Giáo án Toán 12 kết nối Bài 6: Vectơ trong không gian

Ở lớp 10, ta đã biết về vectơ trong mặt phẳng và biết sử dụng vectơ để biểu thị đại lượng có hướng và độ lớn trong mặt phẳng, ví dụ như vận tốc hay lực. Đối với các đại lượng có hướng trong không gian, ta có thể sử dụng vectơ để biểu diễn chúng hay không? Các phép toán vectơ trong trường hợp này giống hay khác như thế nào với các phép toán vectơ  trong mặt phẳng?

HĐ CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

- GV trình chiếu hình 2.2 cho HS quan sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong HĐ1.

Trong Hình 2.2, lực căng dây (được tạo ra bởi sức nặng của kiện hàng) được thể hiện bởi các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ. 

a) Các đoạn thẳng này cho biết gì về hướng và độ lớn của các lực căng dây?

b) Các đoạn thẳng này có cùng nằm trên một mặt phẳng không?

+ GV chọn hai HS đứng tại chỗ trả lời.

+ GV nhận xét và rút ra kết luận cho HS.

+ GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

- GV giới thiệu một số ví dụ về đại lượng biểu diễn vectơ trong không gian và yêu cầu HS lấy thêm ví dụ về các vectơ trong không gian.

+ HS có thể trả lời:

• Vận tốc của máy bay có thể được biểu diễn bởi vectơ trong không gian.

• Lực kéo của sợi dây tác động lên thùng hàng.

+ GV nhận xét. 

- GV nêu chú ý cho HS.

- GV cho HS 5 phút để đọc Ví dụ 1 và thảo luận cùng bạn bên cạnh.

Cho tứ diện ABCD có độ dài mỗi cạnh bằng 1.

a) Có bao nhiêu vectơ có điểm đầu là A và điểm cuối là một trong các đỉnh còn lại của tứ diện?

b) Trong các vectơ tìm được ở câu a, những vectơ nào có giá nằm trong mặt phẳng ?

c) Tính độ dàu của các vectơ tìm được ở câu a.

+ GV chọn 3 HS đứng tại chỗ trả lời các ý a, b, c.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV yêu cầu HS suy nghĩ và làm Luyện tập 1.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Trong các vectơ  .

a) Hai vectơ nào có giá cùng nằm trong mặt phẳng ?

b) Hai vectơ nào có cùng độ dài?

+ GV chỉ định một bạn đứng tại chỗ trả lời.

+ GV mời HS khác nhận xét.

+ GV chốt đáp án.

- GV trình chiếu hình 2.7 cho HS quan sát và thảo luận với bạn cùng bàn để trả lời câu hỏi trong HĐ2.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) So sánh độ dài của hai vectơ  và  .

b) Nhận xét vè giá của hai vectơ   và  .

c) Hai vectơ   và   có cùng phương không? Có cùng hướng không?

+ GV cho HS nhắc lại khái niệm hai vectơ cùng phương, cùng hướng, ngược hướng, hai vectơ bằng nhau trong mặt phẳng.

+ GV chỉ định 3 HS đứng tại chỗ trả lời các ý a, b, c.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

+ GV nói rằng trong trường họp đó, ta nói hai vectơ   và   là bằng nhau. 

+ GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức.

+ HS ghi chép vào vở.

- GV cho HS đọc câu hỏi và suy nghĩ.

+ GV gọi một bạn đứng tại chỗ trả lời.

+ HS trả lời: “Hai vectơ cùng bằng một vectơ thứ ba thì chúng bằng nhau vì chúng có cùng hướng và cùng độ dài.”

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV giới thiệu cho HS các tính chất và quy ước đối với vectơ trong không gian ở trong mục Chú ý.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 2.

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

a) Trong ba vectơ  , vectơ nào bằng vectơ  ? Giải thích tại sao.

b) Gọi  là trung điểm của cạnh BC. Xác định điểm M’ sao cho  .

+ GV chỉ định 2 HS nêu lại cách giải bài toán.

+ GV nhận xét và chốt kiến thức.

- GV cho HS làm cá nhận phần Luyện tập 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là ABCD là hình bình hành.

a) Trong ba vectơ  , vectơ nào bằng vectơ  ?

b) Gọi M là một điểm thuộc cạnh AD. Xác định điểm N sao cho  .

