BÀI 2: CẤP SỐ CỘNG

I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1 trang 49 sgk toán 11 cánh diều

Cho (un) là cấp số cộng với u1 = −7, u2 = −2. Viết năm số hạng đầu của cấp số cộng đó

Đáp án:

Công sai của cấp số cộng đã cho là:

d=u2-u1=-2--7=5 

Ta có: 

u1=-7;u2=-2 

u3=u2+5=-2+5=3 

u4=u3+5=3+5=8 

u5=u4+5=8+5=13  

LT-VD 2 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un) với un = −5n + 7 (n≥1). Dãy (un) có là cấp số cộng không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có: 

un+1=-5n+1+7=-5n-5+7 

         =-5n+2 

Xét hiệu: 

un+1-un=-5n+2--5n+7=-5 

Do đó (un) là một cấp số cộng

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3 trang 50 sgk toán 11 cánh diều

Hãy giải bài toán trong phần mở đầu

Đáp án:

Độ cao các thửa ruộng so với mực nước biển tạo thành một cấp số cộng với số hạng đầu: 

u1=1250 m và công sai d=1,2 m.

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: 

un=u1+n-1.d=1250+n-1.1,2 

Vậy độ cao của thửa ruộng thứ 10 so với mực nước biển là:

u10=1250+10-1.1,2=1260,8 m

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

LT-VD 4 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số cộng sau: 

1. a) 3,1, -1, ... với n = 10
2. b) 1, 2; 1, 7; 2, 2; ... với n = 15

Đáp án:

1. a) Ta có: 3; 1; – 1; ... là cấp số cộng với số hạng đầu u1=3 và công sai d=1-3=-2

Khi đó: 

u10=3+10-1.-2 

       =3+-18=-15 

Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S10=10.[3+-15]2=-60 

15. b) 1,2; 1,7; 2,2; ... với n = 15.

Ta có: 1,2; 1,7; 2,2; ... là cấp số cộng với số hạng ban đầu u1=1,2 và công sai d=1,7-1,2=0,5

Khi đó u15=1,2+15-1.0,5=8,2

Tổng của 15 số hạng đầu của cấp số cộng là:

S15=151,2+8,22=70,5  

BT 1 trang 51 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng? Vì sao? 

1. a) 10,−2,−14,−26,−38
2. b) 12,54,2,114,72
3. c) 12,22,32,42,52
4. d) 1,4,7,10,13

Đáp án:

1. a) Ta có: 10; – 2; – 14; – 26; – 38 là cấp số cộng có số hạng đầu u1=10 và công sai của cấp số cộng là: d=-12
2. b) Ta có: 12;54;2;114;72  là cấp số cộng có số hạng đầu là u1=12 và công sai d=34
3. c) Ta có: 12;22;32;42;52 không là cấp số cộng vì 22-1232-22
4. d) a có: 1; 4; 7; 10; 13 là cấp số cộng có số hạng đầu là u1=1 và công sai d=3

BT 2 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số (un) với số hạng tổng quát sau, dãy số nào là cấp số cộng? Nếu là cấp số cộng, hãy tìm số hạng đầu u1 và công sai d...

Đáp án:

1. a) Ta có: un+1=3-2n+1=3-2n-2=1-2n

Suy ra un+1-un=1-2n-3+3n=-2

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u1=1 và công sai d=-2

1. b) Ta có: un+1=3n+1+75=3n+105

Xét hiệu un+1-un=3n+105-3n+75=35

Vì vậy đây là một cấp số cộng có số hạng đầu u1=2 và công sai d=35

3. c) Ta có: un+1=3n+1=3n

Xét hiệu un+1-un=3.3n -3n =2.3n với n∈N*

Vì vậy đây không là một cấp số cộng

BT 3 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 = −3, công sai d = 5. 

1. a) Viết công thức của số hạng tổng quát un. 
2. b) Số 492 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?
3. c) Số 300 có là số hạng nào của cấp số cộng trên không?

Đáp án:

1. a) Ta có công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng (un) là: 

un=-3+n-1.5=5n-8 

1. b) Xét un=492⟺5n-8=492⟺n=100

Vậy số 492 là số hạng thứ 100 của cấp số cộng trên.

1. c) Xét un=300⟺5n-8=300⟺n=61,6∉N*

Vậy không tồn tại số hạng trong cấp số cộng bằng 300

BT 4 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (un) có u1 = 4, u2 = 1. Tính u10

Đáp án:

Công sai của cấp số cộng un là d=u2-u1=1-4=-3

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng là: 

un=u1+n-1.d=4+n-1.(-3)

Suy ra u10=4+10-1.-3=-23

BT 5 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số cộng (un) với u1 = 1/3 và u1 + u2 + u3 = −1

1. a) Tìm công sai d và viết công thức của số hạng tổng quát un. 
2. b) Số −67 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên? 
3. c) Số 7 có phải là một số hạng của cấp số cộng trên không?

