CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1: GÓC LƯỢNG GIÁC. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

I. GÓC LƯỢNG GIÁC

LT-VD 1 trang 6 sgk toán 11 cánh diều

Hãy hoàn thành bảng chuyển đổi số đo độ và số đo radian của một số góc sau?

Đáp án:

Ta có:

18o=18.180=10 ; 72o=72.180=2π5;

2π9=2π9.180o=40o; 

5π6=5π6.180o=150o 

LT-VD 2 trang 7 sgk toán 11 cánh diều

Đọc tên góc lượng giác, tia đầu và tia cuối của góc lượng giác đó trong hình 4b

Đáp án:

Trong Hình 4b, góc lượng giác là (Oz, Ot) với tia đầu Oz và tia cuối Ot

LT-VD 3 trang 8 sgk toán 11 cánh diều

Hãy biểu diễn trên mặt phẳng góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo...

Đáp án:

Ta có: -5π4=-π+-4

Góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo -5π4 được biểu diễn ở hình vẽ dưới đây:

LT-VD 4 trang 9 sgk toán 11 cánh diều

Cho góc lượng giác gốc O có tia đầu Ou, tia cuối Ov và có số đo...

Đáp án:

Gọi là số đo góc lượng giác có cùng tia đầu và tia cuối với góc lượng giác có số đo -43.

Ta có: = -4π3+k2π, k∈Z.

LT-VD 5 trang 9 sgk toán 11 cánh diều

Cho góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là...

Đáp án:

Theo hệ thức Chasles, ta có:

Ov, Ow=Ou, Ow-Ou, Ov+k2π 

(k∈Z) 

⟺Ov, Ow=3π4--11π4+k2π, (k∈Z) 

⟺Ov, Ow=7π2+k2π, (k∈Z). 

II. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

LT-VD 6 trang 10 sgk toán 11 cánh diều

Xác định điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON)

Đáp án:

Ta có (OA, ON) = -3 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều âm (chiều quay của kim đồng hồ) một góc 3.

Điểm N trên đường tròn lượng giác sao cho (OA, ON) = -3 được biểu diễn như hình dưới đây:

LT-VD 7 trang 11 sgk toán 11 cánh diều

Tìm giá trị lượng giác của góc lượng giác...

Đáp án:

Lấy điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA, OM=β=-4=-45o

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của điểm M trên các trục Ox, Oy.

Khi đó, ta có: AOM=45o, suy ra HOM=AOM=45o

Theo hệ thức trong tam giác vuông HOM, ta có: 

OH=OM.cos HOM =1.cos 45o =22 ;

OK=MH=OM.sin HOM =1.sin 45o  

       =22 

Do đó M22; -22

Vậy sin -4 =-22;cos -4 =22;

tan -4 =-1;cot -4 =-1.

LT-VD 8 trang 11 sgk toán 11 cánh diều

Xét dấu các giá trị lượng giác của góc lượng giác...

Đáp án:

Giả sử điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho α=5π6.

Do 2<5π6<π nên điểm M nằm trong góc phần tư thứ II.

Do đó sin 5π6 >0;cos 5π6 <0;tan 5π6 <0;

cot 5π6 <0. 

LT-VD 9 trang 12 sgk toán 11 cánh diều

Cho góc lượng giác...

Đáp án:

Do <α<32 nên cos <0.

Áp dụng công thức + =1, ta có: +-452=1

Suy ra =1--452=925

=> cos =-35 (do cos <0).

Khi đó tan =sin cos =-45-35=43

            cot =1tan =143=34

LT-VD 10 trang 12 sgk toán 11 cánh diều

Tính giá trị của biểu thức...

Đáp án:

Ta có: Q=3 +4 +cot 4 +cos 2

=32+222+1+0=3+12+1=92 

LT-VD 11 trang 14 sgk toán 11 cánh diều

Tính...

Đáp án:

1. a) 8 +3π8 =8 +2-3π8

=8 +8 =1 

1. b) tan 1o .tan 2o .tan 45o .tan 88o .tan 89o

=tan 1o . tan 89o .tan 2o . tan 88o .tan 45o

=tan 1o . cot 1o .tan 2o . cot 2o .tan 45o  

=1.1.1=1 

LT-VD 12 trang 14 sgk toán 11 cánh diều

Dùng máy tính cầm tay để tính...

Đáp án:

1. a) 
2. b) ta có: cot -5 =1tan -5

BT 1 trang 15 sgk 11 cánh diều

Xác định vị trí các điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của các góc lượng giác (OA, OM), (OA, ON), (OA, OP) lần lượt bằng...

