến của (SAB) và (SCD) đi qua điểm S và song song với AB và CD.

Giả sử (IJK)∩(SAB)=KP với PSA.

Ba mặt phẳng (ABC);(IJK) và (SAB) lần lượt cắt nhau theo 3 giao tuyến là IJ,AB và PK nên chúng song song hoặc đồng quy.

Mặt khác AB//IJPK//AB//IJ.

1. b) Do PK//AB mà KS=KBP là trung điểm của SA. Khi đó PI là đường trung bình trong tam giác SAD suy ra PI//SDSD không cắt (IJKP).
2. c) Chứng minh ở câu b, ta có N trùng với P tức là N là trung điểm SA. 
3. d) Có KP//IJ (chứng minh trên) suy ra tứ giác IPKJ là hình thang.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là bình hành. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của SB,BC, SD.

1. a) Tìm giao tuyến của (SCD) và (MNP).
2. b) Tìm giao điểm của CD và (MNP).
3. c) Tìm giao điểm của AB và (MNP).
4. d) Tìm giao tuyến của (SAC) và (MNP)

Giải:

1. a) Do MN//SC (tính chất đường trung bình) nên giao tuyến của (SCD) và (MNP) phải là d//MN//SC.

Do đó d qua P và song song với SC nên d là đường trung bình tam giác (SCD). Gọi Q là trung điểm CD thì PQ là giao tuyến cần tìm.

1. b) Ta có QCD,Q∈(MNP)

Suy ra Q là giao điểm của CD và (MNP).

1. c) Trong mp(ABCD), gọi K là giao điểm của NQ và AB.

Ta có KAB,KNQ⊂(MNPQ)⇒K∈(MNP)

Vậy K là giao điểm của AB với (MNP).

1. d) Gọi I là giao điểm của AC và BD.

Trong mp(SCD) có MP là đường trung bình tam giác SBD.

Gọi E=MPSI⇒(SAC)∩(MNP)=EF

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi M,N,P,Q là các điểm lần lượt nằm trên BC,SC,SD,AD sao cho MN//BS,NP//CD,MQ//CD

1. a) Chứng minh PQ//SA.
2. b) Gọi K=MN//PQ. Chứng minh SK//AD//BC.
3. c) Qua Q dựng các đường thẳng Qx//SC,Qy//SB. Tìm Qx∩(SAB) và Qy//(SCD).

Giải:

1. a) Ta có: MN//BSCMCB=CNCS(1)

Tương tự ta có CMCB=DQDA và CNCS=DPDS

Từ (1) và (2) suy ra DQDA=DPDSPQ//SA.

1. b) Hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) có 2 điểm chung là S và K nên SK=(SBC)∩(SAD)

Mặt khác 3 mặt phẳng (SBC),(SAD) và (ABCD) đôi một cắt nhau theo 3 giao tuyến là SK,BC,AD

mà BC//AD nên 3 giao tuyến nay đôi một song song hay SK//AD//BC.

1. c) Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E=CQBA,G=BQCD

Trong mặt phẳng (SCQ) dựng Qx//CS cắt SE tại F thì Qx∩(SAB)=F.

Tương tự trong mặt phẳng (SBG) dựng Qy//BS cắt SG tại H thì Qy∩(SCD)=G.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, gọi M,N,P,Q lần lượt nằm trên BC,SC, SD,AD sao cho MN//SB,NP//CD,MQ//CD.

1. a) Chứng minh rằng: PQ//SA.
2. b) Gọi K là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng: SK//AD//BC.

Giải:

1. a) Ta có: MN//SBCNSC=CMCB=DQAD

Lại có: NP//CDCNCS=DPDS (2). (Định lý Ta-let)

Từ (1) và (2) suy ra DPDS=DQADSA//PQ.

1. b) Xét 3 mặt phẳng (SAD);(SBC) và (ABCD) cắt nhau theo các giao tuyến là SK,AD,BC.

Suy ra SK,AD,BC song song hoặc đồng quy.

Mặt khác AD//BCSK//AD//BC.

Câu 6: Cho tứ diện ABCD. Gọi M,N,P,Q,R,S lần lượt là trung điểm của AB,CD,BC,AD,AC,BD.

1. a) Chứng minh MNPQ là hình bình hành.
2. b) Từ đó suy ra ba đoạn MN,PQ,RS cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn.

Giải:

1. a) Vì MQ là đường trung bình của tam giác ABD nên ta có {MQ//BD MQ=12BD

Tương tự ta cũng có: {NP//BD NP=12BD

Do vậy MQNP là hình bình hành từ đó suy ra MN và PQ cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường.

1. b) Tương tự chứng minh trên ta cũng có tứ giác RNSM cũng là hình bình hành do có {RN//MS RN=MS=12AD suy ra RS và MN cũng cắt nhau tại trung điểm I của MN.

Vậy ba đoạn MN,PQ,RS cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đoạn.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thang với đáy lớn AB. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB.

1. a) Chứng minh: MN//CD
2. b) Tìm giao điểm P của SC với (AND). Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I.

Chứng minh SI//AB//CD. Tứ giác SIBA là hình gì? Vì sao?