Đáp án:

1. a) Ta có: u1+u2+u3=-1

=> u1+u1+d+u1+2d=-1

=> 3u1+3d=-1

Mà u1=13 nên d=-23

Khi đó công thức tổng quát của cấp số cộng là: un=13-23n-1=-23n+13 với mọi n∈N*

1. b) Xét un=-23n+13=-67⟺-23n=-2023⟺n=101

Vậy số – 67 là số hạng thứ 101 của dãy.

1. c) Xét un=7⟺-23n+13=7⟺-23n=203⟺n=-10

Ta thấy n=-10∉N*

Vậy số 7 không phải là một số hạng trong cấp số cộng

BT 6 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng 100 số hạng đầu của dãy số  (un) với un = 0,3n + 5 với mọi n ≥ 1

Đáp án:

Ta có: un+1=0,3.n+1+5=0,3n+5,3

Xét hiệu un+1-un=0,3n+5,3-0,3n-5=0,3

Do đó (un) là một cấp số cộng với số hạng đầu u1=5,3 và công sai d=0,3.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số cộng un là: un=5,3+n-1.0,3

Suy ra u100=5,3+100-1.0,3=35.

Vậy tổng của 100 số hạng đầu của dãy số là: S100=1005,3+352=2015

BT 7 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Chiều cao (đơn vị: centimét) của một đứa trẻ n tuổi phát triển bình thường được cho bởi công thức: xn = 75 + 5(n−1). 

1. a) Một đứa trẻ phát triển bình thường có chiều cao năm 3 tuổi là bao nhiêu centimét?
2. b) Dãy số (xn) có là một cấp số cộng không? Trung bình một năm, chiều cao mỗi đứa trẻ phát triển bình thường tăng lên bao nhiêu centimét?

Đáp án:

1. a) Chiều cao 3 năm tuổi của một đứa bé phát triển bình thường là:

x3=75+53-1=85 (cm)

1. b) Ta có : xn+1=75+5n+1-1=75+5n

Xét hiệu xn+1-xn=75+5n-75+5n-1=5

Do đó xn là một cấp số cộng có số hạng đầu x1=75 và công sai d=5

BT 8 trang 52 sgk toán 11 cánh diều

Khi kí kết hợp đồng lao động với người lao động, một doanh nghiệp đề xuất hai phương án trả lương như sau: 

Phương án 1: Năm thứ nhất, tiền lương là 120 triệu. Kể từ năm thứ hai trở đi, mỗi năm tiền lương được tăng 18 triệu. 

Phương án 2: Quý thứ nhất, tiền lương là 24 triệu. Kể từ quý thứ hai trở đi, mỗi quý tiền lương được tăng 1,8 triệu. 

Nếu là người được tuyển dụng vào doanh nghiệp trên, em sẽ chọn phương án nào khi:

1. a) Kí hợp đồng lao động 3 năm?
2. b) Kí hợp đồng lao động 10 năm?

Đáp án:

+) Theo phương án 1: Gọi (un) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 1 qua mỗi năm. Dãy số (un) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu u1=120 và công sai d=18.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là un=120+n-1.18

+) Theo phương án 2: Gọi (vn) là dãy số tiền lương của người lao động theo phương án 2 qua từng quý. Dãy số (vn) lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu v1=24 và công sai d=1,8.

Khi đó số hạng tổng quát của cấp số nhân là vn=24+n-1.1,8

1. a) Khi kí hợp đồng 3 năm tương đương với 12 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u3=120+3-1.18=156 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm là:

S3=3.120+1562=414 (Triệu đồng).

+) Theo phương án 2: u12=24+12-1.1,8=43,8

Tổng số tiền lương nhận được sau 3 năm tương ứng với 12 quý là:

S12=12.(24+43,8)2=406,8 (triệu đồng).

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 3 năm thì nên theo phương án 1.

1. b) Khi kí hợp đồng 10 năm tương đương với 40 quý ta có:

+) Theo phương án 1: u10=120+10-1.18=282 (triệu đồng)

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm là:

S10=10.120+2822=2010 (triệu đồng)

+) Theo phương án 2: u40=24+40-1.1,8=94,2.

Tổng số tiền lương nhận được sau 10 năm tương ứng với 40 quý là:

S12=40.24+94,22=2364 (triệu đồng)

Vậy nếu được tuyển dụng vào doanh nghiệp và kí hợp đồng lao động 10 năm thì nên theo phương án 2