Bài tập file word toán 10 cánh diều chương 7 Bài 4: Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

BÀI 4 : VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI VÀ GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của 2 đường thẳng sau :

d1 : x – 6y + 12 = 0 và d2 : x – 6y – 24 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 1;  -6) ;  -6) ; = ( 1;  -6) -6)

Ta thấy 1 .( -6 ) = (-6). 1 =>  và  cùng phương => 2 đường thẳng song song hoặc trùng nhau.

Mà A(0; 2)  d1 nhưng A ∉ d2 => 2 đường thẳng song song.

Bài 2: Tìm góc giữa 2 đường thẳng : d1 : x +  y – 2023 = 0 ; d2 : x + 2024 = 0

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 1;   ) ; = ( 1;  0)

cos (d1; d2 ) =  =  =  => (d1; d2 ) = 600

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm K(4; -2) đến đường thẳng Δ : 3x + y – 24 = 0

Trả lời:

d( K; Δ) =  =

2. THÔNG HIỂU ( 3 CÂU)

Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng:

a) x − 3y + 4 = 0 và 0,5x −1,5y + 4 = 0 

b) 10x + 2y − 3 = 0 và 5x + y −1,5 = 0

Trả lời:

a)  =  ≠  => hai đường thẳng song song

b)  =  =  => hai đường thẳng trùng nhau

Bài 2: Tìm m để 2 đường thẳng sau vuông góc với nhau : Δ1 : 2x – 5y + 2023 = 0 và

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( 2;  -5) ;  -5) ; = ( 6m;  4)

Hai đường thẳng vuông góc ó  .  = 0 ó 2. 6m + (-5). 4 = 0 ó m = 

Bài 3: Xét vị trí tương đối và tìm giao điểm nếu có của cặp đường thẳng:

d : x + y – 2 = 0 và d’:  =

Trả lời:

 ≠  => d và d’ cắt nhau

Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ : x + y – 2 = 0; 2x + y – 3 = 0

ó x = 1; y = 1

Vậy giao điểm của d và d’ là I( 1;1)

3. VẬN DỤNG ( 5 CÂU)

Bài 1: Cho 3 điểm A(2; 0); B( 3; 4) ; P( 1; 1). Viết phương trình đường thẳng đi qua P đồng thời cách đều A và B.

Trả lời:

Đường thẳng Δ đi qua P có dạng : a( x – 1) + b(y – 1) = 0 hay ax + by – a – b = 0

Đường thẳng Δ cách đều A và B

ó d (A; Δ) = d (B; Δ)

ó  =  ó a – b = 2a + 3b; b – a = 2a + 3b ó a = -4b; 3a = -2b

+) Nếu a = -4b : chọn a = 4; b = -1 => Δ: 4x – y – 3 = 0 +) Nếu a = -4b : chọn a = 4; b = -1 => Δ: 4x – y – 3 = 0

+) Nếu 3a = -2b : chọn a = 2; b = -3 => Δ: 2x – 3y + 1 = 0 +) Nếu 3a = -2b : chọn a = 2; b = -3 => Δ: 2x – 3y + 1 = 0

Vậy Δ: 4x – y – 3 = 0 hoặc Δ: 2x – 3y + 1 = 0

Bài 2 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình bình hành ABCD , biết hai đường chéo AC và CD lần lượt nằm trên hai đường thẳng d1 :x − 3y + 9 = 0, d2 : x + 3y − 3 = 0 và phương trình đường thẳng  AB : x − y + 9 = 0. Tìm tọa độ điểm C

Trả lời:

Gọi I là tâm của hình bình hành.

I = AC ∩ BD nên tọa độ điểm I ( x; y) thỏa mãn hệ :

                     x − 3y + 9 = 0;  x + 3y − 3 = 0 ó x = -3; y = 2 => I(-3; 2)

A = AB ∩ AC => tọa độ điểm A thỏa mãn hệ :

                     x − 3y + 9 = 0; x − y + 9 = 0 => x = -9 ; y = 0 => A( -9; 0)

Vì I là giao điểm 2 đường chéo => I là trung điểm AC => C(3; 4)

Vậy C( 3; 4)

Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm A(1;1),B(4;−3) và d : x − 2y −1 = 0. Tìm tọa độ điểm C thuộc d sao cho khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 6.

