BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG I

BT 1 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Hàm số y = sinx đồng biến trên khoảng...

Đáp án:

C

Hàm số y=sin x đồng biến trên mỗi khoảng -2+k2π;2+k2π với k∈Z.

Do đó hàm só y=sin x đồng biến trên khoảng -2;2.

BT 2 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Hàm số nghịch biến trên khoảng (π;2π) là: 

1. y = sinx
2. y = cosx 
3. y = tanx
4. y = cotx

Đáp án:

D

Do π;2π=0+π;π+π

Mà hàm số y=cot x nghịch biến trên mỗi khoảng kπ;π+kπ với k∈Z

Do đó hàm số y=cot x  nghịch biến trên khoảng π;2π

 BT 3 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Nếu tan(a+b) = 3, tan(a−b) = −3 thì tan2a bằng: 

1. 0
2. 3/5
3. 1
4. −3/4

Đáp án:

A

Ta có: tan 2a =tan a+b+a-b =tan a+b +tan a-b 1-tan a+b tan a-b =3+-31-3.-3=0

BT 4 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Nếu cosa = 14 thì cos2a bằng...

Đáp án:

B

Ta có: cos 2a =2a -1=2.142-1=2.116-1=-78

BT 5 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Nếu cosa = 3/5 và cosb = −4/5 thì cos(a+b)cos(a−b) bằng:

1. 0
2. 2
3. 4
4. 5

Đáp án:

A

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

cos (a+b) cos (a-b) =12cos a+b+a-b +cos a+b-a+b  

=12cos 2a +cos 2b  

Ta lại có:

cos 2a =2a -1=2.352-1=2.925-1=-725 

cos 2b =2b -1=2.-452-1=2.1625-1=725 

Do đó cos (a+b) cos (a-b) =12cos 2a +cos 2b =12.-725+725=0.

BT 6 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Nếu sina...bằng...

Đáp án:

C

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, ta có:

sin a+4 +sin a-4 =2sin a+4+a-42cos a+4-a+42   

=2sin a cos 4 =2.-23.22=-23 

BT 7 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Số nghiệm của phương trình cosx = 0 trên đoạn [0;10π] là: 

1. 5
2. 9
3. 10
4. 11

Đáp án:

C

cos x =0⟺x=2+kπ, k∈Z 

Do x∈0;10π nên ta có: 0≤2+kπ≤10π

⟺0≤12+k≤10⟺-12≤k≤192 

Mà k∈Z nên k∈0;1;2;…;9, khi đó ta tìm được 10 giá trị của x.

Vậy phương trình cos x =0 có 10 nghiệm trên đoạn [0;10π]

BT 8 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Số nghiệm của phương trình sinx = 0 trên đoạn [0;10π] là: 

1. 10
2. 6
3. 5
4. 11

Đáp án:

D

Dùng đồ thị hàm số

Quan sát đồ thị ta thấy đồ thị hàm số y=sin x cắt trục hoành tại 11 điểm A ≡ O; B; C; ....; M trên đoạn [0; π]

BT 9 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Phương trình cotx = −1 có nghiệm là...

Đáp án:

A

Ta có: cot x =-1⟺x=-4+kπ, (k∈Z)

BT 10 trang 31 sgk toán 41 cánh diều

Số nghiệm của phương trình sin...trên đoạn [0;π] là: 

1. 4
2. 1
3. 2
4. 3

Đáp án:

C

Ta có: sin x+4 =22⟺sin x+4 =sin 4

⟺ [x+4=4+k2π           x+4=π-4+k2π ⟺ [x=k2π        (1)   x=2+k2π (2)  (k∈Z)

+) Do x∈[0; π] nên từ (1) ta có:

0≤k2π≤π⟺0≤2k≤1⟺0≤k≤12 

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của x (x = 0) trong trường hợp này.

