BÀI 4: VẬN DỤNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ (3 tiết)

I. Phân tích đa thức thành nhân tử

Hoạt động 1 trang 24 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết đa thức 3x² – 5x thành tích của hai đa thức bậc nhất.

Đáp án:

Đa thức 3x² – 5x thành tích của hai đa thức bậc nhất như sau:

3x² – 5x = x(3x – 5)

II. Vận dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức thành nhân tử.

1. Phương pháp vận dụng trực tiếp hằng đẳng thức

Hoạt động 2 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD: Viết mỗi đa thức sau thành tích của hai đa thức: …

Đáp án:

1. a) x²– y²= (x + y)(x – y);
2. b) x³– y³= (x – y)(x² + xy + y²);
3. c) x³+ y³= (x + y)(x² – xy + y²).

Luyện tập 1 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử.

Đáp án:

1. a) (x + 2y)²– (2x – y)²

= [(x + 2y) + (2x – y)] [(x + 2y) – (2x – y)]

= (x + 2y + 2x – y)(x + 2y – 2x + y)

= (3x + y)(3y – x);

1. b) 125 + y³

= 5³ + y³ 

= (5 + y)(25 – 5y + y²);

1. c)

2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp vận dụng hằng đẳng thức thông qua nhóm số hạng và đặt nhân tử chung

Hoạt động 3 trang 25 sgk Toán 8 tập 1 CD: Cho đa thức:…

1. Nhóm 3 số hạng đầu và áp dụng hẳng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích.
2. Phân tích đa thức trên thành nhân tử.

Đáp án:

1. a) Nhóm ba số hạng đầu và sử dụng hằng đẳng thức để viết nhóm đó thành tích, ta được:

x² – 2xy + y² + x – y

= (x² – 2xy + y²) + (x – y) (nhóm ba số hạng đầu, hai số hạng cuối thành nhóm)

= (x – y)² + (x – y) (dùng hằng đẳng thức để viết nhóm thứ nhất thành tích)

= (x – y)(x – y + 1) (đặt nhân tử chung ở hai nhóm ra ngoài để viết thành tích)

1. b) Đa thức trên được phân tích thành nhân tử như sau:

x² – 2xy + y² + x – y = (x – y)(x – y + 1).

Luyện tập 2 trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử…

Đáp án:

1. a) 3x²– 6xy + 3y²– 5x + 5y

= 3(x² – 2xy + y²) – (5x – 5y)

= 3(x – y)² – 5(x – y)

 = (x – y)[3(x – y) – 5]

= (x – y)(3x – 3y – 5)

1. b) 2x²y + 4xy²+ 2y³– 8y

= 2y(x² + 2xy + y² – 4)

= 2y[(x + y)² – 2²]

= 2y(x + y + 2)(x + y – 2).

III) Bài tập

Bài 1 trang 26 sgk Toán 8 tập 1 CD: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử:…

Đáp án:

1. a) 4x²– 12xy + 9y²

= (2x)² – 2 . 2x . 3y + (3y)² 

= (2x – 3y)²;

1. b)
2. c) 8y³– 12y²+ 6y – 1

= (2y)³ – 3.(2y)² + 3.2y.1 – 1³ 

= (2y – 1)³;

1. d) (2x + y)²– 4y²

= (2x + y + 4y)(2x + y – 4y)

= (2x + 5y)(2x – 3y);

1. e) 27y³+ 8 = (3y)³+ 2³ 

= (3y + 2)[(3y)² – 3y . 2 + 2²]

= (3y + 2)(9y² – 6y + 4);

1. g) 64 – 125x³= 4³– (5x)³ 

= (4 + 5x)[4² + 4 . 5x + (5x)²]

= (4 + 5x)(16 + 20x + 25x²).

