CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 1: DÃY SỐ

I. KHÁI NIỆM

LT-VD 1 trang 44 sgk toán 11 cánh diều

Hàm số u(n) = n3 xác định trên tập hợp M = {1;2;3;4;5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển

Đáp án:

Số hạng đầu của khai triển là:

u1=u1=13=1

Số hạng cuối của khai triển là:

u5=u5=53=125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125

 LT-VD 2 trang 44 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un)=n2

1. a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (un)
2. b) Viết dạng khai triển của dãy số (un)

Đáp án:

1. a) Năm số hạng đầu của dãy số là:

u1=12=1;u2=22=4;u3=32=9; 

u4=42=16;u5=52=25 

Số hạng tổng quát của dãy số un là un=n2 với n∈N.

1. b) Dạng khai triển của dãy số:

u1=1;u2=4;u3=9;u4=16;u5=25;…;un=n2;…

II. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

LT-VD 3 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un) với ... Tìm u33, u333 và viết dãy số dưới dạng khai triển

Đáp án:

Ta có: u33=33-33.33+1=0,3;

u333=333-33.333+1=0,33 

Dãy số dưới dạng khai triển là:

u1=-12;u2=-17;u3=0; 

u4=113;…;un=n-33.n+1

III. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

LT-VD 4 trang 46 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (vn) với vn=1/3n là một dãy số giảm

Đáp án:

Ta có:

un+1=13n+1 

Xét hiệu: un+1-un=13n+1-13n=-23.13n<0

Suy ra un+1<un

Vậy dãy số giảm.

IV. DÃY SỐ BỊ CHẶN

LT-VD 5 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng dãy số (un) với... là bị chặn

Đáp án:

Ta có: 

un=n2+12n2+4=12n2+1n2+2=121-1n2+2<12 

Ta lại có: un=n2+12n2+4>0

Do đó 0<un<12

Vậy dãy số (un) bị chặn

BT 1 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức sau…

Đáp án:

2. a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (un) là: u1=12+1=3;u2=2.22+1=9;

u3=2.32+1=19;u4=2.42+1=33;u5=2.52+1=51. 

1. b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un=-1n2n-1 là:

u1=-112.1-1=-1; u2=-122.2-1=13; u3=-132.3-1=-15; u4=-142.4-1=17; 

u5=-152.5-1=-19. 

1. c) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un=2nn là:

u1=211=2;u2=221=4;u3=231=8;u4=241=16;u5=251=32 

1. d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy un=1+1nn là:

u1=1+111=2;u2=1+122=94;u3=1+133=6427;u4=1+144=625256; 

u5=1+155=77763125.

BT 2 trang 47 sgk toán 11 cánh diều

1. a) Gọi un là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (un). 
2. b) Gọi vn là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (vn).

Đáp án:

1. a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u1= 1

Số chấm ở hàng thứ hai là: u2= 2

Số chấm ở hàng thứ ba là: u3= 3 

Số chấm ở hàng thứ tư là: u4= 4

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: un= n

1. b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v1=1=13

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v2=8= 23

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v3=27=33

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v4=64=43

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: vn=n3

BT 3 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (un), biết…

Đáp án:

1. a) Ta có: un+1=n+1-3n+1+2=n-2n+3

Xét hiệu un+1-un=n-2n+3-n-3n+2=5n+3n+2>0, ∀x∈N*

Suy ra un+1>un

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

1. b) Ta có: un>0,∀n∈N*

 un+1=3n+12n+1.n+1!=32(n+1)un

Vì n∈N* nên 32n+134 suy ra un+1<un

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

1. c) Ta có: un+1=-1n+1.2n+1+1

+) Nếu n chẵn thì un+1=-(2.2n+1) và un=2n+1. Do đó un+1<un

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì un+1=(2.2n+1) và un=-(2n+1). Do đó un+1>un

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng

BT 4 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (un) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn...

Đáp án:

1. a) Ta có: n∈N* nên n≥1 suy ra n2+2≥3

Do đó un≥3

Vậy dãy số (un) bị chặn dưới bởi 3.

1. b) Ta có: n∈N* nên n≥1 suy ra un=-2n+1≤-1

Do đó un≤-1

Vậy dãy số (un) bị chặn trên bởi -1

1. c) Ta có: un=1n2+n=1nn+1=1n-1n+1

Vì n∈N* nên n≥1 suy ra 1n>1n+1un=1n-1n+1>0

Ta lại có: 1n≤1 và -1n+1<-12 suy ra un=1n-1n+1≤1-12=12

Do đó 0<un12

Vậy dãy số (un) bị chặn

BT 5 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số thực dương (un). Chứng minh rằng dãy số (un) là dãy số tăng khi và chỉ khi…

Đáp án:

+) Nếu un+1un>1 với mọi n∈N* thì un+1>un. Do đó dãy số (un) là dãy số tăng.

+) Nếu un là dãy số tăng thì un+1>un do đó un+1un>1

BT 6 trang 48 sgk toán 11 cánh diều

Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau: Lần đầu chị gửi 100 triệu đồng. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi Pn (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng. 

1. a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng
2. b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng
3. c) Dự đoán công thức của Pn tính theo n

Đáp án:

Gọi Po=100 (triệu đồng) là số tiền ban đầu mà chị Mai gửi vào.

1. a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng kể cả tiền gửi thêm là:

P1=100+100.0,5%+6=P01+0,5%+6=106,5 (triệu đồng).

1. b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P2=P11+0,5%+6=Po1+0,5%2+61+0,5%+6

=100,51+0,5%+6.1+0,5%+6

=113,0325 (triệu đồng)

+) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P3=P21+0,5%+6

=Po1+0,5%3+6.1+0,5%2+6.1+0,5%+6

=100.1+0,5%3+61+0,5%2+6.(1+0,5%)+6 

≈119,6 (triệu đồng)

1. c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P4=Po1+0,5%4+6.1+0,5%3+6.1+0,5%2+61+0,5+6

=100.1 + 0,5%4+6.1+0,5%3 +61+0,5%2+6.(1+0,5%)+ 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

Pn= 100.1 + 0,5%n + 61 + 0,5%n-1 + 61 + 0,5%n-2+ 6.1 + 0,5%n-3+ ... + 6 với mọi n ∈ ℕ*