 + GV chọn một bạn đứng tại chỗ trả lời hai ý a và b.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV yêu cầu HS thảo luận với bạn cùng bàn Vận dụng 1

Một tòa nhà có chiều cao của các tầng là như nhau. Một chiếc thang máy di chuyển từ tầng 15 lên tầng 22 của tòa nhà, sau đó di chuyển từ tầng 22 lên tầng 29. Các vectơ biểu diễn độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển đó có bằng nhau không? Giải thích vì sao?

+ GV gọi đại diện một HS trả lời.

+ HS khác chú ý lắng nghe và nhận xét. 

+ GV tổng kết.

Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: 

- HS theo dõi SGK, chú ý nghe, tiếp nhận kiến thức, hoàn thành các yêu cầu, thảo luận nhóm.

- GV quan sát hỗ trợ.

Bước 3: Báo cáo, thảo luận: 

- HS giơ tay phát biểu, lên bảng trình bày

- Một số HS khác nhận xét, bổ sung cho bạn. 

Bước 4: Kết luận, nhận định: GV tổng quát lưu ý lại kiến thức trọng tâm và yêu cầu HS ghi chép đầy đủ vào vở.

1. Vectơ trong không gian.

HĐ1

a) Các đoạn thẳng có mũi tên màu đỏ thể hiện rằng lực căng dây nằm dọc theo dây treo và hướng về phía móc treo của cần cẩu. Độ lớn của các lực căng dây là xấp xỉ bằng nhau.

b) Các đoạn thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng.

Định nghĩa

- Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng.

- Độ dài của vectơ trong không gian là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

Câu hỏi

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, đối với vectơ trong không gian ta cũng có các kí hiệu và khái niệm sau:

- Vectơ có điểm đầu là  và điểm cuối là  được kí hiệu là  .

- Khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của vectơ thì vectơ còn được kí hiệu là

- Độ dài của vectơ  được kí hiệu là , độ dài của vectơ  được kí hiệu là .

- Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.

Ví dụ 1: SGK – tr.16

Hướng dẫn giải: SGK – tr.16.

Luyện tập 1

a) Các vectơ có giá cùng nằm trong mặt phẳng  là  .

b) Các vectơ có cùng độ dài là  và  .

HĐ2 

a) Hai vectơ có độ dài bằng nhau.

b) Hai vectơ có giá song song với nhau.

c) Hai vectơ cùng phương, cùng hướng.

Ghi nhớ

- Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau.

- Nếu hai vectơ cùng phương thì chúng cùng hướng hoặc ngược hướng.

- Hai vectơ  và  được gọi là bằng nhau, kí hiệu , nếu chúng có cùng độ dài và cùng hướng.

Chú ý: Tương tự như vectơ trong mặt phẳng, ta có tính chất và các quy ước sau đối với vectơ trong không gian.

- Trong không gian, với mỗi điểm  và vectơ  cho trước, có duy nhất một điểm  sao cho  .

- Các vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, ví dụ như   gọi là các vectơ-không.

- Ta quy ước vectơ-không có độ dài là 0, cùng hướng (và vì vậy cùng phương) với mọi vectơ. Do đó, các vectơ-không đều bằng nhau và được kí hiểu chung là .

Ví dụ 2: SGK – tr.48

Hướng dẫn giải: SGk – tr.48

Luyện tập 2

a) Vì  là hình bình hành nên 
//  và . Khi đó: .

b) 

Để   thì  //  và . Suy ra,  là hình bình hành. Khi đó, điểm  thuộc cạnh  sao cho .

Vận dụng 1

Nếu biểu thị vị trí của thang máy ở các tầng 15, 22, 29 lần lượt bởi các điểm  thì vectơ biểu thị độ dịch chuyển của thang máy trong hai lần di chuyển là   và  . Vì  thẳng hàng theo thứ tự nên   và  cùng hướng. 

Hơn nữa   và   đều có độ dài bằng tổng chiều cao của 7 tầng nên . Vậy  .

HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS

SẢN PHẨM DỰ KIẾN

Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:

NV1: Tìm hiểu về tổng của hai vectơ trong không gian

- GV trình chiếu hình 2.10 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ3:

Trong không gian cho hai vectơ  và  không cùng phương. Lấy điểm  và vẽ các vectơ  . Lấy điểm  khác  và vẽ các vectơ
  .

a) Giải thích vì sao   và  .

b) Giải thích vì sao  là hình bình hành, từ đó suy ra  .

+ GV có thể đặt câu hỏi cho HS: Tứ giác  là hình gì?

+  HS sử dụng dữ kiện của đề bài để trả lời và suy ra điều cần giải thích ở câu hỏi.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

+ GV trình chiếu nội dung trong khung kiến thức.

