BÀI 2: CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC

I. CÔNG THỨC CỘNG

LT-VD 1 trang 16 sgk toán 11 cánh diều

Tính sin...

Đáp án:

Áp dụng công thức cộng ta có:

sin 12 =sin 3-4  

=sin 3 cos 4 -cos 3 sin 4   

=32.22-12.22=6-24 

LT-VD 2 trang 17 sgk toán 11 cánh diều

Tính tan165∘

Đáp án:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

cos 15o =cos (45o -30o) 

=cos 45o .cos 30o +sin 45o .sin 30o  

=22.32+22.12=6+24 

LT-VD 3 trang 17 sgk toán 11 cánh diều

Tính tan165∘

Đáp án:

Áp dụng công thức cộng, ta có:

tan 165o =tan 120o+45o

=tan 120o +tan 45o 1-tan 120o tan 45o =-3+11--3.1=1-31+3 

=1-321+31-3=1-23+31-3=-2+3 

II. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI

LT-VD 4 trang 18 sgk toán 11 cánh diều

Cho... tính tan...

Đáp án:

Áp dụng công thức nhân đôi, ta có:

tan a =2tan a2 1-a2 =2.-21--22=43 

LT-VD 5 trang 18 sgk toán 11 cánh diều

Tính: sin..., cos...

Đáp án:

Áp dụng công thức hạ bậc, ta có:

+ 8 =1-cos 2.8 2=1-cos 4 2=1-222=2-22

Mà sin 8 >0 nên sin 8 =2-24=2-22

+ 8 =1+cos 2.8 2=1+cos 4 2=1+222=2+22

Mà cos 8 >0 nên cos 8 =2+22

III. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG

LT-VD 6 trang 19 sgk toán 11 cánh diều

Cho cosa... tính...

Đáp án:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, ta có:

B=cos 3a2 cos a2  

=12cos 3a2+a2 +cos 3a2-a2  

=12(cos 2a +cos a ) 

Mà cos 2a =2a -1=2.232-1=-19

Do đó: B=12cos 2a +cos a =12.-19+23

B=518. 

IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH

LT-VD 7 trang 19 sgk toán 11 cánh diều

Tính...

Đáp án:

Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích ta có:

+ sin 79 +sin 9 =2sin 79+92 cos 79-92

=2sin 49 cos 3  

+ cos 79 -cos 9 =-2sin 79+92 sin 79-92

=-2sin 49 sin 3  

Khi đó: D=2sin 49 cos 3 -2sin 49 sin 3 =-cot 3 =-33

BT 1 trang 20 sgk toán 11 cánh diều

Cho... tính...

Đáp án:

cos a =35sin a =1-352=45 (do sin a >0)

tan a =sin a cos a =43

sin a+6 =sin a cos 6 +cos a sin 6 =3+4310

cos a-3 =cos a cos 3 +sin a sin 3 =3+4310

tan a+4 =tan a +tan 4 1-tan a .tan 4 =-7

BT 2 trang 20 sgk toán 11 cánh diều

Tính...

Đáp án:

A=sin a-17cos a+13  -sin a+13cos a-17 

a-17-a-13= sin -30 =-12

B=cos⁡b+3cos⁡6-b-sin⁡b+3sin⁡6-b

=cos b+3+6-b =cos 2 =0 

BT 3 trang 20 sgk toán 11 cánh diều

Cho tan(a+b) = 3, tan(a−b) = 2. Tính: tan2a,tan2b.

Đáp án:

tan 2 a=tan [ (a+b)+(a-b)]=tan ( a+b)+tan ( a-b)1-tan ( a+b)tan ( a-b)=3+21-3.2=-1 

tan 2 b=tan [ (a+b)-(a-b)]=tan ( a+b)-tan ( a-b)1+tan ( a+b)tan ( a-b)=3-21+3.2=17 

BT 4 trang 20 sgk toán 11 cánh diều

Cho sina =... Tính: cos2a, cos4a.

Đáp án:

cos 2a =1-2a =1-2.252=-35 

cos 4 a=22 a-1=2.-352-1=-725

BT 5 trang 20 sgk toán 11 cánh diều

Cho sina + cosa = 1. Tính: sin2a.

