CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1: GIỚI HẠN DÃY SỐ

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Tính các giới hạn sau bằng định nghĩa.

1. a)  lim1n+1.
   b) 1nk (k∈N*).

Giải:

1. a) Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>1a-1 ta có 1n+1<1na+1<a , ∀n>na nên có lim1n+1=0.
2. b) Với a>0 nhó tùy ý, ta chọn na>k1a ta có 1nk<1nak<a ,∀n>na nên có lim1nk=0.

Câu 2: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

1. a)  limsin2⁡nn+2
2. b) lim1-n2n

Giải:

1. a) Với a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na>1a-2 ta có sin2⁡nn+2<1n+2<1na+2<a, n>na nên có limsin2⁡nn+2=0
2. b) Với mọi số dương M lớn tùy ý ta chọn nM thỏa nM2-1nM>M

nM>M+M2+42.

Ta có: n2-1n>M,n>nM⇒limn2-1n=+∞

Vây lim1-n2n=-∞.

Câu 3: Tính giá trị của giới hạn

1. a) A=lim2n+11-3n
2. b) B=lim4n2+3n+1(3n-1)2

Giải:

1. a) A=lim2n+11-3n=lim1n+21n-3=2-3
2. b) B=lim4n2+3n+1(3n-1)2=lim4+3n+1n29-6n+1n2=49

Câu 4: Tính giá trị của giới hạn

1. a) lim-n2+2n+13n4+2
2. b) lim3n-n44n4-5

Giải:

33. a) lim-n2+2n+13n4+2=lim-1+2n+1n23+2n2=-1+0+03+0=-33.
34. b) limun=lim3n-n44n4-5=lim3n3-14-5n4=-14.

Câu 5: Tính giá trị 

1. a) A=lim2n2+3n+13n2-n+2
2. b) B=limn2+2nn-3n2+1

Giải:

23. a) Ta có: A=lim2+3n+1n23-1n+2n2=23.
24. b) Ta có: B=limn2+nnn-3n2+1n=lim1+1n1-3+1n2=11-3

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

1. a) lim2n+1
2. b) lim2-nn+1

Giải:

1. a) Với mọi a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na=2a-1+1

Suy ra 2n+1<a,n>na⇒lim2n+1=0.

1. b) Với mọi M>0 lớn tùy ý, ta chọn nM>1a+32-1

Ta có: n-21+n=n+1-3n+1>1+n-3>M, n>nM

Suy ra lim2-nn+1=-∞.

Câu 2: Tính giá trị giới hạn sau bằng định nghĩa

1. a) A=lim2n+1n-2
2. b) B=lim2n+3n2+1

Giải:

1. a) Với số thực a> 0 nhỏ tùy ý, ta chọn

Ta có: 2n+1n-2-2=5|n-2|<5na-2<a, n>na

Vậy A=2.

1. b) Với số thực a>0 nhỏ tùy ý, ta chọn na thỏa 2na+3na2+1<a

na>1+a2-4a+13a

Ta có: 2n+3n2+1<a, n>naB=0.

Câu 3: Tính giá trị

1. a) A=lim2n2+14(n+2)9n17+1
2. b) B=limn2+1-33n3+242n4+n+2-n
3. c) C=( -n2+nn+1)

Giải:

1. a) Ta có. A=limn82+1n24n91+2n9n171+1n17=lim2+1n241+2n91+1n17=16
2. b) Ta có: B=limn1+1n2-33+2n3n42+1n3+2n4-1=1-3342-1
3. c) Ta có: C=( -n2+nn+1)=( -n2)1-1n-1n2=-∞

Câu 4: Tính giới hạn

1. a) lim⁡(n-1)2n+2n4+n2-1.
2. b) lim10n4+n2+1

Giải:

1. a) Ta có limun=lim(n-1)2n+2n4+n2-1

=lim(n-1)2(2n+2)n4+n2-1

=lim2n3-2n2-2n+2n4+n2-1

=lim2n-2n2-2n3+2n41+1n2-1n4=0.

1. b) Ta có: lim10n4+n2+1=lim10n21+1n2+1n4

Mà lim1+1n2+1n4=1 và lim10n2=0

Nên lim10n4+n2+1=0.

Câu 5: Tính giới hạn

1. a) lim1+3+5+….+(2n-1)3n2+4
2. b) lim3+n2-13+n2-12n

Giải:

13. a) Ta có: lim1+3+5+….+(2n-1)3n2+4=limn23n2+4=lim13+4n2=13.

(Vì 1 + 3 + 5 + … + (2n -1) = n2).

