BÀI 3: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ ĐỒ THỊ

I. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

LT-VD 1 trang 23 sgk toán 11 cánh diều

1. a) Chứng tỏ rằng hàm số  g(x)=... là hàm số lẻ. 
2. b) Cho ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ.

Đáp án:

1. a) Xét hàm số gx=x3 có tập xác định D=R. 

∀ x∈R thì -x∈R, ta có: 

g-x=-x3=-x3=-g(x) 

Do đó hàm số gx=x3 là hàm số lẻ.

1. b) Ví dụ về hàm số không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ:

fx=x4+x3;gx=2x3-3x2

LT-VD 2 trang 23 sgk toán 11 cánh diều

Cho ví dụ về hàm số tuần hoàn.

Đáp án:

Ví dụ về hàm số tuần hoàn:

Cho T là một số hữu tỉ và hàm số f(x) được cho bởi công thức sau:

fx={3         nếu x là số hữu tỉ -3      nếu x là số vô tỉ     

f(x) có tập xác định trên R.

Nếu x là số hữu tỉ thì x + T cũng là số hữu tỉ;

Nếu x là số vô tỉ thì x + T cũng là số vô tỉ.

Do đó f(x + T) = f(x) với mọi x.

Vậy hàm số f(x) là hàm số tuần hoàn.

II. HÀM SỐ Y = SINX

LT-VD 3 trang 25 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số y = sinx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng...

Đáp án:

Do -7π2; -5π2=2-4π;3π2-4π 

=2+-2.2π;3π2+-2.2π nên hàm số y=sin x nghịch biến trên khoảng -7π2; -5π2.

III. HÀM SỐ Y = COSX

LT-VD 4 trang 27 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số y = cosx đồng biến hay nghịch biến trên khoảng (−2π;−π)

Đáp án:

Do -2; -=0-2;-2 nên hàm số y=cos x nghịch biến trên khoảng -2; -.

IV. HÀM SỐ Y = TANX

LT-VD 5 trang 29 sgk toán 11 cánh diều

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng...

Đáp án:

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = tan x trên khoảng -2;2

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ ℝ thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm. 

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng -2;2 là 1.

V. HÀM SỐ Y = COTX

LT-VD 6 trang 30 sgk toán 11 cánh diều

Với mỗi số thực m, tìm số giao điểm của đường thẳng y = m và đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0,π).

Đáp án:

Xét đồ thị của hàm số y = m và đồ thị của hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) (hình vẽ).

Từ đồ thị của hai hàm số trên hình vẽ, ta thấy mọi m ∈ R thì hai đồ thị trên luôn cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy số giao điểm của đường thẳng y = m (m ∈ ℝ) và đồ thị hàm số y = cot x trên khoảng (0; π) là 1.

BT 1 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên đoạn [−2π;2π] để: 

1. a) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 1
2. b) Hàm số y = sinx nhận giá trị bằng 0 
3. c) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng -1
4. d) Hàm số y = cosx nhận giá trị bằng 0

Đáp án:

* Đồ thị hàm số y = sinx:

2. a) Quan sát đồ thị hàm số y=sin x trên đoạn -2π;2π ta thấy hàm số y=sin x nhận giá trị bằng 1 tại x∈-3π2;2.
3. b) Quan sát đồ thị hàm số y=sin x trên đoạn -2π;2π ta thấy hàm số y=sin x nhận giá trị bằng 0 tại x∈-2π; -π;0;π;2π

* Đồ thị hàm số y = cosx:

1. c) Quan sát đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn -2π;2π ta thấy hàm số y=cos x nhận giá trị bằng 1 tại x∈-π;π.
2. d) Quan sát đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn -2π;2π ta thấy hàm số y=cos x nhận giá trị bằng 0 tại x∈-3π2; -2;2;3π2.

BT 2 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, tìm giá trị của x trên khoảng (−π; 3π/2) để: 

1. a) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng -1
2. b) Hàm số y = tanx nhận giá trị bằng 0
3. c) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 1
4. d) Hàm số y = cotx nhận giá trị bằng 0

Đáp án:

1. a) Xét đồ thị hàm số y= ‒1 và đồ thị hàm số y=tan x trên khoảng -π;3π2:

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y=tan x nhận giá trị bằng ‒1 tại x∈-4;4.

1. b) Xét đồ thị hàm số y=tan x trên khoảng -π;3π2:

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y=tan x nhận giá trị bằng 0 tại x∈0;π.

