ÔN TẬP CHƯƠNG III: TỨ GIÁC (PHẦN 1)

Bài 1: Tìm x ?

Trả lời:

Xét tứ giác ABCD có:

Bài 2: Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật và chứng minh.

Trả lời:

Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho HP=HM

Chứng minh:

Tứ giác MNQP có QN và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác  (gt) ⇒ Tứ giác MNQP là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD có , AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD. 

Trả lời:

Trong hình bình hành ABCD có: 

CD là cạnh đối của AB  DC = AB = 4cm

AD là cạnh đối của BC  AD = BC = 5cm

 là góc đối của   

Bài 4: Tìm và chứng minh hình vuông trong hai hình sau

Trả lời:

Xét tứ giác MNPQ có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , suy ra MNPQ là hình bình hành. Ta lại có MP vông góc với NQ nên MNPQ là hình thoi suy ra AB = BC = CD = AD (1)

Mặt khác, NO là đường trung tuyến ứng với cạnh MP,  nên tam giác MNP vuông tại N hay 

Tương tự ta có: (2)

Từ (1)(2) suy ra MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác URST có: UR = RS = ST = UT,  suy ra URST là hình vuông

Bài 5: Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BD là tia phân giác góc B. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Trả lời:

Xét tam giác ABD có AB=AD (gt)

⇒ΔABD cân tại A ⇒  

Mà  (BD là tia phân giác của góc B)

Do đó 

Mà và so le trong 

⇒AD // BC

Vậy ABCD là hình thang.

Bài 6: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F∈AB).

1. a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.
2. b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.

Trả lời:

1. a) Tứ giác AEDF có:

 AE // DF (AC // FD, E∈AC)

AF // DE (AB // DE, F∈AB)

⇒ AEDF là hình bình hành.

Mà (ΔABC vuông tại A)

Nên AEDF là hình chữ nhât.

1. b) ΔABC có D là trung điểm của BC và FD // AC ⇒ F là trung điểm của AB.

ΔABC có D là trung điểm của BC và DE // AB ⇒ E là trung điểm của AC

⇒ Efl à đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF // BC và 

Lại có  (Vì D là trung điểm của BC)

⇒ EF//BD và EF=BD

Vậy tứ giác BFED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Bài 7: Góc kề bù với một góc của tứ giác được gọi là góc ngoài của tứ giác đó.

Hãy tính tổng số đo bốn góc ngoài  của tứ giác ABCD ở hình.

Trả lời:

Ta có: 

Mà theo định lý tổng bốn góc trong một tứ giác bằng 360º ta có:

Bài 8: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.
2. b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

Trả lời:

1. a) Ta có :

 (E là trung điểm của AD)

(F là trung điểm của BC)

Mà AD=BC (ABCD là hình bình hành)

⇒ED=BF

Mà ED // BF (AD // BC, E∈AD;F∈BC)

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.

1. b) O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ⇒ O là trung điểm của BD

Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD ⇒ O là trung điểm của EF.

⇒ O∈EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.

Bài 9: Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

1. a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm
2. b) Tính khi biết 

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác MNI vuông tại I:

 suy ra  do đó MI = 8 dm

1. b) Ta có: 

Lại có MP là phân giác góc  suy ra 

Bài 10: Cho hình bình hành . Vẽ về phía ngoài hình bình hành, hai hình vuông  và . Chứng minh:

1. a) .
2. b) .
3. c) là tam giác vuông cân.

Trả lời:

1. a) Dễ dàng chứng minh (c.g.c) .
2. b) Gọi giao điểm của và là . Do , ta có   .
3. c) Chứng minh được (c.g.c)

 .

Ta có

 , mà   .

Mặt khác, do  là hình bình hành nên  hay .

Từ  và      vuông cân.

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD. Gọi K, I lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Chứng minh:

1. a) AI = CK và ; b) AI // CK.

Trả lời:

1. a) Vì tứ giác là hình bình hành

.

Vì  là trung điểm của .

Vì  là trung điểm của .

.

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác  là hình bình hành => AI = CK.

Vì tứ giác  là hình bình hành suy ra

 (so le trong).

1. b) Vì tứ giác là hình bình hành suy ra .

Bài 12: Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.

Trả lời:

Kẻ BK vuông góc với CD ta có: HK = AB, DH = CK = (3 - 1) : 2 = 1(m)

Cho tam giác AHD vuông tại H ta có:

(định lí Pythagore)

Do đó: (m)

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

( định lí Pythagore)

 (m)

Do đó AC = (m)

Suy ra (m)

Bài 13: Phần thân của cái diều ở Hình a được vẽ lại như Hình b. Tìm số đo các góc chưa biết trong hình.