- GV yêu cầu HS nêu lại quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng. Từ đó GV rút ra nhận xét cho HS.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 3.

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 1. Tính độ dài của vectơ  .

+ Áp dụng quy tắc cộng vectơ, vectơ tổng của  là vectơ nào?

+ Sử dụng tính chất hình vuông và định lí pythagore để tính độ dài vectơ đó.

+ GV gọi 1 HS đứng tại chỗ trình bày lại cách làm.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV cho HS suy nghĩ và làm cá nhân Luyện tập 3.

Trong Ví dụ 3, hãy tính độ dài của vectơ  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.

+ GV nhận xét và chốt đáp án.

- GV chỉ định một HS nhắc lại các tính chất của phép cộng vectơ trong mặt phẳng. Từ đó, GV dẫn dắt đến mục Chú ý.

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 4.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng  .

+ GV chỉ định 1HS lên bảng vẽ hình và trình bày bài. 

+ GV nhận xét.

- GV cho HS làm việc cá nhân Luyện tập 4.

Cho tứ diện ABCD. Chứng minh rằng  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày.

+ HS khác theo dõi và nhận xét.

+ GV nhận xét, chốt kiến thức.

- GV trình chiếu hình 2.14 và cho HS đọc yêu cầu của HĐ4:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’.

a) Hai vectơ   và   có bằng nhau hay không?

b) Hai vectơ   và   có bằng nhau hay không?

+ GV có thể yêu cầu HS nêu lại quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng.

Quy tắc hình bình hành:

+ GV gọi 2 HS lên bảng trình bày HĐ4.

+ GV nhận xét, chốt kết quả.

+ GV nói rằng kết quả trên được gọi là quy tắc hình hộp. 

+ GV trình chiếu nội dung trong Khung kiến thức. 

- GV cho HS quan sát và nghiên cứu Ví dụ 5.

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng  .

+ GV yêu cầu một HS đứng tại chỗ trình bày.

+ GV nhận xét, chốt đáp án.

- GV cho HS làm cá nhân Luyện tập 5.

Cho hình hộp chữ nhật BCD.A’B’C’D’. Chứng minh rằng  .

+ GV gọi 1 HS lên bảng trình bày bài.

+ HS dưới lớp theo dõi, nhận xét bài bạn.

+ GV nhận xét, sửa bài, chốt kiến thức.

NV2: Tìm hiểu về hiệu của hai vectơ trong không gian

2. Tổng và hiệu của hai vectơ trong không gian

a) Tổng của hai vectơ trong không gian

HĐ3:

a) Vì    (cùng bằng ) nên bốn điểm  đồng phẳng và tứ giác  là hình bình hành. Suy ra 
 .

Tương tự, ta có  .

b) Từ câu a, suy ra  , do đó bốn điểm   đồng phẳng và tứ giác  là hình bình hành. Vì vậy  .

Ghi nhớ

Trong không gian, cho hai vectơ . Lấy điểm  bất kì và các điểm  sao cho , . Khi đó vectơ  được gọi là tổng của hai vectơ  và , kí hiệu .

Trong không gian, phép lấy tổng của hai vectơ được gọi là phép cộng vectơ.

Nhận xét: Quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành trong mặt phẳng vẫn đúng trong không gian:

• Nếu   là ba điểm bất kì thì 
  

• Nếu   là hình bình hành thì 
  

Ví dụ 3: SGK – tr.49

Hướng dẫn giải: SGK – tr.49.

Luyện tập 3 

Ta có:  .

Suy ra, .

Chú ý: Phép cộng vectơ trong không gian cũng có các tính chất như phép cộng vectơ trong mặt phẳng.

- Tính chất giao hoán: ;

- Tính chất kết hợp: ;

- Với mọi vectơ , ta luôn có: .

Ví dụ 4: SGK – tr.50

Hướng dẫn giải: SGK – tr.50

Luyện tập 4

Theo quy tắc ba điểm trong không gian, ta có:  . Từ đó lần lượt áp dụng tính chất phép cộng vectơ trong không gian, ta được:

HĐ4

a) Áp dụng quy tắc hình bình hành:
  .

b) Ta có:  .

Áp dụng quy tắc hình bình hành: 
 . Khi đó:

Quy tắc hình hộp

Cho hình hộp . Ta có:

Ví dụ 5: SGK – tr.50

Hướng dẫn giải: SGK – tr.50.

Luyện tập 5

Ta có:  

Áp dụng quy tắc hình hộp: 

b) Hiệu của hai vectơ trong không gian