BÀI 3: CẤP SỐ NHÂN

I. ĐỊNH NGHĨA

LT-VD 1 trang 53 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un) với u1 = −6, u2 = −2. 

1. a) Tìm công bội q
2. b) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân đó

Đáp án:

1. a) (un) là cấp số nhân có công bội: 

q=u2u1=-2-6=13 

1. b) Năm số hạng đầu tiên của dãy cấp số nhân là:

u1=-6;u2=-2;u3=-6.132=-23 

u4=-6.133=-29; 

u5=-6.134=-227.

LT-VD 2 trang 54 sgk toán 11 cánh diều

Cho dãy số (un) với un = 3.2n ( n≥1 ). Dãy (un) có là cấp số nhân không? Vì sao?

Đáp án:

Ta có: un+1=3.2n+1

=> un+1un=3.2n+13.2n=2 với n≥1

Vì vậy dãy (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=6 và công bội q=2.

II. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

LT-VD 3 trang 55 sgk toán 11 cánh diều

Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc và lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm)

Đáp án:

Số tiền ban đầu T1 = 100 (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

T2=100+100.6%=100.(1+6%) (Triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

T3=100.1+6%+100.1+6%.6% 

=100.1+6%2 (Triệu đồng)

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

T4=100.1+6%2+100.1+6%2.6% 

=100.1+6%3 (Triệu đồng). 

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu T1=100 và công bội q=1+6% có số hạng tổng quát là:

Tn+1=100.1+6%n (Triệu đồng)

III. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ NHÂN

LT-VD 4 trang 55 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng n số hạng đầu của mỗi cấp số nhân sau:

1. a) 3,−6,12,−24,... với n = 12
2. b) 1/10, 1/100, 1/1000 với n = 5

Đáp án:

1. a) Ta có: 3; – 6; 12; – 24; ... là cấp số nhân với u1=3 và công bội q=-2

Khi đó tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

S12=31--2121--2=-4095 

110. b) Ta có: 110;1100;11000;… là một cấp số nhân với u1=110 và công bội q=110.

Khi đó tổng của 5 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho là:

S5=1101-11051-110=0,11111 

BT 1 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

1. a) 5; −0,5; 0,05; −0,005; 0,0005
2. b) −9, 3, −1, 1/3, −1/9
3. c) 2, 8, 32, 64, 256

Đáp án:

1. a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp -110 lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u1=5 và công bội q=-0,5

1. b) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp -13 số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy trên là cấp số nhân với số hạng đầu u1=-9 và công bội q=-13.

1. c) Ta có: 82=328=256646432

Vì vậy dãy trên không là cấp số nhân.

BT 2 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh mỗi dãy số (un) với số hạng tổng quát như sau là cấp số nhân...

Đáp án:

34. a) Ta có: un+1=-34.2n+1

Xét un+1un=-34.2n+1:-34.2n=2

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

1. b) Ta có: un+1=53n+1

Xét un+1un=53n+1:53n=13

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

1. c) Ta có: un+1=-0,75n+1

Xét un+1un=-0,75n+1:-0,75n=-0,75

Vì vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân.

BT 3 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un) với số hạng đầu un = −5, công bội q = 2. 

9. a) Tìm u9. 
10. b) Số −320 là số hạng thứ bao nhiêu của cấp số nhân trên?
11. c) Số 160 có phải là một số hạng của cấp số nhân trên không?

Đáp án:

5. a) Ta có (un) là cấp số nhân có số hạng đầu u1=-5 và công bội q=2 có số hạng tổng quát là: un=-2n-1 với mọi n∈N*.

Vậy u9=-5.29-1=-1280

1. b) Xét un=-5,2n-1=-320

⟺2n-1=64⟺n-1=6⟺n=7 

Vậy số – 320 là số hạng thứ 7 của cấp số nhân.

5. c) Xét un=-2n-1=160

⟺2n-1=-32⟺n-1=-5⟺n=-4 

 Ta thấy n=-4∉N*

Vậy số 160 không phải là một số hạng của cấp số nhân.