Đáp án:

- Ta có OA, OM=α=2  là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OM và quay theo chiều dương một góc 2, khi đó tia OM trùng với tia OB.

Điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho OA, OM=α=2 được biểu diễn trùng với điểm B.

- Ta có: OA, ON=β=7π6=π+6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia ON và quay theo chiều dương một góc 7π6.

- Ta có (OA, OP)=γ=-6 là góc lượng giác có tia đầu là tia OA, tia cuối là tia OP và quay theo chiều âm một góc 6.

Ba điểm M, N, P trên đường tròn lượng giác được biểu diễn như hình vẽ dưới đây:

BT 2 trang 15 sgk 11 cánh diều

Tính các giá trị lượng giác của mỗi góc sau...

Đáp án:

‒ Các giá trị lượng giác của góc 225°:

Ta có: cos (225o) =cos (45o+180o) =-cos 45o =-22

sin (225o) =sin (45o+180o) =-sin 45o =-22 

tan (225o )=tan (45o+180o) =tan 45o =1 

cot (225o) =cot 45o+180o=cot 45o=1    

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒225°:

Ta có: cos (-225o )=(225o )=22

sin (-225o) =-sin 225o =--22=22 

tan (-225o) =-tan (225o) =-1 

cot (-225o) =-cot (225o) =-1 

‒ Các giá trị lượng giác của góc ‒1035°:

Ta có: cos (-1035o) =cos (-3.360o+45o) =cos 45o =22

sin -1035 =sin ( -3.360o+45o) = sin 45o =22

tan (-1035) =tan (-3.360o+45o) =tan 45o =1 

cot (-1035) =cot (-3.360o+45o) =cot 45o =1 

‒ Các giá trị lượng giác của góc 5π3:

Ta có: cos 5π3 =cos 2π3+π =-cos 2π3 =--12=12

sin 5π3 =sin 2π3+π =-sin 2π3 =-32 

tan 5π3 =tan 2π3+π =tan 2π3 =-3 

cot 5π3 =cot 2π3+π =cot 2π3 =-33 

‒ Các giá trị lượng giác của góc 19π2

Ta có: cos 19π2 =cos 9π+2 =cos π+2 =-cos 2 =0

sin 19π2 =sin 9π+2 =sin π+2 =-sin 2 =-1 

Do cos 19π2 =0 nên tan 19π2 không xác định.

cot 19π2 =cot 9π+2 =cot π+2 =cot 2 =0 

‒ Các giá trị lượng giác của góc -159π4:

Ta có: cos -159π4 =cos -40π+4 =cos 4 =22 

sin -159π4 =sin -40π+4 =sin 4 =22 

tan -159π4 =tan -40π+4 =tan 4 =1 

cot -159π4 =cot -40π+4 =cot 4 =1 

BT 3 trang 15 sgk 11 cánh diều

Tính các giá trị lượng giác (nếu có) của mỗi góc sau...

Đáp án:

1. a) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác 3+k2π, (k∈Z):

+ cos 3+k2π =cos 3 =12; 

+ sin 3+k2π =sin 3 =32;

+ tan 3+k2π =tan 3 =3;

+ cot 3+k2π =cot 3 =33.

1. b) Ta có: 3+2k+1π=3+2kπ+π=4π3+2kπ, (k∈Z)

Giá trị lượng giác của góc lượng giác 4π3+k2π, (k∈Z).

+ cos 4π3+k2π= cos 4π3 =-12;

+ sin 4π3+k2π =sin 4π3 =-32;

+ tan 4π3+k2π =tan 4π3 =3;

+ cot 4π3+k2π =cot 4π3 =33.

1. c) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác kπ, (k∈Z):

‒ Nếu k là số chẵn, tức k=2n, (n∈Z) thì kπ=2nπ, ta có:

• cos(kπ)=cos(2nπ)=cos 0 =1;
• sin(kπ)=sin(2nπ)=sin 0 =0;
• tankπ= tan2nπ=tan 0 =0;
• Do sin(kπ)=0 nên cot(kπ) không xác định.

‒ Nếu k là số lẻ, tức k=2n+1 (n∈Z) thì kπ=2n+1π=2nπ+π, ta có:

• cos(kπ)=cos(2nπ+π)=cosπ= ‒1.
• sin(kπ)=sin(2nπ+π)=sinπ=0.
• tan(kπ)=tan(2nπ+π)=tanπ=0.
• Do sinkπ=0 nên cot(kπ) không xác định.

Vậy với k∈Z thì sin(kπ)=0; tan(kπ)=0; cot(kπ) không xác định;

cos(kπ)=1 khi k là số nguyên chẵn và cos(kπ)= ‒1 khi k là số nguyên lẻ.

