BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

I. PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

LT-VD 1 trang 32 sgk toán 11 cánh diều

Hai phương trình x−1=0 và ... có tương đương không? Vì sao?

Đáp án:

+ Ta có: x-1=0⟺x=1

Tập nghiệm của phương trình là S1={1}.

+ Ta có: x2-1x+1=0

ĐKXĐ: x≠-1

x2-1x+1=0⟺x2-1=0⟺ [x=1 (TM)   x=-1 (L)

Tập nghiệm của phương trình là S2={1}.

=> Ta thấy S1=S2 nên hai phương trình trên tương đương.

LT-VD 2 trang 33 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình: (x−1)2 = 5x−11

Đáp án:

Ta có: (x – 1)2 = 5x – 11.

⇔ x2 – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

⇔ x2 – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

⇔ x2 – 7x + 12 = 0

⇔ [x=3   x=4

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}

II. PHƯƠNG TRÌNH SINX = M

LT-VD 3 trang 34 sgk toán 11 cánh diều

1. a) Giải phương trình: sinx=…
2. b) Tìm góc lượng giác x sao cho sinx=sin55∘

Đáp án:

1. a) Do sin x =32 nên sin x =sin 3

⟺ [x=3+k2π          x=π-3+k2π ⟺ [x=3+k2π   x=2π3+k2π

(k∈Z) 

1. b) sin x =sin 55o

⟺ [x=55o+k360o                  x=180o-55o+k360o (k∈Z)

⟺ [x=55o+k360o     x=125o+k360o (k∈Z) 

III. PHƯƠNG TRÌNH COSX = M

LT-VD 4 trang 35 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình sin2x=sin...

Đáp án:

Ta có: sin 2x =sin x+4

⟺ [2x=x+4+k2π               2x=π-x+4+k2π

⟺ [x=4+k2π                     2x=π-x-4+k2π

⟺ [x=4+k2π   x=4+k2π3 k∈Z

LT-VD 5 trang 36 sgk toán 11 cánh diều

2. a) Giải phương trình: cosx = −1/2.
3. b) Tìm góc lượng giác x sao cho cosx = (−87∘)

Đáp án:

1. a) Do cos x =-12 nên cos x =cos 2π3

⟺ [x=2π3+k2π   x=-2π3+k2π (k∈Z)

1. b)  cos x =cos -87o ⟺cos x =cos 87o

⟺ [x=87o+k360o   x=-87o+k360o (k∈Z)

 LT-VD 6 trang 37 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình được nêu trong bài toán mở đầu.

Đáp án:

+) Ta có:

550+450cos 50t=1000  

⟺450cos 50t=450  ⟺cos 50t=1  

⟺50t=k2, (k∈Z, t≥0) 

⟺t=k2.50=100k (k∈Z, t≥0) 

Vậy phương trình này có các nghiệm là t = 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

+) Ta có:

550+450cos 50t=250  

⟺450cos 50t=-300 ⟺cos 50t=-23  

⟺ [50t≈2,3+k2π   50t≈-2,3+k2π (k∈Z, t≥0)

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 2,3).

⟺ [t≈115+100k       t≈-115+100k (k∈Z, t≥0)

Vậy phương trình có các nghiệm là t≈115+100k và t≈-115+100k với k∈Z, t≥0.

+) Ta có:

550+450cos 50t=100  

⟺450cos 50t =-450⟺cos 50t=-1  

⟺50t=π+k2π k∈Z, t≥0 

⟺t=50+100k, k∈Z, t≥0  

Vậy phương trình có các nghiệm là t = 50 + 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

IV. PHƯƠNG TRÌNH TANX = M

LT-VD 7 trang 37 sgk toán 11 cánh diều

1. a) Giải phương trình: tanx = 0.
2. b) Tìm góc lượng giác x sao cho tanx = tan67∘

Đáp án:

1. a) Điều kiện x≠2+kπ, k∈Z

tan x =0⟺x=kπ, k∈Z. 

1. b) tan x =tan 67o ⟺x=67o+k180o, (k∈Z).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x=67o+k180o, (k∈Z).

V. PHƯƠNG TRÌNH COTX = M

LT-VD 8 trang 38 sgk toán 11 cánh diều

1. a) Giải phương trình: cotx = 1. 
2. b) Tìm góc lượng giác x sao cho cotx = cot(−83∘). 

Đáp án:

1. a) Do cot x =1 nên:

 cot x =cot 4 ⟺x=4+kπ, (k∈Z). 

1. b) cot x =cot -83o ⟺x=-83o+k180o, k∈Z

VI. GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY

LT-VD 9 trang 39 sgk toán 11 cánh diều

Sử dụng MTCT để giải mỗi phương trình sau với kết quả là radian (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn)...

Đáp án:

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

1. a) Bấm liên tiếp 

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

x≈0,201+k2, k∈Z và 

x≈π-0,201+k2π, k∈Z.

1. b)  Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình cos x =-15 có các nghiệm là: x≈±1,772+k2π, k∈Z.

1. c) Bấm liên tiếp:

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình tan x =2 có các nghiệm là: x≈0,955+kπ, k∈Z.