+) Do x∈0;πnên từ (2) ta có:

0≤2+k2π≤π⟺0≤12+2k≤1⟺-14≤k≤14 

Mà k ∈ ℤ nên k = 0, khi đó ta tìm được 1 giá trị của xx=2 trong trường hợp này.

Vậy phương trình sin x+4 =22 có hai nghiệm trên đoạn 0;π

BT 11 trang 31 sgk toán 42 cánh diều

Vẽ đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn [−5π/2;5π/2] rồi xác định số nghiệm của phương trình 3cosx+2 = 0 trên đoạn đó.

Đáp án:

Vẽ đồ thị

3cos x +2=0 trên đoạn -5π2;5π2 có 4 nghiệm.

BT 12 trang 31 sgk toán 42 cánh diều

Giải các phương trình sau...

Đáp án:

1. a) sin 2x-6 =-32⟺sin 2x-6 =sin -3

⟺ [2x-6=-3+k2π       2x-6=π+3+k2π (k∈Z)⟺ [x=-12+kπ   x=3π4+kπ     (k∈Z)

1. b) cos 3x2+4 =12⟺cos 3x2+4 =cos 3

⟺ [3x2+4=3+k2π      3x2+4=-3+k2π (k∈Z)⟺ [x=18+k4π3       x=-7π18+k4π3 (k∈Z)

1. c) sin 3x -cos 5x =0⟺cos 5x =cos 2-3x

⟺ [5x=2-3x+k2π           5x=-2-3x+k2π  k∈Z⟺ [x=16+kπ4       x=-4+kπ (k∈Z)

1. d) x =14⟺ [cos x =1 2    cos x =-12   ⟺ [x=±3+k2π     x=±2π3+k2π (k∈Z)
2. e) sin x -3cos x =0

⟺12sin x -nn32cos x =0⟺cos 3 .sin x -sin 3 .cos x =0

⟺sin x-3 =0⟺x-3=kπ, k∈Z⟺x=3+kπ, (k∈Z) 

1. f) sin x +cos x =0⟺22sin x +22cos x =0⟺sin x+4 =0

⟺sin x+4 =sin 0 ⟺x=-4+kπ, (k∈Z)

BT 13 trang 31 sgk toán 42 cánh diều

Hằng ngày, mực nước của một con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu h (m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian t (giờ) trong một ngày (0≤t<24) cho bởi công thức... (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2021). Tìm t để độ sâu của mực nước là:

1. a) 15 m
2. b) 9 m
3. c) 10,5 m

Đáp án:

15. a) Độ sâu của mực nước là 15m thì h = 15. Khi đó:

15=3cos πt6+1 +12⟺cos πt6+1 =1⟺πt6+1=k2π 

t=6k2π-1;(k∈Z) 

Vì 0≤t<24 nên : 0≤6k2π-1<24⟺12π≤k<2+12π

Lại do k∈Z => k∈1;2 => t∈62π-1;64π-1

Vậy lúc khoảng 10,09 giờ và 22,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 15 m.

9. b) Độ sâu của mực nước là 9m thì h = 9. Khi đó:

9=3cos πt6+1 +12⟺cos πt6+1 =-1⟺πt6+1=π+k2π 

⟺t=6k2π+π-1;(k∈Z) 

Vì 0≤t<24 nên : 0≤6k2π+π-1<24⟺-12+12π≤k<32+12π

Lại do (k∈Z) =>  k∈0;1

k=0 => t=6π-1≈4,09 (giờ)

k=1 => t=63π-1≈16,09 (giờ)

Vậy lúc khoảng 4,09 giờ và 16,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 9 m.

