CHƯƠNG III: GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 1: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

LT-VD 1 trang 60 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng...

Đáp án:

1. a) Xét: un=0 với mọi n ∈ N*

Với mọi h > 0 bé tùy ý, ta có:

|un | <h với mọi n ∈ N*

Vậy lim 0 = 0.

1. b) Xét: un=1n với mọi n ∈ N*

Với mọi h>0 bé tùy ý, ta có

un <h⟺1n<h ⟺n>1h⟺n>1h2

Vậy với các số tự nhiên n lớn hơn 1h2 thì un <h.

Theo định nghĩa, ta có 1n=0 .

 LT-VD 2 trang 61 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng lim...

Đáp án:

Đặt un=-4n+1nun+4=-4n+1n+4=1n

Do un+4 =1n =0

Vậy -4n+1n=-4   

 LT-VD 3 trang 62 sgk toán 11 cánh diều

Chứng minh rằng lim...

Đáp án:

Ta có 0< e<1 do đó en =0.

1. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

LT-VD 4 trang 62 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

1. a) 8n2+nn2 =8+1n =8 +1n =8
2. b) 4+n2n =4n2+1 =4n2+1 =1

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN 

LT-VD 5 trang 63 sgk toán 11 cánh diều

Tính tổng...

Đáp án:

Ta có dãy số 1; -12;122;…;-12n-1;.. là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu u1=1 và công bội q=-12 

Nên M=11--12=23

LT-VD 6 trang 63 sgk toán 11 cánh diều

Giải thích vì sao nghịch lí Zénon trong phần mở đầu là không đúng...

Đáp án:

Thời gian Achilles chạy hết các quãng đường có độ dài 100 km, 1 km, 1100 km, 11002 km,... lần lượt là 1h, 1100h, 11002 h,11003h,…

Vậy thời gian đi hết quãng đường trên là 

T=1+1100+…+1100n+…

Ta có t=Tn =100991-1100n=10099  

Vậy Archilles đuổi kịp rùa sau 10099giờ.

1. GIỚI HẠN VÔ CỰC

LT-VD 7 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Tính lim ( - n3)

Đáp án:

Xét dãy số un=n3

Với M là số dương bất kì, ta thấy un=n3>M⟺n>3M.

Vậy với các số tự nhiên n>3M thì un>M. 

Do đó, -n3 =-∞.

LT-VD 8 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Chứng tỏ rằng lim...

Đáp án:

n-1n2=1n-1n2 =0

BT 1 trang 64 sgk toán 11 cánh diều

Cho hai dãy số (un), (vn) với un = 3 + 1/n; vn = 5 – 2/n2. Tính các giới hạn sau:

1. a) lim un, lim vn.
2. b) lim (un + vn), lim (un − vn), lim (un.vn), lim un/vn

Đáp án:

1. a) lim un=lim 3+1n=lim 3+lim1n=3

lim vn=lim 5-2n2=lim 5-lim2n2=5

8. b) lim(un+ vn) = lim un+ lim vn = 3 + 5 = 8.

lim(un – vn) = lim⁡un – lim⁡vn = 3 – 5 = – 2.

lim(un.vn) = lim⁡un.lim vn = 3.5 = 15.

unvn=35

BT 2 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Tính các giới hạn sau…

Đáp án:

1. a) 5n+12n = ( 52+12n)=52
2. b) 6n2+8n+15n2+3=6+8n+1n25+3n2 =65
3. c) limn2+5n+36n+2=lim1+5n+3n26+2n=lim1+5n+3n2lim6+2n=16.
   d) lim2-13n=lim2-lim13n=2-0=2.
   e) lim3n+2n4⋅3n=lim1+23n4=lim1+23nlim4=14.
   g) lim2+1n3n=lim2+1nlim 3n=0
   
   

BT 3 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

4. a) Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (un), với (un), với u1 = 2/3,q = −1/4.
5. b) Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn 1,(6) dưới dạng phân số. 

Đáp án:

1. a) Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn un, với u1=23,q=- 14 là:

S=lim231--14n1--14=2354=815.

1. b) Ta có:

1,(6)=1+0,(6)=1+0,6+0,06+0,006+…+0,000006

Dãy số 0,6;0,006;0,0006;... lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu u1=0,6 và công bội q=110 có |q| <1 nên ta có:

0,6+0,06+0,006+…+0,000006+…=0,61-110=23.

Suy ra 1,(6)=1+23=53.

BT 4 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Từ hình vuông có độ dài cạnh bằng 1, người ta nối các trung điểm của cạnh hình vuông để tạo ra hình vuông mới như Hình 3. Tiếp tục quá trình này đến vô hạn. 

1. a) Tính diện tích Sn của hình vuông được tạo thành ở bước thứ n;
2. b) Tính tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành. 

Đáp án:

1. a) Gọi S1 là diện tích của hình vuông ban đầu cạnh bằng 1.

Gọi S2là diện tích của hình vuông tạo thành ở bước thứ 1, có cạnh bằng 22 nên diện tích là S2=222=12.

S3 là diện tích của hình vuông tạo thành ở bước thứ 3, có cạnh bằng 222 nên diện tích là S2=224=122.
Dãy Sn lập thành cấp số nhân có số hạng đầu S1=1 và công bội q=12 có công thức tổng quát là: Sn= 12n-1
b) Ta có: |q|=12<1 nên dãy Sn trên lập thành một cấp số nhân lùi hạn.

Tổng diện tích của tất cả các hình vuông được tạo thành:

S=1+12+122+123+…+12n-1+…=11-12=2

Vậy tổng diện tích của các hình vuông là 2 (đvdt).

BT 5 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cứ sau một khoảng thời gian T= 24 000 năm thì một nửa số chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). (Nguồn: Đại số và Giải tích 11, NXBGD Việt Nam, 2021)

Gọi un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kì thứ n. 

1. a) Tìm số hạng tổng quát un của dãy số (un). 
2. b) Chứng minh rằng (un) có giới hạn là 0.
3. c) Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số năm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, biết rằng chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10−6 Đáp án:
4. a) Sau 1 chu kì ban rã thì u1=12 (kg)

Sau 2 chu kì bán rã thì u2=122 (kg),…

Sau n chu kì bán rã, khối lượng chất phóng xạ còn lại là: un=12n.
b) Ta có: limun=lim12n=0.
c) Đổi un=12n-1 kg=12n-1103 g
Vì chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10-6g nên ta có

un=12n103<10-6⇔n≥30.

Vậy cần ít nhất 30 chu kì tương ứng với 720 000 năm khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại với con người.

BT 6 trang 65 sgk toán 11 cánh diều

Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1  là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính AB/2, C2 là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính AB/4, Cn là đường gồm 2n nửa đường tròn đường kính AB/2n,... (Hình 4). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi Cn và đoạn thẳng AB. 

1. a) Tính pn, Sn. 
2. b) Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn)

Đáp án:

a)

+) Một nửa đường tròn của Cn có bán kính là Rn=AB2. 2n=R2n
+) Ta có pn=2n..Rn=.R
+) Sn=2n. .Rn22=2.R2n2=R22.12n

1. b) 

pn =π.R  =πR.

Sn =R22.12n =R22.12n =0