Bài tập file word toán 7 cánh diều Chương 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

BÀI 11: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (4 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh AB và AC. Chứng minh ID = IE

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

 I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Bài 2: Cho tam giác MNP có , các tia phân giác của góc M và góc N cắt nhau tại I. Gọi D, E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến các cạnh MN và MP. TÍnh IE biết ID = 4cm

Đáp án:

Xét ΔABC ta có:

Tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau tại I

 I là giao điểm của ba đường phân giác trong ΔABC

DI = IE (tính chất 3 đường phân giác của tam giác)

Mà ID = 4cm

Bài 3: Cho tam giác ABC. Tia phân giác của góc A và góc B cắt nhau tại I. Gọi ba điểm M, N, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ I đến các đường thẳng AB, AC, BC, biết IN = x + 5 và IM = 3x – 1. Tìm x

Đáp án:

Trong tam giác ABC, I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IM

x + 5 = 3x -1

 2x = 6

Bài 4: Cho tam giác ABC. Hai đường phân giác BE và CD cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AI là phân giác của góc A.

Đáp án:

Hai đường phân giác BE và CD cắt nhau tại I

Mà ba đường phân giác của một tam giác cùng đi qua một điểm

 AI là phân giác của góc A.

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC, các tia phân giác của góc B và góc C cắt nhau ở I

a, Biết rằng , tính số đo

b, Biết rằng  , tính số đo

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC, ta tính được

Vì thế +

Vậy

a, Xét tam giác BIC, ta có được

Vì thế +

Vậy

Bài 2: Cho tam giác ABC có , các tia phân giác của  và  cắt nhau tại I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc hạ từ I đến AB và AC.

1. a) Biết ID = 3 cm. Tính IE?
2. b) Biết ID = x + 2, IE = 2x − 4. Tìm x

Đáp án:

a, Xét tam giác ABC có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I

 I là giao điểm ba đường phphaaniasc trong tam giác ABC

AI là đường phân giác của góc A và I cách đều ba cạnh của tam giác ABC (tính chất)

Vì I là giao điểm 3 đường phân giác trong tam giác ABC nên ID = IE = 3cm

b, Ta có ID = IE (cmt)

Bài 3: Tìm x biết CI và BI là phân giác của  và

Đáp án:

Ta có  = 2  = 2.(

   (tổng ba góc trong một tam giác)

Lại có CI và BI lần lượt là hai tia phân giác của  và

 là giao điểm ba đường phân goác trong ΔABC

là tia phân giác của

Bài 4: Cho tam giác  ba đường phân giác của ba góc  cắt nhau tại I và .

1. a) Chứng
2. b) So sánh IB và IC

Đáp án:

Ta có

tương tự  là tia phân giác của góc

Ta có

mà (quan hệ góc cạnh trong một tam giác)

 hay  (đpcm)

1. b) có (cmt) mà  (cmt)

Xét  có .

Bài 5: Chứng minh rằng: Nếu tam giác có một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác thì tam giác đó là một tam giác cân.

Đáp án:

Lấy điểm  thuộc tia đối của tia  sao cho

Dễ thấy  (c.g.c) (cạnh tương ứng) và  (góc tương ứng)

Mà  hay  cân tại

Từ (1) và  hay  là tam giác cân

Bài 6: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm của hai tia phân giác của hai góc ngoài  và  nằm trên tia phân giác của góc A.

Đáp án:

Vẽ tia Bx là tia đối của tia BA và tia Cy là tia đối của tia CA.

Vẽ hai tia phân giác của hai góc CBx và BCy.

Gọi I là giao điểm của hai tia phân giác góc CBx và BCy.

Vẽ

 và

Vì I thuộc tia phân giác của góc CBx nên IH = IP tương tự I thuộc tia phân giác của góc Bcy nên IP = IK.

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Bài 1: Cho tam giác ABC có . Các đường phân giác AD và CE cắt nhau tại O. Đường phân giác góc ngoài của tam giác tại đỉnh B cắt đường thẳng AC tại F. Chứng minh rằng:

1. a)
2. b)
3. c) Các điểm D, E, F thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) AD và CE là hai tia phân giác cắt nhau tại O. Vậy BO là tia phân giác của nên .
2. b) nên

Tính được  nên AF là phân giác của . Vậy F là giao điểm của hai đường phân giác góc ngoài tại A và B của tam giác ABD .

1. c) Tam giác ADC có AE là tia phân giác của góc ngoài; CE là tia phân giác trong

 DE là tia phân giác của  (theo b).

