Giáo án bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9

Dạng 1. Giải hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Phương pháp giải: 

- Ta có thể khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế.

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được: hay

Từ phương trình (4) thay vào các phương trình (1);(2);(3) ta được:

hay

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Trừ từng vế của phương trình (2) cho (1) ta được:

Kết hợp với phương trình (3) ta có hệ phương trình:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: hay

Thay vào phương trình (3) ta có: , suy ra .

Thay vào phương trình (1) ta được: .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình (1) ta được: thay vào phương trình (2),(3) ta được:

hay

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2, ta được:

Trừ từng vế hai phương trình của hệ ta được: hay

Thay vào , suy ra .

Từ phương trình (1) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình ta có: thay vào phương trình (2),(3) ta được:

hay

Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với 2 ta được:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên ta được: hay

Thay vào , suy ra .

Từ phương trình (1) ta có:

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ các phương trình trên của hệ, ta cộng vế với vế ta được: hay

Từ phương trình (5) thay vào các phương trình (1), (2), (3), (4) ta được:

suy ra

 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình (1) và (2) cộng vế với vế: hay .

Từ phương trình (3) và (4) cộng vế với vế: hay

Từ đó ta có hệ phương trình:

Cộng vế từ vế hai phương trình của hệ trên ta được hay

Thay vào phương trình đầu, ta có: , suy ra .

Thay vào phương trình (1) và (3) ta được:

Cộng từng vế hai phương trình của hệ trên, ta được: hay

Thay vào , suy ra .

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ hệ phương trình, cộng vế với vế ta được: hay (*)

Từ phương trình (*) kết hợp với hệ phương trình ta có:

suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 8. Giải hệ phương trình sau: 

a)                                  b)

Gợi ý lời giải:

a) Từ hệ phương trình đã cho, cộng vế với vế ta được: hay

Từ (6) và (1) suy ra: hay .

Thay vào (1),(3(;(4) ta được:

Thay vào (3) ta được:

Thay vào (4) ta được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

b) Từ hệ phương trình cộng vế với vế ta được:

Từ phương trình (1) ta có:

Từ phương trình (4) ta có:

Thay vào phương trình (6) ta có: hay

Thay vào phương trình (1) ta có: hay

Thay vào phương trình (2) ta có: hay

Thay vào phương trình (3) ta có: hay

Thay vào phương trình (4) ta có: hay

Từ đó ta tính được:

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 9. Giải hệ phương trình sau: 

a)                                  b)

Gợi ý lời giải:

a) Đặt suy ra

Mà nên hay , suy ra

Khi đó:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

b) Đặt suy ra

Mà nên suy ra

Khi đó:

Vậy nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 10. Giả sử hệ phương trình: có nghiệm . Chứng tỏ không đổi.

Gợi ý lời giải:

Từ hệ phương trình đã cho ta có:

Trừ vế từng vế hai phương trình ta được: hay không đổi.

Bài 11. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức biết không âm và thỏa mãn hệ phương trình:

Gợi ý lời giải:

- Từ giả thiết ta thấy hệ phương trình bậc nhất ba ẩn mà chỉ có hai phương trình, do đó hệ phương trình có vô số nghiệm. Suy luận, ta có thể coi một ẩn nào đó là tham số, biểu diễn hai ẩn còn lại theo tham số đó.

Ta có:

Từ (2) ta có: thay vào phương trình (1) ta được: hay

Do đó:

Kết hợp với nên suy ra (3)

Suy ra

Kết hợp (3) ta có:

Vậy giá trị nhó nhất của A là khi .

Dạng 2. Hệ phương trình quy về hệ phương trình bậc nhất 

Phương pháp giải: 

Một số hệ phương trình không phải là hệ phương trình bậc nhất, sau một số bước biến đổi thích hợp, chúng ta có thể giải được bằng cách đưa về hệ phương trình bậc nhất hoặc tìm được nghiệm

Bài 1. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

- Quan sát kỹ, chúng ta thấy hệ số của ẩn có vai trò như nhau trong mỗi phương trình. Vì vậy ta có thể thêm bớt để phân tích thành nhân tử có cách giải như sau:

Ta biến đổi từ hệ phương trình đã cho:  

Suy ra

Từ phương trình (1),(2),(3) nhân vế với vế, ta được: , khi đó: hoặc .

TH1: Xét trường hợp:

Kết hợp với phương trình (1),(2),(3) ta có: , suy ra

 TH2: Xét trường hợp:

Kết hợp với phương trình (1),(2),(3) ta có: , suy ra

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: và .