1. b) lim3+n2-13+n2-12n=lim3+1-1n23n2+1-12n=3+11-0=2

Câu 6: Tính giới hạn

4. a) lim3n-2n-1-33.2n+4n
5. b) limn2sin⁡nπ5-2n3
6. c) limn2+6n-n
7. d)

Giải:

1. a)
   lim3n-4⋅2n-1-33⋅2n+4n=lim3n-2⋅2n-33⋅2n+4n=lim3n1-4⋅23n-3⋅13n4n3⋅24n+1  =lim34n1-4⋅23n-3⋅13n3⋅24n+1=0.
2. b)
   limn2sin⁡nπ5-2n3=limn3sin⁡nπ5n-2=-∞

Vì limn3=+∞;limsin⁡nπ5n-2=-2

Do sin⁡nπ5n1n;lim1n=0⇒limsin⁡nπ5n-2=-2.

1. c) limn2+6n-n= lim6nn2+6n+n=3
2. d) n2+n-n2-1 =n+1n2+n+n2-1 =1+1n1+1n+1-1n2 =12

Câu 7: Tính giới hạn

1. a) lim3n3+9n2-n
2. b) D=limn2+2n-3n3+2n2

Giải:

1. a) lim3n3+9n2-n=lim9n23n3+9n22+n3n3+9n2+n2

=lim931+9n2+1+9n+1=3

1. b) limn2+2n-n-lim3n3+2n2-n

 =lim2nn2+2n+n-lim2n23n3+2n22+n3n3+2n2+n2   =lim21+2n+1-lim231+2n2+31+2n+1=13.

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tính giới han của dãy số un=12+34+...+2k-12k

Giải:

Ta có: un-12un=12+12+122+…+12n-1-2n-12n+1

12un=32-2n+12n+1⇒limun=3

Câu 2: Tính giới han của dãy số D=limn2+n+1-23n3+n2-1+n 

Giải:

Ta có: D=limn2+n+1-n-2lim3n3+n2-1-n

Mà: limn2+n+1-n=limn+1n2+n+1+n=lim1+1n1+1n+1n2+1=12

lim3n3+n2-1-n=limn2-13n3+n2-12+n3n3+n2-1+n2

=lim1-1n231+1n4-1n62+31+1n-1n3+1=13

Vây D=12-23=-16.

Câu 3: Cho dãy xk được xác đinh như sau: xk=12!+23!+…+k(k+1)!

Tìm un  với un=nx1n+x2n+…+x2011n.

Giải:

Ta có: k(k+1)!=1k!-1(k+1)! nên xk=1-1(k+1)!

Suy ra xk-xk+1=1(k+2)!-1(k+1)!<0⇒xk<xk+1

Mà: x2011<nx1n+x2n+…+x2011n<n2011x2011

Mặt khác: limx2011=limn2011x2011=x2011=1-12012!

Vậy limun=1-12012!.

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Cho dãy số xn xác đinh bời x1=12,xn+1=xn2+xn,∀n≥1

Đăt Sn=1x1+1+1x2+1+⋯+1xn+1. Tính limSn.

Giải:

Từ công thức truy hồi ta có: xn+1>xn,∀n=1,2,…

Nên dãy xn là dãy số tăng.

Giả sử dãy xn là dãy bị chặn trên, khi đó sẽ tồn tại lim xn=x

Với x là nghiệm của phưong trình: x=x2+xx=0<x1 vô lí

Do đó dãy xn không bi chặn, hay limxn=+∞.

Mặt khác: 1xn+1=1xnxn+1=1xn-1xn+1

Suy ra: 1xn+1=1xn-1xn+1

Dẫn tới: Sn=1x1-1xn+1=2-1xn+1⇒limSn=2-lim1xn+1=2

Câu 2: Cho dãy số (un) được xác định bởi {uo=2011 un+1=un+1un2 . Tìm un3n

Giải:

Ta thấy un>0,∀n

Ta có : un+13=un3+3+3un3+1un6 (1)

Suy ra: un3>un-13+3⇒un3>u03+3n (2)

Từ (1) và (2), suy ra: un+13<un3+3+1u03+3n+1u03+3n2<un3+3+13n+19n2

Do đó: un3<u03+3n+13∑k=1n 1k+19∑k=1n 1k2

Lai có: ∑k=1n 1k2<1+11.2+12.3+…+1(n-1)n=2-1n<2⋅∑k=1n 1kn∑k=1n 1k2<2n

Nên: u03+3n<un3<u03+3n+29+2n3

Hay 3+u03n<un3n<3+u03n+29n+23n.

Vây limun3n=3.