5. c) Độ sâu của mực nước là 10,5m thì h = 10,5. Khi đó:

10,5=3cos πt6+1 +12⟺cos πt6+1 =-12⟺ [πt6+1=2π3+k2π       πt6+1=-2π3+k2π

⟺ [t=62π3+k2π-1=4+12k-6     t=6-2π3+k2π-1=-4+12k-6  (k∈Z) 

+) Với t=62π3+k2π-1 ; (k∈Z) 

Vì 0≤t<24 nên : 0≤62π3+k2π-1<24⟺-0,17≤k≤1,83

Lại do k∈Z => k∈0;1 => t∈62π3-1;68π3-1

k=0 => t≈2,09 (giờ)

k=1 => t≈14,09 (giờ)

+) Với t=6-2π3+k2π-1 ;  (k∈Z)

Vì 0≤t<24 nên : 0≤6-2π3+k2π-1<24⟺0,49≤k<2,49

Lại do k∈Z => k∈1;2 => t∈64π3-1;610π3-1

k=0 => t≈6,09 (giờ)

k=1 => t≈18,09 (giờ)

Vậy lúc 2,09 giờ, 6,09 giờ, 14,09 giờ và 18,09 giờ thì mực nước có độ sâu là 10,5 m

BT 14 trang 31 sgk toán 42 cánh diều

Một cây cầu có dạng cung OA của đồ thị hàm số... và được mô tả trong hệ trục tọa độ với đơn vị trục là mét như ở Hình 39. 

1. a) Giả sử chiều rộng của con sông là độ dài đoạn thẳng OA. Tìm chiều rộng đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười). 
2. b) Một sà lan chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với độ cao 3,6 m so với mực nước sông sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều rộng của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 13,1 m. 
3. c) Một sà lan khác cũng chở khối hàng hóa được xếp thành hình hộp chữ nhật với chiều rộng của khối hàng hóa đó là 9 m sao cho sà lan có thể đi qua được gầm cầu. Chứng minh rằng chiều cao của khối hàng hóa đó phải nhỏ hơn 4,3 m.

Đáp án:

1. a) 

Hai vị trí O và A là hai vị trí chân cầu, tại hai vị trí này ta có: y = 0

⟺4,8.sin x9 =0⟺x9=kπ⟺x=9kπ, (k∈Z) 

Quan sát đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số y=4,8.sin x9 cắt trục hoành tại điểm O và A liên tiếp nhau với x ≥ 0.

Xét k=0, ta có x1=0;

Xét k=1, ta có x2=9π;

Mà x1=0 nên đây là hoành độ của O, do đó x2=9π là hoành độ của điểm A.

Khi đó OA=9π≈28,3

Vậy chiều rộng của con sông xấp xỉ 28,3 m.

6. b) Do sà lan có độ cao 3,6 m so với mực nước sông nên khi sà lan đi qua gầm cầu thì ứng với y = 3,6.

⟺4,8.sin x9 =3,6⟺sin x =34⟺ [x≈7,632+18π                x≈9π-7,632+18kπ (k∈Z)

Xét k=0 ta có x1≈7,632;x2≈20,642

Ta biểu diễn các giá trị x vừa tìm được trên hệ trục tọa độ vẽ đồ thị hàm số y=4,8.sin x9 như sau:

Khi đó để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì khối hàng hóa có độ cao 3,6 m phải có chiều rộng nhỏ hơn độ dài đoạn thẳng BC trên hình vẽ.

Mà BC ≈ 20,642 – 7,632 = 13,01 (m) < 13,1 (m).

Vậy chiều rộng của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 13,1 m.

1. c) Giả sử sà lan chở khối hàng được mô tả bởi hình chữ nhật MNPQ:

Khi đó QP = 9; OA = 28,3 và OQ = PA.

Mà OQ + QP + PA = OA

⇒ OQ + 9 + OQ ≈ 28,3

⇒ OQ ≈ 9,65

Khí đó yM=4,8.sin xM9 =4,8.sin OQ9 ≈4,8.sin 9,659 4,22 (m) < 4,3 (m)

Vậy để sà lan có thể đi qua được gầm cầu thì chiều cao của khối hàng hoá đó phải nhỏ hơn 4,3 m.