BÀI 13. ĐẠI LƯỢNG TỈ LỆ NGHỊCH (27 BÀI)

1. NHẬN BIẾT (10 BÀI)

Bài 1: Viết công thức biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y biết rằng

1. a) y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=3;
2. b) y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=-3;

Đáp án:

1. a) Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=2 nên y=2x.
2. b) Vì  y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=-2 nên y=-2x.

Bài 2: Viết công thức biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y biết rằng

2. a) y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=0,2.
3. b) x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=5;

Đáp án:

1. c) Vì y tỉ lệ nghịch với x theo hệ số tỉ lệ a=0,5 nên y=0,5x=12x.
2. d) Vì x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=5 nên x=5.1y=5y.

Bài 3: Viết công thức biểu diễn mối quan hệ giữa hai đại lượng x và y biết rằng

1. a) x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=-6;
2. b) x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=25.

Đáp án:

6. a) Vì x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=-6 nên x=-6.1y=-6y.
7. b) Vì x tỉ lệ thuận với 1y theo hệ số tỉ lệ a=25 nên x=25.1y=25y.

Bài 4: Cho y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ abiết:  

1. a) y=4, x=2; b) y=-3, x=5;
2. c) y=0,5, x=0,25; d) y=19, x=13.

Đáp án:

4. a) Với y=4, x=2 thì a=4.2=8.
5. b) Với y=-3, x=5 thì  a=-3.5=-15.
6. c) Với y=0,5, x=0,25

thì a=0,5.0,25=0,125.

19. d) Với y=19, x=13 thì hệ số tỉ lệ a=19.13=127.

Bài 5: Cho y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ abiết:  

y=4, x=2;

Đáp án:

Với y=4, x=2 thì a=4.2=8.

Bài 6: Cho y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ abiết:  

y=-3, x=5;

Đáp án:

Với y=-3, x=5 thì  a=-3.5=-15.

Bài 7: Cho y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ abiết:  

y=0,5, x=0,25;

Đáp án:

Với y=0,5, x=0,25 thì a=0,5.0,25=0,125.

Bài 8: Cho y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch. Tìm hệ số tỉ lệ abiết:  

y=19, x=13

Đáp án:

Với y=19, x=13 thì hệ số tỉ lệ a=19.13=127.

Bài 9: Cho biết hai đại lượng xvà ytỉ lệ nghịch với nhau và khi  x=4 thì y=2  

Tìm hệ số tỉ lệ của y và x

Đáp án:

Vì y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức xy=a

Khi  x=4 thì y=2 ⇒a=4.2=8.

Bài 10: Cho biết hai đại lượng xvà ytỉ lệ nghịch với nhau và khi  x=4 thì y=2  

Hãy biểu diễn y theo x;

Đáp án:

Vì y và x là 2 đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có công thức xy=a

Vì a=8. Biểu diễn y theo x ta có:  y=8x.

2. THÔNG HIỂU (4 BÀI)

Bài 1: Tính .

Cho bảng sau

1. a) Điền số thích hợp vào ô trống trong bảng sau
2. b) Hai đại lượng x,ycó quan hệ với nhau như thế nào? Giải thích vì sao?

Đáp án:

a)

b)Ta thấy tích xy không đổi luôn bằng -30 nên x,ylà 2 đại lượng tỉ lệ nghịch theo hệ số tỉ lệ là -30

Bài 2: Cho biết hai đại lượng x và y tỉ lệ nghịch với nhau, và khi x=3 thì y=-6

1. a) Viết công thức liên hệ giữa x và y.

b)Tính giá trị của y khix=-1 , ; x=-3 

Đáp án:

3. a) y=3.-6=-18 hay x=-18y
4. b) Từ công thức x=-18y

ta có:

Bài 3: Cho biết đại lượng y tỉ lệ nghịch với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ a=30. 