Trả lời:

C thuộc đường thẳng d => C( 1 + 2c; c)

Phương trình đường thẳng AB :  =  ó 4x + 3y – 7 = 0

d( C; AB) = 6 ó  = 6 ó |11c - 3| = 30 ó c = 3 hoặc c =

c = 3 => C( 7; 3)

c =  => C ( ; )

Vậy C( 7; 3) hoặc C ( ; )

Bài 4: Tìm m để 2 đường thẳng d1 : x – y + 7 = 0 và d2 : mx + y + 1 = 0 tạo với nhau góc 300

Trả lời:

cos (d1; d2) =  ó cos 300 =  =

ó 3(m2 + 1) = ( m – 1)2 ó m =

Bài 5 : Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hai đường thẳng d1: x − y − 4 = 0, d2: 2x + y − 2 = 0, và hai điểm A(7;5), B(2;3). Tìm điểm C  d1 và điểm D d2 sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trả lời:

C  d1 => C( c; c – 4)

D d2 => D( d; 2 – 2d)

 = ( -5; -2) ;  = ( c – d; c + 2d – 6)

Tứ giác ABCD là hình bình hành ó  =  

ó  c – d = -5; c + 2d – 6 = -2

ó c = -2 ; d = 3

Vậy C( -2; -6) ; D( 3; -4)

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho ΔABC có A(2;1), đường cao qua đỉnh B và đường trung tuyến qua đỉnh C lần lượt có phương trình d1: x − 3y − 7 = 0; d2: x + y +1 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh B và C.

Trả lời:

B  d1 => B( 3b + 7; b)

Gọi M là trung điểm AB => M(  ; )

M  d2 =>  +  +  + 1 = 0  + 1 = 0 ó b = -3 => B( -2; -3)

Đường thẳng AC đi qua A và vuông góc với d1 nên có phương trình 3x + y – 7 = 0

C = AC ∩ d2 nên C là nghiệm của hệ phương trình 3x + y – 7 = 0; x + y + 1 = 0

=> x = 4; y = -5 => C( 4; -5)

Vậy B( -2; -3) ; C( 4; -5)

Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d : x + 2y – 4 = 0 và hai điểm A( 1; 4); B( 9; 0). Tìm điểm M thuộc d sao cho || nhỏ nhất.

Trả lời:

M thuộc d => M( 4 – 2m; m)

 = ( 2m – 3; 4 – m);  = ( 2m + 5; -m) =>  = ( 8m + 12; 4 – 4m)

=> || =  =

      = 4.  = 4.   ≥ 4.  =  4 

Dấu “=” xảy ra ó m + 1 = 0 ó m = -1 => M( 6; -1). Vậy M( 6; -1)

Bài 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , viết phương trình đường ∆ thẳng song song với đường thẳng d: 2x − y + 2023 = 0 và cắt hai trục tọa độ tại M và N sao cho MN = 3

Trả lời:

Do ∆ qua M (m;0) ∈ Ox và N(0;n) ∈ Oy (với m, n ≠ 0) => Δ:  +  +  = 1

hay Δ: nx + my – mn = 0

Δ // d =>  =  ó  n = -2m

MN = 3 =>  = 3 ó  = 3 => m = ±3

+) m = 3 => n = -6 => Δ: -6x + 3y +18 = 0 +) m = 3 => n = -6 => Δ: -6x + 3y +18 = 0

+) m = -3 => n = 6 => Δ: 6x – 3y +18 = 0 +) m = -3 => n = 6 => Δ: 6x – 3y +18 = 0

Bài 4: Biết rằng có đúng hai giá trị của tham số k để đường thẳng d : y = kx tạo với đường thẳng ∆ : y = x một góc 600 . Tổng hai giá trị của k.

Trả lời:

Vectơ pháp tuyến của 2 đường thẳng là  = ( k; -1) ; = ( 1;  -1) -1)

cos (d; Δ ) =  =  = cos 600 =  

=>  k2 + 1 = 2k2 + 4k + 2 ó k2 + 4k + 1 = 0

Theo định lí Vi- et ta có k1 + k2 = -4