Bài 2. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

- Đặc điểm của hệ phương trình là chứa dấu giá trị tuyệt đối. Do vậy ta cần nhớ:

+ với mọi , dấu bằng xảy ra khi .

+

- Nhận xét nên suy ra .

Do vậy .

Kết hợp với phương trình (1) ta có: suy ra .

Khi đó: hay , suy ra hoặc

Vậy hoặc .

Hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là: .

Bài 3. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

- Nhận xét: là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

- Xét , hệ phương trình viết dưới dạng:

, suy ra

Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được:

hay

Từ phương trình (1) và (4) ta có: , suy ra

Từ phương trình (2) và (4) ta có: , suy ra

Từ phương trình (3) và (4) ta có: , suy ra

Vậy hệ phương trình có hai nghiệm là .

Bài 4. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ hệ phương trình, nhân vế với vế ta được:

Suy ra hoặc

TH1: Xét  

Kết hợp với các phương trình (1), (2), (3) ta có: hay

Cộng vế từng phương trình trong hệ, ta được: hay .

Từ đó ta suy ra

TH2: Xét

Kết hợp với các phương trình (1), (2), (3) ta có: hay

Cộng vế từng phương trình trong hệ, ta được: hay .

Từ đó ta suy ra

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .

Bài 5. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

- Chúng ta nhìn thấy phương trình (2) có thể phân tích thành nhân tử. Từ đó ta có thể sử dụng: khi hoặc .

Từ hệ phương trình đã cho ta có:

Khi đó: hoặc

+ Giải hệ  

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

Thay vào phương trình thứ nhất ta có: , suy ra .

 + Giải hệ  

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ ta được: hay

Thay vào phương trình thứ nhất ta có: , suy ra .

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là: .

Bài 6. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình (1), (2), (3) cộng vế với vế ta được: hay . Suy ra hoặc .

TH1: Xét

Kết hợp với hệ phương trình ta được: , suy ra

Từ đó, ta có: , suy ra

TH2: Xét

Kết hợp với hệ phương trình ta được: , suy ra

Từ đó, ta có: , suy ra

Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là .

Bài 7. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Biến đổi hệ phương trình đã cho ta được:

Nhân từng bế của ba phương trình ta được:

Suy ra hoặc hoặc

+ Với thế vào phương trình, ta được:

+ Tương tự với hoặc thay vào phương trình ta đều có .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là .

Bài 8. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Cộng từng vế từng phương trình trong hệ ta được:

Suy ra hay nên

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .

Bài 9. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình (1) ta có: thế vào phương trình (2) ta được:

hay (*)

TH1: Xét

Phương trình (*) trở thành:

Hay , suy ra (thỏa mãn)

Từ (1), suy ra

TH2: Xét

Phương trình (*) trở thành:

Hay , suy ra (thỏa mãn)

Từ (1), suy ra

TH3: Xét

Phương trình (*) trở thành:

Hay , suy ra (thỏa mãn)

Từ (1), suy ra

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: .

Bài 10. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Hệ phương trình đã cho trở thành:

Suy ra hoặc

+ Giải hệ  

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ ta được:

Thay vào phương trình thứ hai ta có: , suy ra .

 + Giải hệ  

Trừ từng vế của hai phương trình trong hệ ta được: hay

Thay vào phương trình thứ hai ta có: , suy ra .

Vậy hệ phương trình đã cho có tập nghiệm là: .

Bài 11. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Từ phương trình (2) ta có: thay vào phương trình (1) ta được:

hay

TH1: Xét ta được phương trình: hay

Thay ta có:

TH2: Xét ta được phương trình: hay

Thay ta có: .

Vậy nghiệm của hệ phương trình là: .

Bài 12. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Biến đổi hệ phương trình đã cho, ta được: hay

TH1: Xét

Từ phương trình thứ nhất ta có

Thế vào phương trình thứ hai, ta được: , suy ra

Vậy .

TH2: Xét

Từ phương trình thứ nhất ta có: , thế vào phương trình (2) ta được:

hoặc

+ Với thì .

+ Với thì .

Vậy hệ phương trình có nghiệm là: .

Bài 13. Giải hệ phương trình sau:

Gợi ý lời giải:

Cộng từng vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

Hay

Suy ra , Vậy

Ta thấy thỏa mãn hệ phương trình đã cho.

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là .