BT 1 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình…

Đáp án:

1. a) sin 2x-3 =-32⟺sin 2x-3 =sin -3

⟺ [2x-3=-3+k2π               2x-3=π--3+k2π ⟺ [x=kπ            x=5π6+kπ   (k∈Z)

1. b) sin 3x+4=-12 ⟺sin 3x+4 =sin -6

⟺ [3x+4=-6+k2π               3x+4=π--6+k2π  ⟺ [x=-5π36+k2π3   x=11π36+k2π3     (k∈Z)

1. c) cos x2+4 =32⟺cos x2+4 =cos 6

⟺ [x2+4=6+k2π       x2+4=-6+k2π ⟺ [x=-6+k4π    x=-5π6+k4π (k∈Z)

1. d) 2cos 3x +5=3⟺cos 3x =-1⟺x=3+k2π3, (k∈Z)
2. e) 3tan x =-3⟺tan x =-33⟺x=-6+kπ, (k∈Z)
3. g) cot x -3=31-cot x ⟺cot x -3=3-3cot x

⟺1+3cot x =3+3⟺cot x  =3⟺x=6+kπ, (k∈Z) 

BT 2 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Giải phương trình…

Đáp án:

1. a) sin 2x+4 =sin x ⟺ [2x+4=x+k2π    2x+4=-x+k2π ⟺ [x=-4+k2π   x=-12+k2π3 (k∈Z)
2. b) sin 2x =cos 3x ⟺cos 2-2x =cos 3x ⟺cos 3x =cos 2-2x

⟺ [3x=2-2x+k2π           3x=-2-2x+k2π ⟺ [x=10+k2π5     x=-2+k2π   (k∈Z)

1. c) 2x =x+6 ⟺1+cos 4x 2=1+cos 2x+3 2⟺cos 4x =cos 2x+3

⟺ [4x=2x+3+k2π      4x=-2x-3+k2π ⟺ [x=6+kπ         x=-18+k3   (k∈Z)

BT 3 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Dùng đồ thị hàm số y = sinx, y = cosx để xác định số nghiệm của phương trình:

Đáp án:

1. a) Ta có: 3sin x +2=0⟺sin x =-23

Đường thẳng y=-23 và đồ thị hàm số y=sin x trên khoảng -5π2;5π2 được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y=-23 cắt đồ thị y=sin x trên khoảng -5π2;5π2 tại 5 điểm A, B, C, D, E

Vậy phương trình 3sin x +2=0 có 5 nghiệm trên khoảng -5π2;5π2

1. b) Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn -5π2;5π2 được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y=cos x trên đoạn -5π2;5π2 tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K

Vậy phương trình cos x =0 có 6 nghiệm trên đoạn -5π2;5π2

BT 4 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Số giờ có ánh sáng mặt trời của một thành phố A ở vĩ độ 40∘ Bắc trong ngày thứ t của một năm không nhuận được cho bởi hàm số:

d(t) = 3sin[ π/182.(t−80) ] + 12 với t ∈ Z và 0 < t ≤ 365. 

1. a) Thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày nào trong năm? 
2. b) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời?
3. c) Vào ngày nào trong năm thì thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời?

Đáp án:

1. a) Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin 182t-80 +12=12⟺sin 182t-80=0   

⟺182t-80=kπ⟺t=80+182k, (k∈Z) 

Do t∈Z và 0<t≤365 nên ta có :

{k∈Z                                0<80+182k≤365 ⟺{k∈Z                    -4091<k<285182 ⟺k∈0;1 

Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

1. b) Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin 182t-80 +12=9⟺sin 182t-80 =-1 

⟺182t-80=-2+k2π, k∈Z⟺t=-11+364k, k∈Z 

Do t∈Z và 0<t≤365 nên ta có :

{k∈Z                                    0<-11+364k≤365 ⟺{k∈Z                    11364<k≤9491    ⟺k=1 

Với k = 1 thì t = ‒11 + 364.1 = 353.

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

1. c) Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

3sin 182t-80 +12=15⟺sin 182t-80 =1 

⟺182t-80=2+k2π, k∈Z⟺t=171+364k (k∈Z) 

Do t∈Z và0<t≤365 nên ta có :

{k∈Z                                   0<171+364k≤365 ⟺{k∈Z                       -171364<k≤97182 ⟺k=0 

Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

BT 5 trang 40 sgk toán 11 cánh diều

Hội Lim (tỉnh Bắc Ninh) được tổ chức vào mùa xuân thường có trò chơi đánh đu. Khi người chơi đu nhún đều, cây đu sẽ đưa người chơi đu dao động quanh vị trí cân bằng (Hình 38). Nghiên cứu trò chơi này, người ta thấy khoảng cách h (m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng được biểu diễn qua thời gian t (s) (với t ≥ 0) bởi hệ thức h = |d| với d = 3cos[ π/3.(2t−1) ], trong đó ta quy ước d > 0 khi vị trí cân bằng ở phía sau lưng người chơi đu và d < 0 trong trường hợp ngược lại (Nguồn: Đại số và Giải tích 11 Nâng cao, NXBGD Việt Nam, 2020). Vào thời gian t nào thì khoảng cách h là 3 m; 0 m?

Đáp án:

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

3cos 32t-1 =3⟺ [3cos 32t-1 =3      3cos 32t-1 =-3 ⟺ [32t-1=k2π            32t-1=π+k2π

⟺ [2t=6k+1   2t=6k+4 ⟺ [t=3k+12   t=3k+2  (k∈Z)

Do t ≥ 0, k ∈ Z nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó [t∈12;72;132;…   t∈2;5;8;…   ⟺t∈12;2;72;5;132;8;…

Vậy t∈12;2;72;5;132;8;… (giây) thì khoảng cách h là 3 m.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

3cos 32t-1 =0⟺3cos 32t-1 =0⟺32t-1=2+k 

 ⟺2t-1=32+3k⟺t=54+32k

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}, khi đó t∈54;114;174;…

Vậy t∈54;114;174;… (giây) thì khoảng cách h là 0 m.