BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG II

BT 1 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1/3 và un = 3un−1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (un) là:

1. 27
2. 9
3. 81
4. 243

Đáp án:

A

Ta có: unun-1=3. Do đó dãy só (un) là một cấp số nhân với số hạng đầu u1=13 và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: un=13.3n-1=3n-2 với n∈N*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (un) là: u5=35-2=27

BT 2 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (Un) có công thức của số hạng tổng quát Un sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

Đáp án:

D

Ta có: un+1=2n+1+1=2n+2

Xét hiệu un+1-un=2n+2-2n=3.2n>0 với mọi n∈N*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng

 BT 3 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

Đáp án:

A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u1=21 và công sai d=-24

 BT 4 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 =  −5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát un là:

1. un = −5 + 4n
2. un = − 1 − 4n
3. un = −5 + 4n2
4. un = −9 + 4n

Đáp án:

D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng un=-5+n-1.4=4n-9

BT 5 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

1. 10 000
2. 10 100
3. 20 000
4. 20 200

Đáp án:

A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u1=1 và công sai d=2

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

S100=100.1+1+99.22=10 000

 BT 6 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (un) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

1. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = un−1(n−1) với mọi n ≥ 2
2. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = 2un−1+1 với mọi n ≥ 2
3. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 1 và un = u2n−1 với mọi n ≥ 2
4. Dãy số (un) được xác định bởi: u1 = 3 và un = 1/3un−1 với mọi n  ≥2

Đáp án:

D

Dãy un được xác định bởi: u1=3 và un=13un-1 với mọi n≥2 là cấp số nhân với số hạng đầu u1=3 và q=13

BT 7 trang 57 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un) có u1 = −1, công bội q = −1/10. Khi đó 1/102017 là số hạng thứ: 

1. 2016
2. 2017
3. 2018
4. 2019

Đáp án:

C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: un=-1.-110n-1

Xét un=-1.-110n-1=1102017⟺n=2018

BT 8 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (un) sau, biết số hạng tổng quát...

Đáp án:

1. a) un=nn+1 => un+1=n+1n+1+1=n+1n+2

+ Xét hiệu: un+1-un=n+1n+2-nn+1=1n+2+1n+1>0 (vì n∈N*).

Vậy un+1>un nên un là dãy số tăng.

+ Ta có: un=nn+1=1-1n+1 

mà 12≤ 1-1n+1<1 (n∈N*).

Vậy dãy số un bị chặn.

1. b) un=25n => un+1=25n+1

+ Xét hiệu un+1-un=25n+1-25n<0, n∈N*

Vậy un+1<un nên un là dãy số giảm.

+ Ta có: un=25n. Vì 5n≥5⟺15n15⟺25n25 (nN*), mà 25n>0 (nN*)

Vậy 0<un25 nên dãy số un bị chặn

BT 9 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (un). Tìm số hạng đầu u1, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

1. a) u2 + u5 = 42 và u4 + u9 = 66
2. b) u2 + u4 = 22 và u1.u5 = 21

Đáp án:

1. a) u2+u5=u1+d+u1+4d=42

⟺2u1+5d=42 

Ta lại có: u4+u9=u1+3d+u1+8d=2u1+11d=66

Khi đó ta có: {2u1+5d=42 2u1+11d=66 ⟺ {u1=11 d=4   

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: u1=11và công sai d=4
b) Ta có: u2+u4=u1+d+u1+3d=22

⟺2u1+4d=22⟺u1=11-2d 

Lại có: u1.u5=u1u1+4d=21

Thay u1=11-2d vào biểu thức trên ta có:

11-2d11-2d+4d=21⟺d=5 hoặc d=-5

Với d=5 thì u1=1.

Với d=-5 thì u1=21.

BT 10 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un).Tìm số hạng đầu u1, công bội q trong mỗi trường hợp sau: 

1. a) u6 = 192 và u7 = 384
2. b) u1 + u2 + u3 = 7 và u5 − u2 = 14

Đáp án:

1. a) Ta có: u6=u1.q5=192 và u7=u1.q6=384

Xét : u6u7=u1q5u1q6=1q=192384=12

• q = 2

Suy ra: u1=192:25=6

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu là u1=6 và công bội q=2

1. b) Ta có: u1+u2+u3=u1+u1.q+u1.q2=7⟺u11+q+q2=7

Và u5=u2=u1.q4-u1.q=14⟺u1.q.q3-1=14

Suy ra: u11+q+q2u1qq3-1=714⟺2=qq-1⟺q2-q-2=0⟺q=2 và q=-1 

Với q=2 thì u1=1

Với q=-1 thì u1=7

BT 11 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Đáp án:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

BT 12 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ ba có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Đáp án:

Giải sữ người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với: u1=1, công sai d=1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

Sn=n1+n2=nn+12=4950⟺n2+n-9900=0 

⟺n=99 (TM) hoặc n=-100 (KTM)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

BT 13 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12288 m2. Tính diện tích của mặt sàn tầng trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Đáp án:

Diện tích mặt đáy tháp là u1=12288 (m2)

Diện tích mặt sàn tầng 2 là : u2=12288.12=6144 (m2)

…

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là un với n∈N*.

Dãy (un) lập thành một cấp số nhân là u1=12288 và công bội q=12, có số hạnh tổng quát là : un=12288. 12n-1.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u11=12288. 1211-1=12 (m2) 

BT 14 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Một khay nước có nhiệt độ 23∘C được đặt vào ngăn đá của tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Đáp án:

Gọi un là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có : u1=23;u2=23-23.20%=23.1-20%=23.80%

u3=23.80%.80%=23.80%2;… 

Suy ra dãy (un) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u1=23 và công bội q=80% có số hạng tổng quát un=23.80%n-1 độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u6=23.80%57,5oC.

 BT 15 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C2 (Hình 4). Từ hình vuông C2 lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C3. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C1,C2,C3,...,Cn,... Gọi an là độ dài cạnh hình vuông Cn. Chứng minh rằng dãy số (an) là cấp số nhân. 

Đáp án:

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a1=4

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: an

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: an+1=104.an

Suy ra : an+1an=104

Vậy (an) là một cấp số nhân với số hạng đầu a1=4 và công bội q=104.

 BT 16 trang 58 sgk toán 11 cánh diều

Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Đáp án:

Gọi un là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u1=1 000 000 000 đồng

u2=u1+u1.1%-a=u11+1%-a=1,01-a (đồng)

u3=u11+1%-a+u11+1%-a.1%-a=u11+1%2-a1+1%-a 

=u1.1,012-a.1,01-a

…

un=u11+1%n-1-a1+1%n-2-a1+1%n-3-a1+1%n-4-…-a

=u11,01n-1-a.1,01n-2-a.1,01n-3-a.1,01n-4-…-a 

+) Ta thấy dãy a;…; a.1,01n-4;a.1,01n-3;a.1,01n-2 lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a1 = a và công bội q = 1,01 có tổng n – 2 số hạng đầu là:

Sn-2=a1-1,01n-21-1,01=100a.(1,01n-2-1)

Suy ra : un=u1.1,01n-1-100a.(1,01n-2-1).

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u24=0. Do đó ta có :

un=u1.1,01n-1-100a.1,01n-2-1=0

⟺1 000 000 000.1,0123-100a.(1,01n-2-1)=0 

⟺a≈51 372 000. 

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 51 372 000 đồng.