Trả lời:

Xét tam giác ABC và ADC ta có:

AB = AD

BC = CD

AC chung

Suy ra  (c.c.c) ⇒

Xét tứ giác ABCD  có:

Bài 14: Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình vẽ). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Trả lời:

Tứ giác DABC có 2 đường chéo DB và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

Cặp cạnh đối AB = DC = 100m

Bài 15: Cho tam giác ABC có đường cao AI. Từ A kẻ tia Ax vuông góc với AC, từ B kẻ tia By song song với AC. Gọi M là giao điểm của tia Ax và tia By. Nối M với trung điểm P của AB, đường MP cắt AC tại Q và BQ cắt AI tại H.

1. a) Tứ giác AMBQ là hình gì? b) Chứng minh tam giác PIQ cân.

Trả lời:

1. a) Ta có: và

  .

Xét  và  có

• (so le trong);
• là cạnh chung;
• .

     (g-c-g)

   (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác  có:

 tứ giác  là hình chữ nhật.

1. b) Do tứ giác là hình chữ nhật. Mà P là trung điểm AB (1)

Xét  vuông tại I và có IP là đường trung tuyến.

 (2)

Từ (1) và (2)  cân tại .

Bài 16: Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân MNPQ (Hình 13) với hai đáy MN = 6 cm, PQ = 10 cm và độ dài hai đường chéo   cm. Tính độ dài đường cao và cạnh bên của hình thang.

Trả lời:

Ta có QH = PK = (10 - 6) : 2 = 2(cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác MPH vuông tại H ta có:

 suy ra  do đó MH = 8 cm

Xét tam giác MHQ vuông tại H ta có:

do đó MH = (cm)

Vậy độ dài đường cao là 8 cm, độ dài cạnh bên là cm

Bài 17: Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông? Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 7).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Trả lời:

Giải thích:

- Giao điểm của 2 đường kính của hình tròn sẽ cách tất cả các điểm trên đường tròn những khoảng cách như nhau gọi là bán kính. Và giao điểm O này chính là tâm của đường tròn. 

- Với việc xác định các điểm mút như trên ta đi xét các tam giác sau:

Tam giác AOD và COB có: 

OA = OB; OD = OC (đều là bán kính đường tròn)

Góc AOD và BOC bằng nhau (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác AOD và COB bằng nhau (c-g-c). Suy ra:

AD = BC (1)

=> AD//BC (2)

Tương tự vói 2 tam giác DOC và BOA. Suy ra:

AB = DC. (3)

=> AB//DC (4)

Từ (2) và (4) => ABCD là hình bình hành. Kết hợp với (1) và (2)

=> ABCD là hình vuông (hình bình hành có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)

Bài 18: Cho hình thang  (), có . Chứng minh  là hình thang cân.

Trả lời:

 Từ  kẻ tia , .

 Do

 cân tại A .

Lại có  (hai góc đồng vị)

.

Xét hai tam giác  và  có

• (giả thiết);
• (chứng minh trên);
• là cạnh chung.

 (c.g.c).

 là hình thang cân.

Bài 19: Cho tam giác ABC vuông ở A. Gọi E, G, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, AC. Từ E kẻ đường thẳng song song với BF, đường thẳng này cắt GF tại I.

1. a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
2. b) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
3. c) Chứng minh tứ giác là hình thoi.
4. d) Tìm điều kiện của tam giác để tứ giác là hình vuông.

Trả lời:

1. a) Tứ giác là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông.
2. b) Có hay . Vậy tứ giác là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối song song.
3. c) Tứ giác là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường và vuông góc với nhau ().
4. d) Để tứ giác là hình vuông thì . Vậy tam giác sẽ thành tam giác vuông cân tại .

Bài 20: Bạn Linh có một mảnh giấy dạng hình tròn. Bạn Linh đố bạn Bình: Làm thế nào có thể chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật? Bạn Bình đã làm như sau:

Bước 1: Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Sau đó lại gấp tương tự mảnh giấy đó nhưng theo đường kính mới và đánh dấu hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật (Hình 53).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Bình.

Trả lời:

Giải thích: Khi gấp như thế thì giao điểm của 2 đường gấp chính là trọng tâm của hình tròn. Khi đó khoảng cách từ giao điểm đó đến các vị trí đầu mút là bằng nhau. Như vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau (đường kính của hình tròn) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.