Đáp án Toán 11 cánh diều Chương 4 bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

BÀI 3. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG

1. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

LT-VD 1 trang 102 sgk toán 11 cánh diều

Quan sát các xà ngang trên sân tập thể dục ở Hình 47. Hãy cho biết vị trí tương đối của các xà ngang đó với mặt sân. 

Đáp án:

Vị trí tương đối của xà ngang với mặt sàn là đường thẳng song song với mặt phẳng.

1. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT 

LT-VD 2 trang 102 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không? Vì sao? 

Đáp án:

Xét ∆ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BC

Lại có BC ⊂ BCD,MN⊄(BCD) 

Suy ra MN // (BCD).

+) Chứng minh tương tự: NP // CD, CD ⊂ (BCD)

NP // (BCD).

+) Tương tự, MP // BD mà BD ⊂ (BCD) .

Suy ra MP // (BCD).

 LT-VD 3 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Ở Ví dụ 3, xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt phẳng (ABD), (BCD), (ACD). 

Đáp án:

+) (R) đi qua M và song song với BD, mà BD ⊂ (ABD) nên mặt phẳng (R) cắt (ABD) theo giao tuyến a đi qua M và song song với BD.

+) Gọi N là giao điểm của p và BC. Khi đó N ∈ (R).

(R) đi qua N và song song với BD, mà BD ⊂ (BCD) nên mặt phẳng (R) cắt (BCD) theo giao tuyến b đi qua N và song song với BD.

+) Gọi P là giao điểm của a và AD, Q là giao điểm của b và CD.

Khi đó P ∈ (R) và P ∈ (ACD) nên P là giao điểm của (R) và (ACD);

Q ∈ (R) và Q ∈ (ACD) nên Q là giao điểm của (R) và (ACD).

Vậy PQ là giao tuyến của (R ) và (ACD).

 LT-VD 4 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong Hình 56, hai mặt tường của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến b, mép cột gợi nên hình ảnh đường thẳng a. Cho biết đường thẳng a có song song với giao tuyến b hay không.

Đáp án:

Ta có: a // (P); a // (Q); (P) ∩ (Q) = b.

Do đó theo hệ quả định lí 2 ta có a // b.

 BT 1 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong phòng học của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng. 

Đáp án:

Những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng: đường chân tường và trần nhà; mép tường và bức tường; …

 BT 2 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P); mép trên và mép dưới lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b trong đó a song song với mặt phẳng (P). Cho biết hai đường thẳng a, b có song song với nhau hay không.

Đáp án:

Ta có: a // (P); a ⊂ (Q); (P) ∩ (Q) = b.    

Do đó theo định lí 2, a // b.

Vậy hai đường thẳng a, b song song với nhau.

 BT 3 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).

Đáp án: 

Gọi M là trung điểm của AD.

+)  Xét ∆ABD có G là trọng tâm tam giác nên BGGM=21.

Theo bài, BI = 2IC nên BIIC=21

Ta có BGGM=BIIC=2 1 suy ra IG // CM 

+) Ta có: IG // CM; CM ⊂ (ACD)

Do đó IG // (ACD).

 BT 4 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với giao tuyến d của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD). 

Đáp án:

+) Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).

Lại có: AD // BC (do ABCD là hình bình hành); AD ⊂ (SAD); BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD, BC.

+) Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MN là đường trung bình

Do đó MN // BC // AD.

Suy ra MN // d.

 BT 5 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABF và ABC. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACF). 

Đáp án:

Gọi I là trung điểm của AB.

Xét DABF có M là trọng tâm của tam giác nên FMMI=21;

Xét DABC có N là trọng tâm của tam giác nên NCNI=21;

Ta có: FMMI=NCNI=21

Suy ra MN // FC (theo định lí Thalès)

Mà FC ⊂ (ACF).

Do đó MN // (ACF).

 BT 6 trang 103 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AD = 3AM. Gọi G, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, ABC. 

1. a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). 
2. b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (SCD) và NG song song với mặt phẳng (SAC).

Đáp án:

1. a) Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Lại có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành); AB ⊂ (SAB); CD ⊂ (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB, CD.

1. b) 

+) Gọi O là tâm của hình bình hành, khi đó BO=OD=12BD

Xét ∆ABC có N là trọng tâm của tam giác nên BNBO=23 do đó  BNBD=BN2BO=13.

Theo bài, AD=3AM nên AMAD=13

Ta có AMAD=BNBD=13

Suy ra MN//AB.

+) Trong mặt phẳng (ABCD) có: AB // CD và MN // AB nên MN // CD.

Lại có CD ⊂ (SCD). Do đó MN // (SCD).

+) Gọi I là trung điểm của SA.

Xét ∆ABC có G là trọng tâm của tam giác nên BGBI=23

Ta có: BGBI=BNBO=23

Suy ra GN // IO (theo định lí Thalès đảo)

Mà IO ⊂ (SAC) nên GN // (SAC).