BT 4 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Cho cấp số nhân (un) với u1 = 3, u3 = 27/4

1. a) Tìm công bội q và viết năm số hạng đầu của cấp số nhân trên
2. b) Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên

Đáp án:

1. a) Ta có: u3=u1.q2

Xét q2=u3u1=2743=94⟺ [q=-32   q=32     

+ Với q=-32 ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u1=3;u2=3.-32=-94;u3=274;u4=3.-323=-818;

u5=3.-324=24316.

+ Với q=32 ta có năm số hạng đầu của cấp số nhân là:

u1=3;u2=3.32=94;u3=274;u4=3.323=818; u5=3.324=24316 

3. b) Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1=3 và công bội q=-32 là: S10=1--32101--32≈-68

 Tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân với số hạng đầu u1=3 và công bội q=32 là: 

S10=3.1-32101-32≈340 

BT 5 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2020 với tỉ lệ tăng dân số là 1%/năm. Gọi un là dân số của tỉnh đó sau n năm. Giả sử tỉ lệ tăng dân số là không đổi

1. a) Viết công thức tính số dân của tỉnh đó sau n năm kể từ năm 2020
2. b) Tính số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020

Đáp án:

1. a) Ta có dãy (un) lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu là u0=2 triệu dân và công sai q=1%

Khi đó số hạng tổng quát của un=2.1+1%n-1 (triệu dân).

1. b) Số dân của tỉnh đó sau 10 năm kể từ năm 2020 là:

u10=2.1+1%10-1≈2,19 (triệu dân).

BT 6 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một gia đình mua một chiếc ô tô giá 800 triệu đồng. Trung bình sau mỗi năm sử dụng, giá trị còn lại của ô tô giảm đi 4% (so với năm trước đó). 

1. a) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau 1 năm, 2 năm sử dụng. 
2. b) Viết công thức tính giá trị của ô tô sau n năm sử dụng. 
3. c) Sau 10 năm, giá trị của ô tô ước tính còn bao nhiêu triệu đồng?

Đáp án:

1. a) Sau 1 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u1=800-800.4%=800.1-4%=768 (triệu đồng)

Sau 2 năm giá trị của ô tô còn lại là:

u1=800.1-4%-800.1-4%.4%=800.1-4%2=737,28 (triệu đồng)

1. b) Gọi un là giá trị của ô tô sau n năm sử dụng.

Dãy số (un) tạo thành một cấp số nhân với số hạng đầu là u1=800.1-4%=768 triệu đồng và công bội q=1-4%

Khi đó công thức tổng quát để tính un=768.1-4%n-1=800.1-4%n.

1. c) Sau 10 năm sử dụng giá trị của ô tô còn lại là:

u10=800.1-4%10≈531,87 (triệu đồng).

BT 7 trang 56 sgk toán 11 cánh diều

Một người nhảy bungee (một trò chơi mạo hiểm mà người chơi nhảy từ một nơi có địa thế cao xuống với dây đai an toàn buộc xung quanh người) từ một cây cầu và căng một sợi dây dài 100 m. Sau mỗi lần rơi xuống, nhờ sự đàn hồi của dây, người nhảy được kéo lên một quãng đường có độ dài bằng 75% so với lần rơi trước đó và lại bị rơi xuống đúng bằng quãng đường vừa được kéo lên (Hình 3). Tính tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần kéo lên và lại rơi xuống. 

Đáp án:

Gọi u1m là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần 1, ta có u1=100 ;

Gọi v1m là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần 1, ta có v1=100.0,75=75 ;

+) u2m là quãng đường người chơi rơi xuống ở lần 2, ta có u2=v1=0,75u1 ;

Gọi v2m là quãng đường người chơi được kéo lên ở lần 2, ta có v2=0,75.u2=0,75v1.

+) Vậy ta có hai cấp số nhân đều có công bội 0,75 là: u1,u2,….,u10 và v1,v2,…,v10 ; với u1=100,v1=75.

Ta có :  u1+u2+…+u10=100.1-0,75101-0,75 ;

v1+v2+…+v10=75. 1-0,75101-0,75 

Tổng quãng đường người đó đi được sau 10 lần rơi xuống và được kéo lên tính từ lúc bắt đầu nhảy là :

u1+u2+…+u10+v1+v2+..+v10=175.1-0,75101-0,75 ≈661m.