Cặp giá trị nào dưới đây là cặp giá trị tương ứng của hai đại lượng nói trên:

a )  

1. b)

Đáp án:

Vì đại lượng y tỉ lệ nghịch  với đại lượng x theo hệ số tỉ lệ là a=30nên ta có x.y=30 

1. a) khác 30 nên không phải là cặp giá trị cần tìm.
2. b) y=6.5=30  là cặp giá trị cần tìm.

Vậy x=6;y=5.

Bài 4: Cho x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau.

Gọi là các giá trị tương ứng của x; là các giá trị tương ứng của y.

Biết  

Viết công thức liên hệ giữa x và y.

1. a) Tính giá trị của y khix=-4; .
2. b) Tính giá trị của x khi y=6;y=-32

Đáp án:

1. a) Vì x và y là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên xy=a ( a là hằng số khác 0)

Theo đề bài ta có ; 

Mà x1x2=y2y1; suy ra 32=y2y1; suy ra y12=y23=2y14=3y29=2y1+3y24+9=-262=-13

Suy ra y1=2.-2=4 

Mặt khác : a=x1.y1=3.-4=-12 

Vậy x.y=-12 

1. b) Từ công thức y=12 suy ra 

y=12x=3 

Với thì y=3 

Với x=0,5 thì y=-24 

1. c) Từ công thức xy=-12 suy ra

do đó với y=6 thì x=-2
với  y=-32thì

3. VẬN DỤNG (8 BÀI)

Bài 1: Cho biết 7 người dọn dẹp tòa nhà hết 12 giờ. Hỏi nếu 10 người (với cùng năng suất như thế) dọn dẹp tòa nhà hết bao nhiêu thời gian?

Đáp án:

Gọi thời gian 10 người dọn dẹp xong tòa nhà là x (giờ), x>0

Vì số người dọn dẹp nhà và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau nên ta có: 710=x12⇒x=7⋅1210=8,4 (giờ)

Vậy nếu 10 người dọn dẹp tòa nhà mất 8,4h

Bài 2: Với thời gian để một người thợ lành nghề làm được 14 sản phẩm thì người thợ học việc làm được 8 sản phẩm. Hỏi người thợ học việc phải cần bao nhiêu thời gian để hoàn thành khối lượng công việc mà người thợ lành nghề làm trong 56 giờ?

Đáp án:

Gọi thời gian người học việc cần dùng để hoàn thành công việc là x (giờ), x>0

Vì thời gian hoàn thành và sản phẩm làm được là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có: 56.14=8.x⇒x=56⋅148=84 (giờ)

Bài 3: Cùng với một số tiền để mua 20 quyển vở có thể mua được bao nhiêu chiếc bút bi? Biết rằng giá tiền một quyển vở bằng 80% giá tiền một chiếc bút bi.

Đáp án:

Gọi số bút có thể mua được là x chiếc (x∈N*)

Với cùng một số tiền thì giá tiền mua và số lượng mua là hai đại lượng tỉ lệ nghịch với nhau, do đó: 

80%100%=x2045=x20⇒x=4.205=16

Vậy có thể mua được 16 chiếc bút bi.

Bài 4: Ba đội công nhân làm ba khối lượng công việc như nhau.Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 8 ngày, đội thứ hai trong 10 ngày và đội thứ ba trong 12 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu người (năng suất mỗi người như nhau) biết đội thứ ba kém đội thứ nhất 5 công nhân?

Đáp án:

Gọi x1, x3 lần lượt là số công nhân của đội thứ nhất, đội thứ hai và đội thứ ba (x1, x3 nguyên dương). 

Theo đề bài ta có x1-x3=5 (công nhân). 

Vì cùng làm một công việc, số lượng công nhân và thời gian hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên: 8x1=10x2=12x3x118=x2110=x3112

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x118=x2110=x3112=x1-x318-112=5124=120

Do đóx1=120⋅18=15 (thỏa mãn)
x2=120⋅110=12 (thỏa mãn)
x3=120⋅112=10 (thỏa mãn)
Vậy đội thứ nhất có 15 công nhân; đội thứ hai có 12 công nhân và đội thứ ba có 10 công nhân.