1. c) Xét đồ thị hàm số y=1 và đồ thị hàm số y=cot x trên khoảng -π;3π2:

Quan sát đồ thị của hai hàm số, ta thấy hàm số y=cot x nhận giá trị bằng 1 tại x∈-3π4;4;5π4

1. d) Xét đồ thị hàm số y=cot x trên khoảng -π;3π2:

Quan sát hình vẽ, ta thấy hàm số y=cot x nhận giá trị bằng 0 tại x∈-2;2.

BT 3 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Xét sự biến thiên của mỗi hàm số sau trên các khoảng tương ứng: 

1. a) y = sinx trên khoảng (−9π/2; −7π/2), (21π/2; 23π/2)
2. b) y = cosx trên khoảng (−20π; −19π), (−9π; −8π).

Đáp án:

1. a) Xét hàm số y=sin x :

+ Do -9π2; -7π2=-2-4π;2-4π nên hàm số y=sin x đồng biến trên khoảng -9π2; -7π2.

+ Do 21π2;23π2=2+10π;3π2+10π nên hàm số y=sin x nghịch biến trên khoảng 21π2;23π2.

1. b) Xét hàm số y=cos x :

+ Do -20π; -19π=0-20π;π-20π nên hàm số y=cos x nghịch biến trên khoảng -20π; -19π.

+ Do -9π; -8π=π-8π;0-8π nên hàm số y=cos x đồng biến trên khoảng -9π; -8π.

BT 4 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số, hãy cho biết:

1. a) Với mỗi m ∈ [−1;1], có bao nhiêu giá trị α ∈ [−π/2;π/2] sao cho sinα = m 
2. b) Với mỗi m ∈ [−1;1], có bao nhiêu giá trị α ∈ [0,π] sao cho cosα = m
3. c) Với mỗi m ∈ R, có bao nhiêu giá trị α ∈ [−π/2;π/2] sao cho tanα = m
4. d) Với mỗi m ∈ R, có bao nhiêu giá trị α ∈ [0,π] sao cho cotα = m

Đáp án:

1. a) Xét đồ thị hàm số y=m m∈-1;1 và đồ thị hàm số y=sin x trên -2;2:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m∈-1;1 thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m∈-1;1 sẽ có 1 giá trị α∈-2;2 sao cho sin =m.

1. b) Xét đồ thị hàm số y=m (m∈-1;1) và đồ thị hàm số y=cos x trên 0;π:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m∈-1;1 thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy m∈-1;1 sẽ có 1 giá trị α∈0; π sao cho cos =m.

1. c) Xét đồ thị hàm số y=m (m∈R) và đồ thị hàm số y=tan x trên -2;2:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m∈R  thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m∈R sẽ có 1 giá trị α∈-2;2 sao cho tan =m.

1. d) Xét đồ thị hàm số y=m m∈R và đồ thị hàm số y=cot x trên 0;π:

Từ đồ thị của hai hàm số ở hình vẽ trên, ta thấy với mỗi m ∈ ℝ thì hai đồ thị cắt nhau tại 1 điểm.

Vậy với mỗi m ∈ ℝ sẽ có 1 giá trị α∈0;π sao cho cot =m.

BT 5 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số: 

1. a) y = sinxcosx
2. b) y = tanx + cotx
3. c) y = sin2 x

Đáp án:

1. a) Xét hàm số fx=y=sin x cos x có D∈R.

+ ∀x∈D thì -x∈D.

+ f-x=sin -x .cos (-x) =-sin x cos x =-f(x)

Do đó hàm số y=sin x cos x là hàm số lẻ.

1. b) Xét hàm số fx=y=tan x +cot x có D=R\ k∈Z:

+ ∀x∈D thì -x∈D;

+ f-x=tan -x +cot -x =-tan x +-cot x

                =-tan x +cot x =-f(x)

Do đó hàm số y=tan x +cot x là hàm số lẻ.

1. c) Xét hàm số fx=y=x có D=R.

+ ∀x∈D thì -x∈D.

+ f-x=(-x) =-sin x 2=x =f(x)

Vậy hàm số y=x là hàm số chẵn.

BT 6 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Một dao động điều hòa có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt+φ), trong đó t là thời gian tính bằng giây, A là biên độ dao động và x là li độ dao động đều được tính bằng centimét. Khi đó, chu kì T của dao động là T = 2π/ω. 