Vậy DE và DF trùng nhau, hay D, E, F thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác có các tia phân giác góc B và C cắt nhau tại I. Các đường phân giác góc ngoài tại đỉnh B và C cắt nhau ở K. Chứng minh ba điểm A, I, K thẳng hàng

Đáp án:

Vì I là giao điểm các phân giác của tam giác ABC

 I thuộc thia phân giác

Hạ KD  BC, KE  AC, KF  AB

Vì K thuộc tia phân giác của

Mà K thuộc tia phân giác của

 K thuộc tia phân giác  (2)

Từ (1) và (2)  I và K cùng thuộc tia phân giác

Vì vậy 3 điểm A, I, K thẳng hàng

Bài 3: Cho tam giác  vuông tại .  và  là hai điểm lần lượt trên  và  sao cho:  Gọi  là giao điểm của  và .

Chứng minh rằng IDE là tam giác cân.

Đáp án:

Kẻ các tia phân giác trong của , chúng cắt nhau tại J. Xét , có:

.

Ta có  (g.c.g)

 và  (hai cạnh tương ứng) suy ra IE  ID. Do đó  cân tại I.

Bài 4: Cho góc , trên  lấy hai điểm  và B. Trên  lấy hai điểm  và  sao cho ; . Kẻ  và  ' song song với . Kẻ  và  song song với . Biết  và  cắt nhau tại  " cắt  ' tại . Chứng minh rằng:

1. a) ;
2. b) thẳng hàng.

Đáp án:

1. a) Nối , xét và có  chung;  (so le trong,  ) và  (so le trong,  ' //  ) (1).

Vậy  (g.c.g) .

Mà  nên .

1. b) (2)

Từ (1) và (2), suy ra  là tia phân giác của góc .

Tương tự,  cũng là tia phân giác của góc .

Vậy  và  cùng là tia phân giác của góc  nên  trùng  hay ba điểm  thẳng hàng.

Bài 5: Cho tam giác ABC có . Kẻ đường phân giác BM. Đường phân giác của góc ngoài ở đỉnh C cắt đường thẳng AB tại P. Đoạn thẳng MP cắt cạnh BC ở K. Tính số đo của góc AKM.

Đáp án:

Theo giả thiết ta có CP và BP là các tia phân giác của các góc ngoài ở đỉnh C và B của tam giác MBC, suy ra MP là tia phân giác của góc BMC.

Xét tam giác AMB ta có BK là tia phân giác của góc ngoài ở đỉnh B, MK là tia phân giác của góc ngoài đỉnh M, suy ra AK là tia phân giác của góc BAC.

Như vậy  .

Bài 6: Cho tam giác  có ba đường phân giác cắt nhau tại . Chứng minh rằng:
a)

1. b)

Đáp án:

1. a) Ta có là tia phân giác của góc (gt)

nên  tương tự

 và  là tia phân giác của các góc  và góc

Ta có

Mà

(tổng ba góc trong một tam giác)

hay

1. b) Xét ta có

Hay

Hay

Xét tam giác BIC ta có

Thay (1) vào (2) ta có

4. VẬN DỤNG CAO (2 câu)

Bài 1: Cho góc nhọn . Lấy điểm  trên , điểm  trên  sao cho . Tại  kẻ đường thẳng vuông góc với . Đường thẳng này cắt  tại . Tại  kẻ . Tại  kẻ đường thẳng vuông góc với , đường thẳng này cắt  tại . Từ  kẻ . Hai đường thẳng  và  cắt nhau tại . NP và  cắt nhau tại . Chứng minh ba điểm  thẳng hàng.

Đáp án:

 (Cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 OE là tia phân giác của góc xOy và EM = EN.

(g.c.g)  MP = NQ OP = OQ.

 (Cạnh huyền – cạnh góc vuông)

 OF là tia phân giác của góc xOy.

OE và OF đều là tia phân giác của góc xOy nên O, E, F thẳng hàng

Bài 2: Cho tam giác ABC có  các đường phân giác của góc B và C cắt nhau tại I. Chứng minh rằng AC = AB + IB.

Đáp án:

Kẻ

Tam giác ABC có các đường phân giác của và  cắt nhau tại I

 AI là phân giác của (tính chất ba đường phân giác)

Vì BI là tia phân giác của  nên

Xét tam giác BFI vuông tại F và tam giác BDI vuông tại D, ta có

BI là cạnh chung

 (ch-gn)

CMTT ta có: AF = AE, CE = CD

Trên đoạn CD lấy điểm G sao cho BD = DG.

Xét  vuông tại D và  vuông tại D có:

BD = DG

DI là cạnh chung

 (2cgv)

   là tam giác cân tại I

(1)

Ta có    (2)

Từ (1) và (2)

Mà 2 góc này đồng vị

Vì CI là phân giác góc ACB

     là tam giác cân tại G

Ta có AC = AE + CE

= AF + CD

= AF + DG + CG

= AF + BD + IG

= AF + BF + IB

= AB + IB