Bài 5: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 60 km/h và từ B trở về A với vận tốc 80 km/h. Thời gian cả đi lẫn về là 1 giờ 45 phút. Tính thời gian đi, thời gian về và độ dài quãng đường AB. 

Đáp án:

Gọi x và y là thời gian đi và thời gian về (giờ, x>0,y>0) . 

Thời gian cả đi lẫn về là 1 giờ 45 phút, nên có x+y=134 hay x+y=74. 

Thời gian và vận tốc đi trên một đoạn đường là hai đại lượng tỉ lệ nghịch, nên ta có 60x=80y hay x4=y3. 

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có x4=y3=x+y4+3=74:7=14. 

Suy ra x4=14 hay x=1,y3=14 hay y=34 

Kết luận: thời gian đi là 1 giờ, thời gian về là 45 phút, độ dài quãng đường AB bằng 60 km.

Bài 6: Hai ô tô khởi hành từ A đến B vận tốc của ô tô I là 50 km/h, vận tốc ô tô II là 60 km/h. Ô tô I đến B sau ô tô II là 36 phút. Tính quãng đường AB?

Đáp án:

Đổi 36 phú  =35h

Gọi t1,t2 (giờ) lần lượt là thời gian đi đoạn đường AB của xe I và xe II.

Theo đề bài ta có   t1-t2=35 giờ

Với cùng quãng đường AB thì vận tốc và thời gian tỷ lệ nghịch với nhau nên theo tính chất ta có:

5060=t1t2t160=t250=t1+t260-50=3510=350

Suy ra t2=3 

Vậy thời gian ô tô II đi hết quãng đường AB là 3 giờ.

Quãng đường AB dài (km)

Vậy quãng đường AB dài 180 km.

Bài 7: Ba đội máy cày, cày ba cánh đồng cùng diện tích. Đội thứ nhất cày xong trong 3 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày và đội thứ ba trong 6 ngày. Hỏi mỗi đội có bao nhiêu máy, biết rằng đội thứ hai có nhiều máy hơn đội thứ ba 1 máy? (Năng suất các máy như nhau).

Đáp án: 

Gọi x (máy), y (máy), z (máy) lần lượt là số máy của ba đội 

(điều kiện x,y,z∈N*) và  

Vì diện tích cày như nhau, các máy cùng năng suất nên số máy và số ngày hoàn thành là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Ta có:  3x=5y=6z=x13=y15=z16

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x13=y15=z16=y-z15-16=1130=30

x13=30⇒x=13⋅30=10 (thoả mãn)

y15=30⇒y=15.30=6 (thoả mãn)

z16=30⇒z=16⋅30=5 (thoả mãn)

Vậy đội I có 10máy cày, đội II có 6 máy cày, đội III có 5 máy cày.

Bài 8: Để hoàn thành một công việc cần 12 người làm trong 10 ngày. Nếu muốn làm xong sớm 2ngày thì cần điều động thêm bao nhiêu người (với năng suất mỗi công nhân như nhau)?

Đáp án:

Với cùng một công việc thì số ngày làm và số người làm là hai đại lượng tỉ lệ nghịch.

Gọi x là số người làm trong 8 ngày xong công việc

Theo tính chất của hai đại lượng tỉ lệ nghịch, ta có: 108=x12⇒x=10.128=15.

Vậy số người cần điều động thêm là: 15-12=3 (người).

4. VẬN DỤNG CAO (5 BÀI)

Bài 1: Có ba gói tiền, gói thứ nhất gồm toàn tờ 10000đồng, gói thứ hai gồm toàn tờ 20000đồng, gói thứ ba gồm toàn tờ 50000đồng. Biết rằng tổng số tờ giấy bạc của ba gói là 340 tờ và số tiền ở các gói bằng nhau. Tính số tờ giấy bạc mỗi loại.

