CHƯƠNG II: DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG. CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: DÃY SỐ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: 

1. a) Cho dãy số xác định bởi . Xác định bốn số hạng đầu của dãy số .
2. b) Cho dãy số xác định bởi và . Viết năm số hàng đầu của dãy số.

Giải:

1. a) .
2. b)

Câu 2: Viết 5 số hạng đầu tiên của dãy số sau:

1. a)
2. b)

Giải:

1. a)
2. b)

Câu 3: Tìm số hạng tổng quát của dãy số

1. a)

b)

1. c)

Giải:

Vì:

Câu 4: 

1. a) Cho dãy số có . Số là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số .
2. b) Cho dãy số có . Số 15 Là số hạng thứ bao nhiêu của dãy số ?

Giải:

7. a) Giải phương trình ta được Vậy số hạng thứ 7.
8. b) Giải phương trình Vậy số hạng thứ 2.

Câu 5: Cho dãy số xác định bởi và . Tìm tổng của số hạng đầu tiên của dãy số.

Giải:

Tính được

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Xét tính tăng giảm của các dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với .

Giải:

1. a) Dãy số là dãy đan dấu nên không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.
2. b) Ta có (do Vì nên là một dãy số tăng.

Câu 2: Xét tính tăng giảm của dãy số sau

1. a) Dãy , với .
2. b) Dãy , với .

Giải:

1. a) Dãy số là một dãy số giảm vì \

1. b) Dãy số là một dãy số giảm vì

Câu 3: 

1. a) Xét tính bị chặn của dãy số , với .
2. b) Xét tính bị chặn của dãy số , với .

Giải:

1. a) Ta có nên là một dãy số tăng. 

Suy ra nó bị chặn dưới bởi . 

Lại do nên dãy số bị chặn trên bởi 1.

Vậy dãy bị chặn.

1. b) Dãy số là dãy số tăng và chỉ bị chặn dưới vì

Câu 4: 

Cho dãy số với . Tìm a để dãy số là dãy tăng.

Giải:

Ta có Xét hiệu

là dãy tăng khi và chỉ khi

Câu 5: Cho dãy số , xác định bởi: . Chứng minh

Giải:

Ta có:

Vậy

Câu 6: Xét tính bị chặn của dãy số 

1. a) Dãy , với
2. b) Dãy , với .
3. c) Dãy , với .

Giải:

1. a) Dãy số là dãy số tăng vì

Dãy chỉ bị chặn dưới bởi

1. b) Dãy số có nên dãy số  là dãy số bị chặn.
2. c) Dãy số là dãy số tăng vì mà .

Dãy chỉ bị chặn dưới bởi

Câu 7: Khảo sát tính tăng giảm của dãy số.

1. a)
2. b)

Giải:

1. a) Xét hiệu

 
Vậy (un) là dãy tăng.

1. b) Xét hiệu 

Do

Vậy (un) là dãy giảm.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Cho dãy số xác định bởi và . Số là số hạng thứ mấy của dãy số đã cho?

Giải:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số ta có:

.

Suy ra số hạng tổng quát của dãy số là .

Giải phương trình ta được

Câu 2: Cho dãy số xác định bởi và Tổng

Giải:

Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có Suy ra

Do đó

Vậy

Câu 3: Cho dãy số xác định bởi Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong các số hạng của dãy số . Tính giá trị biểu thức

Giải:

Dựa vào chu kì của hàm số ta có

Do đó tập hợp các phần tử của dãy số là

Suy ra Do đó

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho dãy số xác định bởi . Tìm số hạng tổng quát của dãy số .

Giải:

Đặt khi đó .

Từ hệ thức truy hồi suy ra .

Như vậy ta có . 

Ta có ; . 

Nhận thấy , suy ra .

(Có thể chứng minh số hạng tổng quát bằng phương pháp quy nạp).

Vậy số hạng tổng quát

Câu 2: Cho dãy số thỏa mãn Tìm có giá trị nguyên dương lớn nhất để  

Giải:

Dễ chỉ ra được Từ hệ thức truy hồi của dãy số, ta có

Suy ra

Do đó  

Vậy Vì nên

Suy ra số nguyên dương lớn nhất để là .