Giải:

1. a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN//AB mặt khác AB//CDMN//CD.
2. b) Gọi O=ACCD và E=SOND khi đó SE cắt SC tại P.

Xét 3 mặt phẳng (SAB);(SCD) và (ABCD) có các giao tuyến chung là SI,AB và CD song song hoặc đồng quy.

Do AB//CD nên SI//AB//CD.

Ta có: SI//ABNSNB=NINA=SIAB=1

Khi đó: {SI//AB SI=AB SIBA là hình bình hành.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một tứ giác lồi. Gọi lần lượt là trung điểm của các cạnh bên và .

1. a) Chứng minh đồng qui ( là giao điểm của và ).
2. b) Bốn điểm đồng phẳng.

Giải:

1. a) Trong gọi , dễ thấy là trung điểm của , suy ra là đường trung bình của tam giác . 

Vậy .

Tương tự ta có nên thẳng hàng hay .

Vậy minh đồng quy.

1. b) Do nên và xác định một mặt phẳng. Suy ra  đồng phẳng.

Câu 2: Cho hình chóp có đáy là hình chữ nhật. Gọi lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Chứng minh:

1. a) Bốn điểm đồng phẳng.
2. b) Ba đường thẳng đồng qui ( là giao điểm của và ).

Giải:

1. a) Gọi lần lượt là trung điểm các cạnh và .

Ta có

.

Tương tự

Lại có  

Từ và suy ra .

Vậy bốn điểm đồng phẳng.

1. b) Dễ thấy cũng là hình bình hành và .

Xét ba mặt phẳng và ta có :

.

Do đó theo định lí về giao tuyến của ba mặt phẳng thì ba đường thẳng đồng quy.

Câu 3: Cho tứ diện đều ABCD, cạnh a. Gọi I,J lần lượt là trung điểm của AC,BC, gọi K là một điểm trên cạnh BD với KB=2KD.

1. a) Xác định giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng (ABD). Hình tạo bởi các đường giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt phẳng (IJK) là hình gì?
2. b) Tính diện tích của hình xác định được ở câu a.

Giải:

1. a) Do IJ là đường trung bình của tam giác ABC nên IJ//AB và IJ=12AB

Do IJ//AB nên giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng (ABD) song song với AB

Qua K dựng KN//AB với NAD thì giao tuyến của (IJK) với mặt phẳng (ABD) là đường thẳng KN.

+) Hình tạo bởi các giao tuyến của các mặt của tứ diện với mặt (IJK) là tứ giác IJKN có IJ//KNIJKN là hình thang.

1. b) Ta có IJ=a2,KNAB=DKDB=13KN=a3

Lại có KJ2=BJ2+BK2-2BJ.BKcos⁡CBD =a22+2a32-2⋅a22a3cos⁡60=13a236KJ=a136,

tương tự NI=a136

Chiều cao của hình thang cân IJKN là h=KJ2-IJ-KN22=a5112

Diện tích tứ giác là SIJKN=IJ+KN2h=551144a2.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho hình chóp có đáy là một hình thang với đáy và . Biết . Gọi và lần lượt là trọng tâm các tam giác và . Mặt phẳng cắt lần lượt tại . Mặt phẳng cắt tại .

1. a) Chứng minh song sonng với .
2. b) Giải sử cắt tại ; cắt tại . Chứng minh song song với và . Tính theo .

Giải:

1. a) Ta có .

Vậy

Tương tự

Vậy

Từ và suy ra .

1. b) Ta có ;

Do đó . Mà .

Tính : Gọi

Ta có ,

Mà .

Từ suy ra

Tương tự . Vậy .

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC;O là một điểm nằm trong tam giác ABC. Qua O dựng các đường thẳng lần lượt song song với SA,SB,SC và cắt các mặt phẳng (SBC),(SCA),(SAB) theo thứ tự tại các điểm A',B',C'.

1. a) Chứng minh tổng OA'SA+OB'SB+OC'SC có giá tri không đổi khi O di động bên trong tam giác ABC.
2. b) Xác định vị trí của O để tích OA'.OB'.OC' có giá trị lớn nhất.

Giải:

1. a) Gọi N=AOBC,M=BOAC,P=COAB

Trong mặt phẳng (SAN), dựng Ox//SA cắt SN tại A'

Tương tự dựng Oy//SB cắt SM tại B', dựng Oz//SC cắt SP tại C'.

Ta có: OA'SA=NONA=SOBCSABC( định lý Talet )

Tương tự OB'SB=SOACSABC và OC'SC=SOABSABC

Khi đó

OA'SA+OB'SB+OC'SC=SOBC+SOAC+SOABSABC=SABCSABC=1

Vậy OA'SA+OB'SB+OC'SC=1 có giá trị không đổi khi O di động bên trong tam giác ABC.

1. b) Ta có OA'SA+OB'SB+OC'SC≥33OA'SAOB'SBOC'SC⇔1≥33OA'SAOB'SBOC'SC

SA.SBSC27OA'.OB'.OC'

Do đó OA'.OB'.OC' có giá trị lớn nhất là SASBSC27 khi OA'SA=OB'SB=OC'SC=13

Suy ra NONA=POPC=MOMC=13 suy ra O là trọng tâm tam giác ABC.