Đáp án:

Gọi x,y và z lần lượt là số tờ tiền 10000 đồng, 20000 đồng và 50000 đồng. (x,y,z∈N*)

Theo đề bài, ta có: 10000.x=20000.y=50000.z 

Suy ra x110000=y120000=z150000 

=x+y+z110000+120000+150000=34017100000=20.100000

Suy ra x=20.100000.110000=200 

y=20.100000.120000=100

z=20.100000.150000=40 (thoả mãn)

Vậy có 200 tờ loại 10000 đồng, 100tờ loại 20000 đồng và 40 tờ loại 50000 đồng.

Bài 2: Bốn đội máy cày làm việc trên bốn cánh đồng có diện tích bằng nhau. Đội thứ nhất hoàn thành công việc trong 4 ngày, đội thứ hai trong 5 ngày, đội thứ ba trong 6 ngày, đội thứ tư trong 10 ngày. Hỏi cả bốn đội có tất cả mấy máy cày? Biết công suất mỗi máy cày là như nhau và đội thứ nhất có nhiều hơn đội thứ tư là 18 máy? (biết công suất của mỗi máy cày là như nhau)

Đáp án:

Gọi số máy cày của bốn đội lần lượt là x;y;z;t (máy)

Do công suất của mỗi máy cày là như nhau nên số máy cày tỉ lệ nghịch với thời gian hoàn thành công việc. Vì vậy ta có:

4x=5y=6z=10t và x-t=18

x15=y12=z10=t6 và x-t=18

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

x15=y12=z10=t6=x-t15-6=189=2

Do đó: {x=2.15=30 y=2.12=24 z=2.10=20 t=2.6=12

Vậy cả bốn đội có tất cả là 86 máy cày.

Bài 3: Tìm hai số nguyên dương xvà ybiết rằng tổng, hiệu và tích của chúng lần lượt tỉ lệ nghịch với 35;210;12

Đáp án:

Do tổng, hiệu và tích của xvà y lần lượt tỉ lệ nghịch với 35,210,12

Ta có: x+y.35=x-y.210=12.xy

x+y.35=x-y.210x+y210=x-y35x+y210=x-y35=2x245=2y175

x7=y5⇒x=7y5thay vào đẳng thức x+y.35=12xyta được:

y2-5y=0⇒yy-5=0⇒y∈0;5mày>0⇒y=5

Với y=5thì x=7

Bài 4: Tìm độ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 13cm. Biết độ dài 3 đường cao tương ứng lần lượt là 2cm, 3cm, 4cm.

Đáp án:

Gọi độ dài ba cạnh của tam giác là x;y;z ( cm) (x;y;z > 0)

Theo bài ra ta có : x+y+z=13

và  2x=3y=4z=2S 

Suy ra x6=y4=z3

Áp dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau

x6=y4=z3=x+y+z6+4+3=1313=1

suy ra x=6,y=4;z=3

Vậy độ dài 3 cạnh của tam giác lần lượt là: 6;4;3.

Bài 5: Một bản thảo cuốn sách dày 555 trang được giao cho 3 người đánh máy. Để đánh máy 1 trang người thứ nhất cần 5 phút, người thứ hai cần 4 phút, người thứ 3 cần 6 phút. Hỏi mỗi người đánh máy được bao nhiêu trang bản thảo, biết rằng cả 3 người cùng nhau làm từ đầu đến khi đánh máy xong.

Đáp án:

Gọi số trang người thứ nhất, thứ 2, thứ 3 đánh máy được theo thứ tự x,y,z (trang)

Trong cùng một thời gian, số trang sách mỗi người đánh được tỉ lệ nghịch với thời gian cần thiết để đánh xong 1 trang; tức là số trang 3 người đánh tỉ lệ nghịch với 5;4;6

Do đó ta có:x:y:z=15:14:16=12:15:10

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

x12=y15=z10=x+y+z12+15+10=55535=15

{x=180 y=225 z=150

Vậy số trang sách của người thứ nhất, thứ hai, thứ ba lần lượt là: 180,225,150 (trang)