Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VII bài 5: Trường hợp bằng nhau thứ hai của tam giác cạnh - góc - cạnh

BÀI 5: TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU THỨ HAI CỦA TAM GIÁC:

CẠNH – GÓC – CẠNH

Khởi động

Câu hỏi: Hai chiếc compa ở Hình 45 gợi lên hình ảnh hai tam giác ABC và A'B'C' có: AB = A'B', AC = A'C',  =. Hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' có bằng nhau hay không?

Đáp án:

Hai tam giác ABC và tam giác A'B'C' bằng nhau.

I. Trường hợp bằng nhau cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

Bài 1: Cho góc nhọn xOy. Hai điểm M, N thuộc tia Ox thỏa mãn OM = 2cm, ON = 3cm. Hai điểm P, Q thuộc tia Oy thỏa mãn OP = 2cm, OQ = 3cm. Chứng minh MQ = NP

Đáp án:

Xét 2 tam giác OMQ và OPN, ta có:

OM = OP (= 2cm)

 chung,

OQ = ON (=3cm)

Suy ra Δ OMQ = Δ OPN (c.g.c)

Do đó: MQ = PN (hai cạnh tương ứng)

Bài 2: Cho góc xOy có Oz là tia phân giác. Hai điểm M, N lần lượt thuộc Ox, Oy và khác O thỏa mãn OM = ON, điểm P khác O và thuộc Oz. Chứng minh MP=NP

Đáp án:

Vì O là tia phân giác của góc xOy

hay  (M, N, P lần lượt thuộc tia Ox, Oy, Oz)

Xét hai tam giác OMP và ONP, ta có:

OM = ON (gt)

 (cmt)

OP là cạnh chung

Suy ra ΔOMP = ΔONP (c.g.c)

Do đó, MP = NP (2 cạnh tương ứng)

II. Áp dụng vào trường hợp bằng nhau hai cạnh góc vuông của tam giác vuông

III. Bài tập

Bài 1: Chứng minh định lí: "Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn là góc lớn hơn" (trang 74) thông qua việc giải bài tập sau đây: Cho tam giác ABC có AB<AC. Tia phân giác của góc BAC cắt cạnh BC tại điểm D. Điểm E thuộc cạnh AC thỏa mãn AE=AB. Chứng minh:

1. ΔABD = ΔAED

Đáp án:

1. Xét ΔABD và ΔAED có:

AB = AE

AD chung

Do đó: ΔABD = ΔAED

1. Xét hai tam giác ABD và AED, ta có:

AB = AE (gt)

(AD là phân giác góc BAC)

AD là cạnh chung

Suy ra ΔABD = ΔAED (c.g.c)

=>  (2 góc tương ứng)

Có:  (2 góc kề bù)

Mà:  (tổng 3 góc trong tam giác EDC)

Suy ra:  hay  (đpcm)

Bài 2: Cho Hình 53 có AD = BC, IC = ID, các góc tại đỉnh C, D, H là góc vuông. Chứng minh:

1. IA = IB
2. IH là tia phân giác của góc AIB

Đáp án:

1. a) Xét hai tam giác vuông ADI và ICB, ta có:

AD = BC, IC = ID

Suy ra Δ ADI = Δ ICB (c.g.c)

=> IA = IB (2 cạnh tương ứng)

1. b) Xét hai tam giác vuông AIH và BIH, ta có:

IA = IB (cmt)

IH chung

Vậy ΔIHA = ΔIHBΔ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

⇒ ( 2 góc tương ứng)

Mà tia IH nằm trong góc AIB

⇒⇒ IH là tia phân giác của góc AIB.

Bài 3: Có hai xã ở cùng một bên bờ sông Lam. Các kĩ sư muốn bắc một cây cầu qua sông Lam cho người dân hai xã. Để thuận lợi cho người dân đi lại, các kĩ sư cần phải chọn vị trí của cây cầu sao cho tổng khoảng cách từ hai xã đến chân cầu là nhỏ nhất. Bạn Nam đề xuất cách xác định vị trí của cây cầu như sau: 

- Kí hiệu điểm A chỉ vị trí xã thứ nhất, điểm B chỉ vị trí xã thứ hai, đường thẳng d chỉ vị trí bờ sông Lam. 

- Kẻ AH vuông góc với d (H thuộc d), kéo dài AH về phía H và lấy điểm C sao cho AH = HC. - Nối C và B, CB cắt đường thẳng d tại điểm E. Khi đó, E là vị trí của cây cầu. Bạn Nam nói rằng: Lấy một điểm M trên đường thẳng d, M khác E thì MA + MB > EA + EB. Em hãy cho biết bạn Nam nói đúng hay sai? Vì sao?

Đáp án:

Xét hai tam giác vuông AHE và CHE, ta có:

AH = CH (gt)

HE là cạnh chung

Suy ra ΔAHE = ΔCHE (c.g.c)

=> AE = CE (2 cạnh tương ứng)

=> AE + EB = CE + EB = CB

Xét hai tam giác vuông AHM và CHM, ta có:

AH = CH (gt)

HM là cạnh chung

Suy ra ΔAHM = ΔCHM (c.g.c)

=> AM = CM (2 cạnh tương ứng)

=> AM + MB = CM + MB

Xét tam giác BCM có:

CM + MB > CB (hệ thức lượng trong tam giác)

Hay MA + MB > EA + EB

Vậy bạn Nam nói đúng.

Bài 4: Cho ΔABC = ΔMNP. Gọi D, E lần lượt là trung điểm của BC và CA; Q, R lần lượt là trung điểm của NP và PM. Chứng minh:

1. a) AD = MQ;                                                                   
2. b) DE = QR.

Đáp án:

Xét hai tam giác ABD và tam giác MNQ:

     AB = MQ (do ΔABC = ΔMNP).

     BD = NQ (BC = NP)

    BC = NP (do ΔABC=ΔMNP).

Vậy ΔABD = ΔMNQ (c.g.c) nên AD = MQ ( 2 cạnh tương ứng)

1. b) Vì ΔABC = ΔMNP nên BC = NP ( 2 cạnh tương ứng). Do đó BC = NP hay DC = QP

Vì ΔABC = ΔMNP nên AC = MP  ( 2 cạnh tương ứng) . Do đó AC = MP hay EC = RP

Xét hai tam giác DEC và tam giác QRP:

DC = QP 

 (ΔABC = ΔMNP)

EC = RP 

Vậy ΔDEC = ΔQRP(c.g.c) nên DE = QR ( 2 cạnh tương ứng)