1. Xác định giá trị của li độ khi t=0, t=T/4, t=T/2, t=3T/4, t=T 
2.  Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hòa trên đoạn [0;2T] trong trường hợp:

A = 3cm, φ = 0

A = 3cm, φ = −π/2

A = 3cm, φ = π/2

Đáp án:

Từ T=2π ta có ω=2πT

Khi đó ta có phương trình li độ là x=A.cos 2πT.t+φ

1. a) Ta có :

+ t=0 thì x=A.cos 2πT.0+φ =A.cos

+ t=T4 thì x=A.cos 2πT.T4+φ =A.cos 2+φ

+ t=T2 thì x=A.cos 2πT.T2+φ =A.cos π+φ

+ t=3T4 thì x=A.cos 2πT.3T4+φ =A.cos 3π2+φ

+ t=T thì x=A.cos 2πT.T+φ =A.cos 2π+φ

1. b) 

• Với A=3 cm và φ=0 :

+ Với t=0;A=3;φ=0→x=A.cos =3.

+ Với t=T4;A=3;φ=0→x=A.cos 2+φ =0

+ Với t=T2;A=3;φ=0→ x=A.cos⁡(π+φ) =-3

+ Với t=3T4;A=3;φ=0→ x=A.cos 3π2+φ =0

+ Với t=T;A=3;φ=0→ x=A.cos 2π+φ =3

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x=3.cos 2πT.t trên đoạn 0;2T

Xét hàm số x=3cos 2πT.t có chu kỳ T.

Ta vẽ đồ thị hàm số x=3.cos 2πT.t trên đoạn [0;T] theo bảng sau :

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số x=3.cos 2πT.t trên đoạn [0;T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số
x=3.cos 2πT.t trên đoạn 0;2T.

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà :

• Với A=3 cm và φ=-2 thay vào phương trình li độ ta có : 

+ Với t=0;A=3;φ=-2→x=A.cos =0.

+ Với t=T4;A=3;φ=-2→x=A.cos 2+φ =3

+ Với t=T2;A=3;φ=-2 x=A.cos⁡(π+φ) =0

+ Với t=3T4;A=3;φ=-2 x=A.cos 3π2+φ =-3

+ Với t=T;A=3;φ=-2 x=A.cos 2π+φ =0

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x=3sin 2πT.t-2 trên đoạn [0 ; 2T]

Xét hàm số x=3sin 2πT.t-2 có chu kì là T

Ta vẽ đồ thị hàm số x=3sin 2πT.t-2 trên [0;T] theo bảng sau :

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số x=3sin 2πT.t-2 trên đoạn [0;T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số x=3sin 2πT.t-2 trên đoạn 0;2T.

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà :

• Với A=3 cm và φ=2 thay vào phương trình li độ ta có: x=-3sin 2πT.t+2

+ Với t=0;A=3;φ=2→x=A.cos =0.

+ Với t=T4;A=3;φ=2→x=A.cos 2+φ =-3

+ Với t=T2;A=3;φ=2 x=A.cos⁡(π+φ) =0

+ Với t=3T4;A=3;φ=2 x=A.cos 3π2+φ =3

+ Với t=T;A=3;φ=2 x=A.cos 2π+φ =0

=> Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x=-3sin 2πT.t+2 trên đoạn [0 ; 2T]

Đồ thị hàm số x=-3sin 2πT.t+2 là hình đối xứng với đồ thị hàm số x=-3sin 2πT.t+2 qua trục hoành 

BT 7 trang 31 sgk toán 11 cánh diều

Trong bài toán mở đầu, hãy chỉ ra một số giá trị của x để ống đựng nước cách mặt nước 2m.

Đáp án:

Để ống đựng nước cách mặt nước 2m thì h=y=2

Hay 2,5.sin 2πx-2+2 =2

Suy ra 2,5sin 2πx-2 +2=2 hoặc 2,5.sin 2πx-2+2 =-2

+) 2,5.sin 2πx-2 +2=2⟺sin 2πx-2 =0⟺2πx-2=kπ, k∈Z.

⟺x=2k+14, k∈Z 

⟺x∈…; -14;14;34 

 Mà x≥0 nên x∈14;34;54;….

+) 2,5.sin 2πx-2 +2=-2⟺sin 2πx-2=-1,6<-1

Vì tập giá trị của hàm số sin là [-1; 1] nên trong trường hợp này phương trình vô nghiệm.

Vậy một số giá trị của x để ống nước cách mặt nước 2m là 14;34;54.