BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tính giá trị giới hạn sau

1. a) x+3-2x-1  
2. b)  x+3x-2  

Giải:

1. a) x+3-2x-1  =5-2
2. b)  x+3x-2  = 1+3x1-2x =1

Câu 2: Tính giới hạn

1. a) 3x+22x-1  
2. b) 4x2-3x(2x-1)x3-2.

Giải:

3. a) Với mọi dãy xn:limxn=2 ta có: 3x+22x-1 =lim3xn+22xn-1=1+22.1-1=5
4. b) x→2 4x2-3x(2x-1)x3-2=22-3.2(2.2-1)23-2=53

Câu 3: Tính giới hạn sau bằng định nghĩa

a)x→1+  4x-3x-1

1. b) 3x-1x-2  

Giải:

1. a) Với mọi dãy xn:xn>1,∀n và limxn=1 ta có: x→1+ 4x-3x-1=lim4xn-3xn-1=+∞.
2. b) Với mọi dãy xn:xn<2,∀n và limxn=2 ta có: x2- 3x-1x-2=lim3xn-1xn-2=-∞.

Câu 4: Tính giới hạn sau

1. a)
2. b)

Giải:

1. a)

b)

Câu 5: Tính giới hạn 

1. a) A=x→1 x3-3x2+2x2-4x+3
2. b) B= x→2x4-5x2+4x3-8

Giải:

32. a) Ta có: A=x→1 x3-3x2+2x2-4x+3=x→1 (x-1)x2-2x-2(x-1)(x-3)=x→1 x2-2x-2x-3=32.
33. b) Ta có: B=x→2 x4-5x2+4x3-8=x→2  x2-1x2-4x3-23=x→2  x2-1(x-2)(x+2)(x-2)x2+2x+4

=x→2  x2-1(x+2)x2+2x+4=1.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: 

1. a) Tính x2+3x+2x+1  
2. b) Cho hàm số fx={x2-3 khi  x≥2 x-1 khi  x<2 . Tính f(x) .
3. c) Tìm a để hàm số sau có giới hạn khi x→2.

f(x)={x2+αx+1  khi x>2 2x2-x+1  khi x≤2 .

Giải:

1. a) Do x→-1-⇒|x+1|=-(x+1). Nên:  x2+3x+2|x+1|=-1 .
2. b) Ta có f(x) =x2+ x2-3=1

x2- f(x)=x2- (x-1)=1

Vì x2+ f(x)=x2- f(x)=1 nên x2 f(x)=1.

6. c) Ta có: x2+ fx=x2+ x2+ax+2=2a+6.

x2- f(x)=x2-2x2-x+1=7.

Hàm số có giới hạn khi x→2⇔x2- f(x)=x2+ f(x)⇔2a+6=7⇔a=12. Vậy a=12 là giá trị cần tìm.

Câu 2: Tính

1. a) x3-x2x-1+1-x  
2. b) x1+ x2-x+1x2-1
3. c) |x-3|x-3  

Giải:

1. a) x1+ x3-x2x-1+1-x=x1+ x2(x-1)x-1-(x-1)2=x1+ xx-1x-1(1-x-1)=x1+ x(1-x-1)=1.
2. b) x1+ x2-x+1x2-1=+∞

vì x1+ x2-x+1=1>0 và x1+ x2-1=0;x2-1>0.

1. c)
   x→3+ |x-3|x-3=x→3+ x-3x-3=1 x→3- |x-3|x-3=x→3- -x+3x-3=-1 }x→3+ |x-3|x-3x→3- |x-3|x-3

Vậy không tồn tại giới hạn trên.

Câu 3: 

1. a) Tìm a để hàm số sau có giới hạn x 0 với f(x)={5ax2+3x+2a+1   khi  x≥0 1+x+x2+x+2   khi x<0
2. b) Tìm a để hàm số f(x)={5ax2+3x+2a+1 khi x≥0 1+x+x2+x+2 khi x<0 có giới hạn tại x→0.

Giải:

22. a) Ta có  f(x) =2a+1=1+2= f(x) a=22.
23. b) Ta có: f(x)  =f(x)  5ax2+3x+2a+1=2a+1

x0- f(x)=x0- 1+x+x2+x+2=1+2

Vậy 2a+1=1+2a=22.

Câu 4:

1. a) Tính  
2. b) Tính  

Giải:

a)

1. b) x→-∞x-|x|1+1x+1x2=x→-∞x1+1+1x+1x2=-∞

Câu 5: Tính giới hạn

1. a) x→-∞  x4x2+1-x
2. b) x→-∞4x5-3x3+x+1
3. c) x→+∞ x4-x3+x2-x

Giải:

1. a) x→-∞ x2-4+1x2-1=-∞
2. b) x→-∞ 4x5-3x3+x+1=x→-∞ x54-3x2+1x4+1x5=-∞
3. c)  x→+∞x4-x3+x2-x= x41-1x+1x2-1x3=+∞

Câu 6: Tính giới hạn

a)x-3x2-9

1. b) x→1 xn-1xm-1 m,nN*
2. c) x→0 3x+1-142x+1-1
3. d) x→7 34x-1-x+242x+2-2

Giải:

1. a)
   x3+ x-3x2-9=x3+ (x-3)2(x-3)(x+3)= x3+ (x-3)(x+3)=0.
2. b) x→1 (x-1)xn-1+xn-2+…+x+1(x-1)xm-1+xm-2+…+x+1=x→1 xn-1+xn-2+…+x+1xm-1+xm-2+…+x+1=nm.
3. c) x→0 x4(2x+1)3+4(2x+1)2+42x+1+12x3(x+1)2+3x+1+1=23
4. d) Ta có: x→7 34x-1-x+242x+2-2=x→7 34x-1-342x+2-2-x→7 x+2-342x+2-2=A-B

A=x→7 34x-1-342x+2-2=x→7 2(42x+2+2)4(2x+2)2+43(4x-1)2+334x-1+9=6427

B=x→7 x+2-342x+2-2=x→7 (42x+2+2)4(2x+2)2+42(x+2+3)=83

E=A-B=6427-83=-827

Câu 7: Tính

1. a) x→0 m1+ax-n1+bxx
2. b) x→0 m1+axn1+bx-1x
   c) x→3 2x+3-3x2-4x+3
3. d) x→0 3x+1-12x+1-1

Giải:

1. a) Ta có: x→0 m1+ax-1x-x→0 n1+bx-1x=am-bn
2. b) Ta có x→0 m1+ax(n1+bx-1)x+x→0 m1+cx-1x=bn+am
3. c) x→3 2(x-3)(x-1)(x-3)(2x+3+3)=16
4. d) x→0 x(2x+1+1)2x3(x+1)2+3x+1+1=13

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm giới hạn A=x→0 1+2x-31+3xx2 .

Giải:

Cách 1: Đặt t=33x+1x=t3-13 và x→0⇔t→1

 Nên A=t→1 1+t3-13-tt3-132=9t→1 t3+23-t(t-1)2t2+t+12   =3t→1 t3-3t2+2(t-1)2t2+t+12t3+23+t   =3t→1 (t-1)2(t+2)(t-1)2t2+t+12t3+23+t

=3t→1 t+2t2+t+12t3+23+t=12.

Cách 2: Ta có:

A=x→0 1+2x-(1+x)x2-x→0 31+3x-(1+x)x2   =x→0 -11+2x+1+x-x→0 -3-x3(1+3x)2+(1+x)31+3x+(1+x)2

Do đó: A=12.

Câu 2: Tính giá trị  K= x2+1+x2-x-2x

Giải:

Ta có: K=x→+∞ -2x2-x+1+2x2+1x2-xx2+1+x2-x+2x

=x→+∞ 4x4-x3+x2-x-2x2+x-12x2+1+x2-x+2x2x2+1x2-x+2x2+x-1

=x→+∞ 4x4-x3+x2-x-2x2+x-12x2+1+x2-x+2x2x2+1x2-x+2x2+x-1

=x→+∞ -8x3+7x2-2x-1x2+1+x2-x+2x2x2+1x2-x+2x2+x-1=-12

Câu 3: Tìm giới hạn B=x→+∞ a0xn+…+an-1x+anb0xm+…+bm-1x+bma0b0≠0 

Giải:

Ta có: B=x→+∞ xna0+a1x+…+an-1xn-1+anxnxmb0+b1x+…+bm-1xm-1+bmxm

• Nếu m=nB=x→+∞ a0+a1x+…+an-1xn-1+anxnb0+b1x+…+bm-1xm-1+bmxm=a0b0.
• Nếu m>nB=x→+∞ a0+a1x+…+an-1xn-1+anxnxm-nb0+b1x+…+bm-1xm-1+bmxm=0

( Vì tử a0, mẫu →0 ).

• Nếu m<n

B=x→+∞ xn-ma0+a1x+…+an-1xn-1+anxnb0+b1x+…+bm-1xm-1+bmxm={+∞ khi a0b0>0 -∞ khi a0b0<0 .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm giới hạn A=x→+∞ x2+x+1-2x2-x+x : 

Giải:

Ta có: x2+x+1-2x2-x+x=x2+x+1+x2-4x2-xx2+x+1+2x2-x+x

= 2xx2+x+1+1+5x-2x2x2+x+1+2x2-x+x = 2xx2+x+1-xx2+x+1+2x2-x+x+1x2+x+1+2x2-x+x = 2x(x+1)x2+x+1+2x2-x+xx2+x+1+x+   +1+5xx2+x+1+2x2-x+x.

Do đó:

 A=x→+∞ 2+2x1+1x+1x2+21-1x+11+1x+1x2+1+x→+∞ 1x+51+1x+1x2+21-1x+1=14+54=32

Câu 2: Tìm giới hạn B=x→-1 5+4x-37+6xx3+x2-x-1

Giải:

Ta có: B=x→-1 5+4x-37+6x(x+1)2(x-1)

Đặt t=x+1. Khi đó:

t→0 1+4t-31+6tt2

=t→0 1+4t-(2t+1)t2-t→0 31+6t-(2t+1)t2

=t→0 -41+4t+2t+1-t→0 -8t-123(1+6t)2+(2t+1)3(1+6t)2+(2t+1)2=2.

Do đó: B=-1.