Giáo án và PPT Toán 7 cánh diều Bài 12: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

BÀI 12: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC

HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG

- GV yêu cầu HS đọc tình huống mở đầu:

Hình 121 minh họa biến giới thiệu quần thể di tích, danh thắng cấp Quốc gia núi Dũng Quyết và khu vực Phượng Hoàng Trung Đô ở tỉnh Nghệ An (Hình 120).

Làm thế nào để xác định được vị trí cách đều ba địa điểm được minh họa trong Hình 121?

HOẠT ĐỘNG HÌNH THÀNH KIẾN THỨC

Hoạt động 1: Đường phân giác của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ1: vẽ đường trung trực của một đoạn thẳng, đoạn thẳng này là cạnh của một tam giác.

+ Quan sát đường trung trực d của tam giác ABC có đi qua đỉnh nào của tam giác ABC không?

- HS thực hiện Ví dụ 1: HS nhận biết được đường trung trực của tam giác.

- HS thực hiện Ví dụ 2: chứng minh được AM là đường trung trực bằng cách chỉ ra A, M đều cách đều hai điểm B và C.

- HS thực hiện LT1: HS củng cố khái niệm, biết cách chứng minh một đường thẳng là đường trung trực của tam giác.

- HS thực hiện Ví dụ 3: HS vẽ được đường trung trực của tam giác bằng thước thẳng và compa.

- Gv đặt câu hỏi: Mỗi tam giác có bao nhiêu đường trung trực?

Sản phẩm dự kiến:

HĐ1:

Kết luận:

Trong một tam giác, đường trung trực của mỗi cạnh được gọi là đương trung trực của tam giác đó.

Chú ý:

Đường trung trực của một tam giác có thể không đi qua đỉnh nào của tam giác.

Ví dụ 1 (SGK -tr112)

- Đường thẳng d là đường trung trực của tam giác ABC.

- Đường thẳng e, g không là đường trung trực của tam giác ABC.

Ví dụ 2 (SGK -tr113)

LT1:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AD là đường phân giác của ∆ABC nên 

Xét ∆ABD và ∆ACD có:

AB = AC (chứng minh trên).

AD chung.

Do đó ∆ABD = ∆ACD (c - g - c).

Suy ra BD = CD (2 cạnh tương ứng) và (2 góc tương ứng).

Do BD = CD mà D nằm giữa B và C nên D là trung điểm của BC.

Do và nên

Do đó AD ⊥ BC.

Khi đó AD vuông góc với BC tại trung điểm D của BC nên AD là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Ví dụ 3 (SGK -tr113)

Nhận xét: 

Mỗi tam giác có ba đường trung trực.

Hoạt động 2: Tính chất ba đường trung trực của tam giác

- GV yêu cầu HS thảo luận nhóm đôi, hoàn thành HĐ2.

- GV đặt câu hỏi: Nêu định lí về 3 đường trung trực của tam giác đồng quy. Làm thế nào để xác định giao ba đường trung trực?

- HS thực hiện Ví dụ 4.

- HS thực hiện LT2.

- HS thực hiện HĐ3: HS quan sát hình vẽ và nhận xét, dự đoán độ dài OA, OB, OC.

- GV cho HS kết luận về tính chất của 3 đường trung trực.

- HS thực hiện Ví dụ 5: chứng minh trọng tâm tam giác đều cũng là điểm cách đều ba đỉnh của tam giác.

Sản phẩm dự kiến:

HĐ2:

 Các đường trung trực của tam giác ABC cùng đi qua điểm O.

Định lí:

Ba đường trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm.

Nhận xét:

Đế xác định giao điểm ba đường trung trực của một tam giác, ta chỉ cần vẽ hai đường trung trực bất kì và xác định giao điểm của hai đường đó.

Ví dụ 4 (SGK -tr113)

LT2:

Trong hình, đường thẳng qua O và cắt AC không vuông góc với AC nên O không phải giao điểm ba đường trung trực của tam giác ABC.

HĐ3:

Nhận xét:

Giao điểm ba đường trung trực của một tam giác cách đều ba đỉnh của tam giác đó.

Kết luận:

Trong một tam giác, ba đường trung trực cùng đi qua một điểm và điểm đó cách đều ba đỉnh của tam giác.

Chứng minh:

Vẽ các đường trung trực 

lần lượt của các cạnh và . Gọi là giao điểm của hai đường thẳng và

Vì nằm trên đường trung trực của cạnh nên .

Tương tự, ta có .

Suy ra . Do đó điểm nằm trên đường trung trực của cạnh .

Vậy ba đường trung trực của tam giác cùng đi qua điểm .

Mặt khác, ta có: .

Vậy điểm cách đều ba đỉnh của tam giác .

Ví dụ 5 (SGK -tr114).

HOẠT ĐỘNG LUYỆN TẬP

Từ nội dung bài học, GV yêu cầu HS hoàn thành các bài tập trắc nghiệm sau:

Câu 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường trung tuyến AM, BN, CP.

Khẳng định đúng là

A. AM là đường trung trực của tam giác ABC;

B. BN là đường trung trực của tam giác ABC;

C. CP là đường trung trực của tam giác ABC;

D. Cả A, B và C đều đúng.

Câu 2. Cho ∆ABC, gọi I là giao điểm của hai đường trung trực của hai cạnh AB và AC. Kết quả nào dưới đây đúng?

A. IA > IB > IC;

B. IA = IB = IC;

C. IA < IB < IC;

D. Không thể so sánh được độ dài của IA, IB, IC.

Câu 3: Cho ∆ABC có AB < AC. Trên cạnh AC lấy điểm M sao cho CM = AB. Vẽ đường trung trực của AC, cắt tia phân giác của Aˆ tại điểm O. Đường trung trực của đoạn thẳng BM đi qua điểm:

A. O;

B. A;

C. M;

D. C.

Câu 4: Cho ∆ABC đều. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy theo thứ tự ba điểm M, N, P sao cho AM = BN = CP. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆MNP là:

A. Điểm B;

B. Trung điểm của cạnh NP;

C. Trung điểm của cạnh MN;

D. Giao điểm của ba đường trung trực của ∆ABC.

Câu 5: Cho ∆ABC cân tại A, đường trung tuyến AM. Đường trung trực của AB cắt AM ở O. Biết OA = 4 cm. Tính OB và OC.

A. OB = OC = 2 cm;

B. OB = OC = 4 cm;

C. OB = OC = 8 cm;

D. OB = 2 cm; OC = 4 cm.

Sản phẩm dự kiến:

HOẠT ĐỘNG VẬN DỤNG

Vận dụng kiến thức, GV yêu cầu HS trả lời câu hỏi:

Câu 1: Cho ΔABC vuông tại A, kẻ đường cao AH. Trên cạnh AC lấy điểm K sao cho AK = AH. Kẻ KD ⊥ AC (D ∈ BC). Chứng minh rằng:

a) ΔAHD = ΔAKD;

b) AD là đường trung trực của đoạn thẳng HK;

c) AD là tia phân giác của

Câu 2: Cho tam giác ABC có A là góc tù. Các đường trung trực của AB và AC cắt nhau tại O và cắt BC theo thứ tự ở D và E.

a) Các tam giác ABD, ACE là tam giác gì?

b) Đường tròn tâm O bán kính OA đi qua những điểm nào trên hình vẽ?