Bài 2 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD: Phân tích mỗi đa thức sau thành nhân tử…

Đáp án:

1. a) x²– 25 + 4xy + 4y²

= (x² + 4xy + 4y²) – 25

= (x + 2y)² – 5² 

= (x + 2y + 5)(x + 2y – 5);

1. b) x³– y³+ x²y – xy² 

= (x³ + x²y) – (y³ + xy²)

= (x³ + x²y) – (y³ + xy²)

= x²(x + y) – y²(x + y)

= (x + y)(x² – y²)

= (x + y)(x + y)(x – y)

= (x + y)²(x – y);

1. c) x⁴– y⁴ + x³y – xy³

= (x⁴ + x³y) – (y⁴ + xy³)

= x³(x + y) – y³(x + y)

= (x + y)(x³ – y³)

= (x + y)(x – y)(x² + xy + y²).

Bài 3 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:…

Đáp án:

1. a) A = x⁴– 2x²y – x²+ y² + y

= (x⁴ – 2x²y + y²) – (x² – y)

= [(x²)² – 2x²y + y²] – (x² – y)

= (x² – y)² – (x² – y).

Giá trị của biểu thức A với x² – y = 6 là:

A = (x² – y)² – (x² – y) = 6² – 6 = 36 – 6 = 30.

2. b) B = x²y²+ 2xyz + z²= (xy)² + 2xyz + z² = (xy + z)².

Giá trị của biểu thức B tại xy + z = 0 là:

B = (xy + z)² = 0² = 0.

Bài 4 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD: Chứng tỏ rằng:…

Đáp án:

1. a) Ta có M = 32²⁰²³– 32²⁰²¹

= 32² . 32²⁰²¹ – 32²⁰²¹

= (32² – 1) . 32²⁰²¹ 

= (1024 – 1) . 32²⁰²¹ 

= 1023 . 32²⁰²¹

Vì 1023 ⋮ 31 nên (1023 . 32²⁰²¹) ⋮ 31.

Do đó M = 32²⁰²³ – 32²⁰²¹ chia hết cho 31;

1. b) N = 7⁶+ 2 . 7³+ 8²⁰²² +1

= (7³)² + 2 . 7³ +1 + 8²⁰²²

= (7³ + 1)² + 8²⁰²² 

= 344² + 8²⁰²².

Vì 344 ⋮ 8; 8 ⋮ 8 nên 344² ⋮ 8; 8²⁰²² ⋮ 8.

Do đó (344² + 8²⁰²²) ⋮ 8

Vậy N = 7⁶ + 2 . 7³ + 8²⁰²² +1 chia hết cho 8.

Bài 5 trang 27 sgk Toán 8 tập 1 CD: Bác Hoa gửi tiết kiệm a đồng kì hạn 12 tháng ở một ngân hàng với lãi suất x %/năm.

1. a) Viết công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng dưới dạng tích, biết bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng trong 12 tháng đó.
2. b) Sau kì hạn 12 tháng, tiễn lãi của kì hạn đó được cộng vào tiền vốn, rồi bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo. Viết công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng trên đưới đạng tích, biết trong 24 tháng đó, lãi suất ngân hàng không thay đổi và bác Hoa không rút tiền ra khỏi ngân hàng.

Đáp án:

1. a) Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau 12 tháng là: a . x% (đồng)

Do đó, công thức tính số tiền bác Hoa có được sau 12 tháng là:

a + a . x% = a . (1 + x%) (đồng).

1. b) Sau kì hạn 12 tháng, bác Hoa tiếp tục đem gửi cho kì hạn 12 tháng tiếp theo, tức là bác Hoa gửi tiếp 12 tháng với số tiền gốc là a . (1 + x%) (đồng).

Số tiền lãi bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + x%) . x% (đồng).

Do đó, công thức tính tổng số tiền mà bác Hoa nhận được sau khi gửi 24 tháng là:

a . (1 + x%) + a . (1 + x%) . x% = a(1 + x%)(1 + r%) = a(1 + x%)² (đồng).