Đáp án:

Có: sin a +cos a =1

⟺sin a +cos a 2=12⟺a +2sin a cos a +a =1 

⟺sin 2a +1=1⟺sin 2a =0 

BT 6 trang 21 sgk toán 11 cánh diều

Cho cos2a=... tính sina, cosa, tana.

Đáp án:

Ta có: 2<a<π ⇒sin >0,cos <0

a =1+cos 2a 2=1+132=23cos =-63 (do cos a <0)a =1-cos 2a 2=1-132=13sin =33 (do sin a >0)

tan a =sin a cos a =33-63=-22  

BT 7 trang 22 sgk toán 11 cánh diều

Cho cos2x =... tính...

Đáp án:

A=cos x+6 cos x-6 =12cos x+6+x-6 +cos x+6-x+6  

=12cos 2 x+cos 3 =38 

B=sin x+3 sin x-3 =-12cos x+3+x-3 -cos x+3-x+3  

=-12cos 2 x-cos 2π3 =-1214--12=-38

BT 8 trang 23 sgk toán 11 cánh diều

Rút gọn biểu thức: A...

Đáp án:

A=sin 2 x+sin x +sin 3 xcos 2 x+cos x +cos 3 x=sin 2 x+2sin 2 xcos x cos 2 x+2cos 2 xcos x  

=sin 2 x(1+2cos x )cos 2 x(1+2cos x )=sin 2 xcos 2 x=tan 2 x 

BT 9 trang 24 sgk toán 11 cánh diều

Một sợi cáp R được gắn vào một cột thẳng đứng ở vị trí cách mặt đất 14 m. Một sợi cáp S khác cũng được gắn vào cột đó ở vị trí cách mặt đất 12 m. Biết rằng hai sợi cáp trên cùng được gắn với mặt đất tại một vị trí cách chân cột 15 m (Hình 17).

1. a) Tính tanα, ở đó α là góc giữa hai sợi cáp trên.
2. b) Tìm góc α (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ).

Đáp án:

1. a) Xét ∆AOH vuông tại H, ta có : tan =AHHO=1415

Đặt BOH=γ

Xét ∆BOH vuông tại H, ta có : tan =BHHO=1215=45

tan =tan β-BOH =tan β-γ =tan -tan 1+tan tan  

=1415-451+1415.45=21513175=10131 

1. b) Từ tan =10131, để tìm số đo góc α, ta sử dụng máy tính cầm tay ấn lần lượt các nút:

Ta được kết quả làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị độ là 4°.

Vậy α ≈ 4°.

BT 10 trang 25 sgk toán 11 cánh diều

Có hai chung cư cao tầng xây cạnh nhau với khoảng cách giữa chúng là HK = 20 m. Để đảm bảo an ninh, trên nóc chung cư thứ hai người ta lắp camera ở vị trí C. Gọi A, B lần lượt là vị trí thấp nhất, cao nhất trên chung cư thứ nhất mà camera có thể quan sát được (Hình 18). Hãy tính số đo góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất). Biết rằng chiều cao của chung cư thứ hai là CK = 32 m, AH = 6 m, BH = 24 m (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị độ).

Đáp án:

Kẻ AM⊥CK, BN⊥CK ta có :

BN = AM = HK = 20 (m);

CN = CK – NK = CK – BH = 32 – 24 = 8 (m);

MN = AB = BH – AH = 24 – 6 = 18 (m);

CM = CN + MN = 8 + 18 = 26 (m).

Đặt BCN=α, ACM=β

+ Xét ∆BCN vuông tại N có: tan α=BNCN =208=52

+ Xét ∆ACM vuông tại M có: tan =AMCM=2026=1013;

Ta có: tan ACB =tan BCN-ACM =tan α-β

tan ACB =tan -tan 1+tan tan =52-10131+52.1013=4576   

ACB30.63o 

Vậy góc ACB (phạm vi camera có thể quan sát được ở chung cư thứ nhất) có số đo xấp xỉ 30.63°