BÀI 5: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

(17 câu)

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Giải phương trình

1. a)
2. b)
3. c)
4. d)

Giải:

3. a) Vì -32=sin⁡-3 nên sin⁡x=-32⇔sin⁡x=sin⁡-3. 

Vậy phương trình có các nghiệm là

[x=-3+k2,kZ  x=--3+2kπ=43+k2,kZ.

1. b) Phương trình sin⁡x=14 có các nghiệm là

[x=arcsin 14 +2kπ,kZ x=π-arcsin 14 +2kπ,k∈Z

1. c) Ta có 12=sin⁡30, nên

sin⁡x-60=12⇔sin⁡x-60=sin⁡30.  [x-60=30+k360,kZ x-60=180-30+k360,kZ 

Vậy phương trình có các nghiệm là

[x=90+k360,kZ  x=210+k360,kZ.

1. d) Ta có sin⁡2x=-1(giá trị đặc biệt). 

Phương trình có nghiệm là

2x=32+k2,kZ  hay  x=34+kπ,kZ.

Câu 2: Giải các phương trình
a) cos⁡3x-6=-22;
b) cos⁡(x-2)=25

Giải:

1. a) Vì -22=cos⁡34 nên cos⁡3x-6=-22

⇔cos⁡3x-6=cos⁡34

1. b) cos⁡(x-2)=25x-2=±arccos⁡25+k2,kZ

x=2±arccos⁡25+k2,kZ

Câu 3: Giải các phương trình
a) tan⁡2x=tan⁡27
b) tan⁡3x-30=-33;

Giải:

1. a) tan⁡2x=tan⁡27⇔2x=27+kπ,kZx=7+k2,k
2. b) tan 3x-30 =-33

tan 3x-30 =tan -30

⇔3x-30=-30+k180,kZ

⇔3x=k180,kZ

x=k60,kZ

Câu 4: Giải phương trình

1. a) cot⁡4x-6=3;
   b) cot⁡x3-1cot⁡x2+1=0

Giải

1. a) cot⁡4x-6=3⇔cot⁡4x-6=cot⁡6

 ⇔4x-6=6+kπ,kZ   ⇔4x=3+kπ,kZx=12+k4,kZ.

1. b) Điều kiện : sin⁡x3≠0 và sin⁡x2≠0. Khi đó ta có

cot⁡x3-1cot⁡x2+1=0   [c o t⁡x3-1=0 c o t⁡x2+1=0 [c o t⁡x3=1 c o t⁡x2=-1 [x=34+k3,kZ x3=4+kπ,kZ x2=-4+kπ,kZ ⇒-2+k2,kZ.

Các giá trị này thoả mãn điều kiện.

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là

x=34+k3,kZ  và x=-2+k2,kZ.

Câu 5: Giải phương trình

1. a) cos⁡2x+50=12
   b) (1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0.

Giải:

1. a) Vì 12=cos⁡60 nên

cos⁡2x+50=12  ⇔cos⁡2x+50=cos⁡60   ⇔2x+50=±60+k360,kZ   [2x=-50+60+k360,kZ 2x=-50-60+k360,kZ    [x=5+k180,kZ x=-55+k180,kZ. 

1. b) Ta có

(1+2cos⁡x)(3-cos⁡x)=0⇔[1+2cos⁡x=0 3-cos⁡x=0 [cos⁡x=-12 cos⁡x=3

Phương trình cos⁡x=-12 có các nghiệm là x=±23+k2,kZ

còn phương trình cos⁡x=3 vô nghiệm.

Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là x=±23+k2,kZ.

2. THÔNG HIỂU (7 câu)

Câu 1: Giải các phương trình
a) sin⁡2xcot⁡x=0;
b) tan⁡x-30cos⁡2x-150=0;

Giải:

1. a) Điều kiện của phương trình sin⁡2xcot⁡x=0

là sin⁡x≠0.

Ta biến đổi phương trình đã cho

 ⇔2sin⁡xcos⁡xcos⁡xsin⁡x=0   ⇔2cos2⁡x=0   ⇔cos⁡x=0⇒x=2+kπ,kZ.

Các giá trị này thoả mãn điều kiện của phương trình. Vậy nghiệm của phương trình là

x=2+kπ,kZ

1. b) Điều kiện của phương trình

tan⁡x-30cos⁡2x-150=0

là cos⁡x-30≠0.

Ta biến đổi phương trình đã cho

 sin⁡x-30cos⁡x-30⋅cos⁡2x-150=0   [s i n⁡(x-30)=0 c o s⁡(2x-150)=0 [x-30=k180,kZ 2x-150=±90+k360,kZ    [x=30+k180,kZ 2x=240+k360,kZ 2x=60+k360,kZ [x=30+k180,kZ x=120+k180,kZ x=30+k180,kZ. 

Khi thay vào điều kiện cos⁡x-30≠0, ta thấy giá trị x=120+k180 không thoả mãn, còn giá trị x=30+k180 thoả mãn. Vậy nghiẹ̀m của phương trình đã cho là

x=30+k180,kZ

Câu 2: Giải phương trình

Giải:

Điều kiện:

Phương trình

Biểu diễn nghiệm trên đường tròn lượng giác ta được 2 vị trí như Hình 2.

Đối chiếu điều kiện, ta loại nghiệm . Do đó phương trình có nghiệm

Câu 3: Tìm tất cả các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.

Giải:

Để phương trình có nghiệm

Câu 4: 

1. a) Giải phương trình
2. b)  Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình

Giải:

Phương trình

1. b) Phương trình

.

Đặt

Phương trình trở thành





Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình là

Câu 5: Trên khoảng , phương trình   có bao nhiêu nghiệm?

Giải:

Ta có

Vì , suy ra

Vậy trên khoảng phương trình có 3 nghiệm.

Câu 6: Cho . Tính .

Giải:

Phương trình

Suy ra

Do đó

Câu 7: Giải phương trình

Giải:

Ta có .

 Với

 Với

(Có thể kết hợp nghiệm

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Giải phương trình

Giải:

Ta có và .

Do đó phương trình

Câu 2: Tìm các giá trị của tham số để phương trình có nghiệm.

Giải:

Phương trình có nghiệm

Câu 3: Tìm tất các giá trị thực của tham số để phương trình có nghiệm trên khoảng

Giải:

Phương trình

Phương trình không có nghiệm trên khoảng (Hình vẽ). 

Do đó yêu cầu bài toán có nghiệm thuộc khoảng .

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Câu 1: Tìm giá trị của m để phương trình có đúng nghiệm phân biệt thuộc khoảng .

Giải:

Đặt .

Phương trình trở thành  

Yêu cầu bài toán tương đương với:

 TH1: Phương trình có một nghiệm (có một nghiệm ) và một nghiệm (có bốn nghiệm ) (Hình 1).

 Do .

 Thay vào phương trình , ta được

 TH2: Phương trình có một nghiệm (có hai nghiệm ) và một nghiệm (có ba nghiệm ) (Hình 2).

 Do .

 Thay vào phương trình , ta được

Vậy thỏa mãn yêu cầu bài toán. 

Câu 2: Cho phương trình . Trên đoạn có bao nhiêu nghiệm của phương trình?

Giải:

Đặt . Vì . 

Ta có

Phương trình đã cho trở thành

Với , ta được .

Theo giả thiết

Vậy có nghiệm của phương trình trên đoạn .