BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Chứng minh rằng dãy số hữu hạn sau là một cấp số nhân.

Giải:

Ta có   

Theo định nghĩa cấp số nhân, dãy số là một cấp số nhân với công bội .

Câu 2: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là cấp số nhân? Dãy nào không phải cấp số nhân? Giải thích?

1. a) Dãy số , với b) Dãy số , với
2. c) Dãy số , với d) Dãy số , với

Giải:

9. a) Ba số hạng đầu của dãy số là 1, 4, 9. Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân. 
10. b) Ta có nên (là số không đổi). Do đó, phải là cấp số nhân với công bội .
11. c) Ta có nên (phụ thuộc vào n, không phải là số không đổi).

Do đó không phải là một cấp số nhân.

1. d) Ba số hạng đầu của dãy số là Vì nên dãy số không phải là cấp số nhân. 

Câu 3: Cho cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Viết 6 số hạnh đầu của cấp số nhân và tính tổng của 6 số hạng đó.

Giải:

Ta có  

Tổng của 6 số hạng đầu tiên của cấp số nhân là

Câu 4: Cho cấp số nhân có và

1. a) Tìm .
2. b) Số là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân đã cho?

Giải:

1. a) Ta có
2. b) Số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Vì nên

Câu 5: 

1. a) Cho cấp số nhân có và . Tìm số hạng thứ năm của dãy.
   b) Cho dãy số xác định bởi và Tìm số hạng tổng quát của dãy số.

Giải:

1. a) Ta có công bội của cấp số nhân là

Suy ra . 

1. b) Ta có: nên là cấp số nhân có công bội Suy ra số hạng tổng quát là

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: 

1. a) Tính tổng
2. b) Cho cấp số nhân có và công bội . Tìm k, biết .

Giải:

1. a) Ta có dãy số lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu và công bội . Cấp số nhân này có 13 số hạng. Do đó
2. b) Ta có

Theo giả thiết, ta có

Câu 2: 

1. a) Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân đó
2. b) Cho cấp số nhân có Tìm và công bội

Giải:

1. a) Gọi q là công bội của cấp số nhân .

Ta có  

+ Với và , ta có số hạng tổng quát là  

+ Với và , ta có số hạng tổng quát là  

1. b) Ta có

Suy ra

Câu 3: 

1. a) Cho cấp số nhân có và Tính số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
2. b) Cho cấp số nhân có và Tìm số hạng thứ mười của cấp số nhân đó.

Giải:

1. a) Ta có hoặc
2. b) Ta có: hoặc

Với thì  

Với thì  

Vậy

Câu 4: 

1. a) Cho cấp số nhân Tìm và
2. b) Cho cấp số nhân có và tìm và

Giải:

1. a) Theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

Cũng theo tính chất của cấp số nhân, ta có:

Với thì với thì  

1. b) Ta có: nên theo giả thiế, ta có:

Suy ra

Câu 5: 

1. a) Một tứ giác lồi có số đo các góc lập thành một cấp số nhân. Biết rằng số đo của góc nhỏ nhất bằng số đo của góc nhỏ thứ ba. Hãy tính số đo của các góc trong tứ giác đó.
2. b) Cho cấp số nhân có và Tính giá trị của biểu thức

Giải:

1. a) Gọi các góc của tứ giác là trong đó

Theo giả thiết, ta có nên  

Suy ra các góc của tứ giác là  

Vì tổng các góc trong tứ giác bằng nên ta có:  

Các góc cần tìm của tứ giác là: .

1. b) Ta có (do ).

Do nên  

Suy ra

Câu 6: 

1. a) Cho cấp số nhân có và Tìm
2. b) Cho cấp số nhân có . Tính

Giải:
a) Ta có  

Vì nên Do đó  

hoặc  

+ Với thì  

Suy ra  

+ Với thì  

Suy ra  

1. b) Ta có

Kết hợp với phương trình thứ hai trong hệ, ta tìm được Lại có  

Vì nên Suy ra  

Câu 7: Cho cấp số nhân có và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính

Giải:

Gọi là công bội của cấp số nhân. Khi đó 

Dấu bằng xảy ra khi  

Suy ra:

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân:

Giải:

+ Điều kiện cần: Giả sử phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt lập thành một cấp số nhân.

Theo định lý Vi-ét, ta có

Theo tính chất của cấp số nhân, ta có . Suy ra ta có

+ Điều kiện đủ: Với và thì nên ta có phương trình

Giải phương trình này, ta được các nghiệm là Hiển nhiên ba nghiệm này lập thành một cấp số nhân với công bôị

Vậy, và là các giá trị cần tìm.

Câu 2: Một khu rừng có trữ lượng gỗ là mét khối. Biết tốc độ sinh trưởng của các cây ở khu rừng đó là mỗi năm. Hỏi sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có bao nhiêu mét khối gỗ?

Giải:

Đặt và

Gọi là trữ lượng gỗ của khu rừng sau năm thứ

Khi đó ta có

Suy ra là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Do đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là

Sau 5 năm, khu rừng đó sẽ có:

mét khối gỗ.

Câu 3: Một người gửi số tiền triệu đồng vào một ngân hàng với lãi suất /năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thì cứ sau mỗi năm số tiền lãi được nhập vào vốn ban đầu (người ta gọi đó là lãi kép). Giả sử trong khoảng thời gian gửi người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi, hỏi sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được gần với số tiền nào trong các số tiền dưới đây?

Giải:

Đặt (đồng) và

Gọi là số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được sau năm.

Theo giả thiết, ta có

Do đó dãy số là cấp số nhân với số hạng đầu và công bội Suy ra

Vì vậy, sau năm thì tổng số tiền cả vốn lẫn lãi mà người gửi nhận được là 

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân. Biết thể tích của khối hộp là và diện tích toàn phần là Tính tổng số đo ba kích thước của hình hộp chữ nhật đó.

Giải:

Vì ba kích thước của hình hộp chữ nhật lập thành một cấp số nhân nên ta có thể gọi ba kích thước đó là

Thể tích của khối hình hộp chữ nhật là

Diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật là 

Theo giả thiết, ta có

Với hoặc thì kích thước của hình hộp chữ nhật là

Suy ra tổng của ba kích thước này là cm.

Câu 2: Cho cấp số nhân có công bội dương và biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất. Tính  

Giải:

Gọi là công bội của cấp số nhân,  

Ta có  

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

Suy ra đạt giá trị nhỏ nhất bằng khi  

Ta có  

Do đó