Đáp án Toán 7 cánh diều Chương VII bài 8: Đường vuông góc và đường xiên

BÀI 8: ĐƯỜNG VUÔNG GÓC VÀ ĐƯỜNG XIÊN

Khởi động

Câu hỏi: Cầu Bãi Cháy nối Hòn Gai và Bãi Cháy (Quảng Ninh). Trụ cầu và dây cáp của cầu gợi nên hình ảnh đường vuông góc và đường xiên. Đường vuông góc và đường xiên có tính chất như thế nào?

Đáp án:

• Một đường thẳng được nói là vuông góc một đường thẳng khác nếu và chỉ nếu hai đường thẳng cắt nhau ở góc vuông.
• Một đường xiên là một đường mà khi giao nhau với một đường thẳng khác sẽ tạo ra một góc không đo được 90º (nghĩa là nó không phải là một góc vuông).
• Trong các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vuông góc ngắn hơn mọi đường xiên.

I. Đường vuông góc và đường xiên

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A.

1. Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC bằng độ dài đoạn thẳng nào?
2. Đoạn thẳng nào là một đường xiên kẻ từ điểm B đến đường thẳng AC.
3. a) Khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng AC bằng độ dài đoạn thẳng BA.
4. b) Đoạn thẳng BC là một đường xiên kẻ từ B đến đường thẳng AC.

II. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Bài 1: Giả sử AH, AB lần lượt là đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng d. Trong tam giác AHB, hãy so sánh:

1. Số đo góc AHB và số đo góc ABH.
2. Độ dài cạnh AB và độ dài cạnh AH

Đáp án:

1. a) Tam giác AHB vuông tại H nên:

Suy ra: .

1. b) Xét tam giác ABH có: (theo a)

Suy ra AB > AH (tính chất góc và cạnh đối diện trong tam giác).

Bài 2: Cho tam giác nhọn ABC, . Gọi H là hình chiếu của A trên BC. Sắp xếp các đoạn thẳng AB, AH, AC theo thứ tự độ dài tăng dần

Đáp án:

+ Xét tam giác ABC có:  nên AC > AB.

+ Ta có: AH là đường vuông góc kẻ A đến đường thẳng BC.

AB, AC là đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC.

Do đó: AH < AB, AH < AC.

Suy ra AH < AB < AC.

Thứ tự độ tăng dần các đoạn thẳng AB, AH, AC là AH; AB; AC.

III. Bài tập

Bài 1: Chỉ ra các đường vuông góc, các đường xiên kẻ từ điểm I trong Hình 83a và từ điểm C trong Hình 83b.

Đáp án:

+) Xét Hình 83a:

Đường vuông góc kẻ từ điểm I đến đường thẳng d là IH.

Các đường xiên kẻ từ điểm I đến đường thẳng d là IM và IN.

+) Xét Hình 83b:

Đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng Ox là CA.

Đường xiên kẻ từ C đến đường thẳng Ox là CO.

Đường vuông góc kẻ từ C đến đường thẳng Oy là CB.

Đường xiên kẻ từ C đến đường thẳng Oy là CO.

Bài 2: Quan sát Hình 84 và cho biết:

1. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a
2. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng b
3. Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng c

Đáp án:

1. a) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng a bằng 1 cm.
2. b) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng b bằng 2 cm.
3. c) Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng c bằng 3 cm.

Bài 3: Cho tam giác nhọn ABC

1. Vẽ H là hình chiếu của B trên đường thẳng AC
2. Vẽ K là hình chiếu của H trên đường thẳng AB
3. Chứng minh: HK < BH < BC

Đáp án:

1. a) Ta có hình vẽ sau:
2. b) Ta có hình vẽ sau:
3. c) + Xét ∆BKH vuông tại K nên là góc lớn nhất trong ∆BKH.

Do đó BH là cạnh lớn nhất trong ∆BKH.

Suy ra HK < BH (1).

+ Xét ∆BHC vuông tại H có  là góc lớn nhất trong ∆BHC.

Do đó BC là cạnh lớn nhất trong ∆BHC.

Suy ra BH < BC (2).

Từ (1) và (2) suy ra HK < BH < BC.

Bài 4: Trong một thí nghiệm khoa học, bạn Duy đặt hay chiếc đũa thủy tinh, một chiếc dài 14cm và một chiếc dài 30cm vào một bình thủy tinh có dạng hình trụ đựng dung dịch, cả hai đũa đều chạm đáy bình. Đường kính của đáy bình là 12cm, chiều cao của dung dịch trong bình là 15cm (bỏ qua bề dày của bình). Hỏi bạn Duy có thể cầm vào chiếc đũa thủy tinh nào mà ngón tay không bị chạm vào dung dịch? Vì sao?

Vì chiều cao của dung dịch trong bình là 15 cm (bỏ qua bề dày của bình) nên đũa thủy tinh dài 14 cm khi đặt chạm đáy bình sẽ bị chèm hết vào trong cột dung dịch. Do đó, Duy không thể cầm đũa này nếu ngón tay không chạm dung dịch.

Vì chiều dài của đũa 30 cm lớn hơn tổng của chiều cao cột dung dịch và đường kính đáy bình nên đũa dài 30 cm khi đặt chạm đáy bình sẽ không bị chìm hết vào trong cột dung dịch. Do đó, Duy có thể cầm vào chiếc đũa thủy tinh này mà ngón tay không bị chạm vào dung dịch.

Bài 5: Hình 85b mô tả mặt cắt đứng của một chiếc thang chữ A (Hình 85a), trong đó độ dài của một bên thang được tính bằng độ dài của một bên thang được tính bằng độ dài đoạn thẳng OM, chiều cao của chiếc thang được tính bằng độ dài đoạn OH, với H là hình chiếu của điểm O trên đường thẳng d. Một người sử dụng thang này có thể đứng ở độ cao 4m hay không nếu độ dài của một bên thang là 3,5m. Vì sao?

Đáp án:

∆OMH vuông tại H nên  là góc lớn nhất trong tam giác OMH.

Do đó OM là cạnh lớn nhất trong tam giác OMH.

Khi đó OM > OH hay 3,5 > OH.

Vậy người sử dụng thang này không thể đứng ở độ cao 4 m so với mặt đất.