1. d) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác 2+kπ, (k∈Z):

- Nếu k là số chẵn, tức k=2n, (n∈Z) thì kπ=2nπ, ta có:

+ cos 2+kπ =cos 2+2nπ =cos 2 =0.

+ sin 2+kπ =sin 2+2nπ =sin 2 =1;

+ Do cos 2+kπ =0 nên tan 2+kπ không xác định.

+ cot 2+kπ =cot 2+2nπ =cot 2 =0.

- Nếu k là số lẻ, tức k=2n+1 (n∈Z) thì kπ=2n+1π=2nπ+π, ta có:

+ cos 2+kπ =cos 2+2nπ+π =cos 2+π =-cos 2 =0;

+ sin 2+kπ =sin 2+2nπ+π =sin 2+π =-sin 2 =-1;

+ Do cos 2+kπ =0 nên tan 2+kπ không xác định;

+ cot 2+kπ =cot 2+2nπ+π =cot 2+π =cot 2 =0.

Vậy với k∈Z thì cos 2+kπ =0;cot 2+kπ =0;tan 2+kπ không xác định;

sin 2+kπ =1 khi k là số chẵn và sin 2+kπ =-1 khi k là số lẻ.

BT 4 trang 15 sgk 11 cánh diều

Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau...

Đáp án:

1. a) Do 2<α<π nên cos <0

Áp dụng công thức + =1, ta có:

1542+ =1⟺ =1-1542=1-1516=116 

 ⟺cos =-14 (do cos <0).

Ta có: tan =sin cos =154-14=-15;

cot =1tan =1-15=-1515 

Vậy cos =-14;tan =-15 và cot =-1515.

1. b) Do -π<α<0 nên sin <0

Áp dụng công thức + =1, ta có:

+-232=1⟺ =1--232=1-49=59 

⟺sin =-53 (do sin <0).

Ta có: tan =sin cos =-53-23=152; cot =1tan =1152=215=21515.

Vậy sin =-53;tan =152 và cot =21515

1. c) Do -π<α<0 nên sin <0 và cos <0

Áp dụng công thức tan .cot =1, ta có cot =1tan =13

Áp dụng công thức 1+ =1 , ta có:

1+32=1 hay 1 =10

=110cos =1010 (do cos >0).

Áp dụng công thức 1+ =1 , ta có:

1+132=1 hay 1 =109

=910sin =-310=-31010 (do sin <0)

Vậy sin =31010;cos =1010;cot =13

1. d) Ta có cot =-2 nên

tan =1cot =-12 

1 =1+ =1+-22=5→ =15 

Mà + =1→ =45

Với 0<α<π thì sin >0 => sin =15

Vì cot =-2<0 mà sin >0 với 0<α<π. Vậy suy ra cos <0, nên:

 2≤α<π thì cos <0 => cos =-25

BT 5 trang 15 sgk 11 cánh diều

Tính...

Đáp án:

Ta có: α+β=π→α=π-β

1. a) A= + =sin π-β 2+cos 2=sin 2+cos 2=1
2. b) B=sin +cosβ2+cos +sin 2

=sin π-β +cos 2+-cos π-β +sin 2 

=sin +cos 2+sin -cos 2 

=2 

BT 6 trang 15 sgk 11 cánh diều

Một vệ tinh được định vị tại vị trí A trong không gian. Từ vị trí A, vệ tinh bắt đầu chuyển động quanh Trái Đất theo quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9000 km. Biết rằng vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo trong 2h. 

1. a) Hãy tính quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1h; 3h; 5h. 
2. b) Vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km sau bao nhiêu giờ (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Đáp án:

Giả sử vệ tinh được định tại vị trí A, chuyển động quanh Trái Đất được mô tả như hình vẽ dưới đây:

1. a) Vệ tinh chuyển động hết một vòng của quỹ đạo tức là vệ tinh chuyển động được quãng đường bằng chu vi của quỹ đạo là đường tròn với tâm là tâm O của Trái Đất, bán kính 9 000 km.

Do đó quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 2 h là:

2π . 9 000 = 18π (km).

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 1 h là: 18π2.1=9π (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 3 h là: 18π2.3=27π (km)

Quãng đường vệ tinh đã chuyển động được sau 5 h là: 18π2.5=45π (km)

1. b) Ta thấy vệ tinh chuyển động được quãng đường là 9π (km) trong 1h.

Vậy vệ tinh chuyển động được quãng đường 200 000 km trong thời gian là: 

2000009≈7074 (giờ)