BÀI 12: HÌNH BÌNH HÀNH

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Cho hình bình hành ABCD có , AB = 4 cm, BC = 5 cm. Tính số đo mỗi góc và độ dài các cạnh còn lại của hình bình hành ABCD. 

Giải:

Trong hình bình hành ABCD có: 

CD là cạnh đối của AB DC = AB = 4cm

AD là cạnh đối của BC AD = BC = 5cm

 là góc đối của   

Câu 2: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và . Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Giải:

Xét 2 tam giác OAD và OCB có: 

(gt)

OA = OC (gt)

(2 góc đối đỉnh)

Tam giác OAD = tam giác OCB bằng nhau (g-c-g)

OD = OD. 

Vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên sẽ là hình bình hành.

Câu 3: Trong các tứ giác ở Hình 9, tứ giác nào không là hình bình hành?

Giải:

1. a) Tứ giác ABCD có: AB = CD, BC = AD suy ra ABCD là hình bình hành
2. b) Tứ giác EFGH có: ,  suy ra EFGH là hình bình hành
3. c) 

Tứ giác IJKL có:  suy ra IJKL là hình bình hành

1. d) Tứ giác MNPQ có: OQ = ON, OM , OP suy ra MNPQ là hình bình hành
2. e) Tứ giác TSRU có:  suy ra TSRU không là hình bình hành
3. g) 

mà hai góc này ở vị trí trong cùng phía suy ra VZ // XY

Tứ giác XYZV có: XY // VZ, XY = VZ suy ra XYZV là hình bình hành

Câu 4: Cần thêm một điều kiện gì để mỗi tứ giác trong Hình 19 trở thành hình bình hành?

Giải:

Câu 5. Tìm các hình bình hành và hình thang có trong Hình 22

Giải:

Các hình bình hành: ABGH, AEIL, CDFG

Các hình thang: ABGH, ACGH, ADFH, AEFH, BDFG, CEFG, AEIK, AEIL, CDFG

2. THÔNG HIỂU (6 câu)

Câu 1. Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình vẽ)

1. a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
2. b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID

Giải:

1. a) 

Xét tam giác vuông DKC và BHA ta có:

                                        DC = AB( hbh ABCD)

                                         ( hbh ABCD, AB//DC)

Suy ra ΔDKC=ΔBHA ( ch-gn)

CK=AH

Ta có : AH  DB

            CK ⊥ DB

CK//AH

Xét tứ giác AKCH có:

CK//AH(cmt)

CK=AH( cmt)

AKCH là hình bình hành ( DHNB)

1. b) AKCH là hình bình hành suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là trung điểm AD, F là trung điểm của BC.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác EBFD là hình bình hành.
2. b) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng ba điểm E, O, F thẳng hàng

Giải:

1. a) Ta có :

(E là trung điểm của AD)

(F là trung điểm của BC)

Mà AD=BC (ABCD là hình bình hành)

⇒ED=BF

Mà ED // BF (AD // BC, E∈AD;F∈BC)

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành.

1. b) O là tâm đối xứng của hình bình hành ABCD ⇒Olà trung điểm của BD

Hình bình hành EBFD có O là trung điểm của BD ⇒O là trung điểm của EF.

⇒O∈EF

Vậy E, O, F thẳng hàng.

Câu 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

1. a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.
2. b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Giải:

1. a) Ta có:

(I là trung điểm của AB),

(K là trung điểm của CD)

Và AB=CD(ABCD là hình bình hành)

⇒AI=CK

Mà AI // CK (AB//CD,I∈AB,K∈CD)

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

1. b) ΔABEcó I là trung điểm của AB và IF//AE

Nên F là trung điểm của EB ⇒BF=EF (1) 

ΔDCFcó EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF ⇒DE=EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE=EF=BF

Câu 4: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.
Giải:

Theo tính chất đường trung tuyến ta có: 

-, mặt khác Q là trung điểm của GC nên GN = GQ

-, mặt khác P là trung điểm của GB nên GM = MP.

Hơn nữa, 2 góc đối đỉnh NGP và QGM bằng nhau nên khi đó 2 tam giác NGP và QGM bằng nhau (c-g-c)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NP//MQ

Tương tự 2 tam giác NGM và QGP cũng bàng nhau (c-g-c)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NM//PQ

Vậy tứ giác MNPQ có 2 cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành (đpcm)

Câu 5: Quan sát hình vẽ, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Giải:

Gọi O là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành có: tại O

AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, 

do đó O cũng là trung điểm của BC

AKCH là hình bình hành:

tại O

AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, 

do đó O cũng là trung điểm của HK

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Câu 6. Cho hai hình bình hành ABCD và ABMN (Hình 42).

Chứng minh:

1. a) CD=MN
2. b) 

Giải:

1. Vì ABCD là hình bình hành nên cặp cạnh đối CD = AB.

Vì ABMN là hình bình hành nên cặp cạnh đối MN = AB.

CD = MN

1. Trong hình bình hành ABCD có 2 góc đối nhau BCD = DAB

Trong hình bình hành ABMN có 2 góc đối nhau BMN = BAN

  (đpcm)

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Mắt lưới của một lưới bóng chuyền có dạng hình tứ giác có các cạnh đối song song. Cho biết độ dài hai cạnh của tứ giác này là 4 cm và 5 cm. Tìm độ dài hai cạnh còn lại.

Giải: 

Tứ giác có các cạnh đối song song suy ra tứ giác đó là hình bình hành

Do đó độ dài hai cạnh cò còn bằng độ dài hai cạnh đã cho là 4 cm và 5 cm

Câu 2: Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Giải:

EFGH là hình bình hành suy ra HG = EF = 40 m

EG = 2EM = 2 × 36 = 72 (m)

HF = 2HM = 2 16 =32 (m)

Bài 3. Để đo khoảng cách giữa hai vị trí A, B ở hai phía của một toà nhà mà không thể trực tiếp đo được, người ta làm như sau: Chọn các vị trí O, C, D sao cho O không thuộc đường thẳng AB; khoảng cách CD là đo được: O là trung điểm của cả AC và BD (Hình vẽ). Người ta đo được CD = 100 m. Tính độ dài của AB.

Giải:

Tứ giác DABC có 2 đường chéo DB và AC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành

Cặp cạnh đối AB = DC = 100m

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Câu 1: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau dó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?

Bạn Hùng đã làm như sau:

- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC, qua điểm B kẻ đường thẳng d' song song với AC;

- Gọi E là giao điểm của d và d';

- Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.

Giải:

Giải thích: Hùng làm như vậy thì tứ giác ACBE sẽ là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song).

Khi đó đoạn thẳng AC = BE, AE = BC.

Góc ACB = góc AEB (cặp góc đối nhau trong hình bình hành ACBE)

(Các đoạn thẳng BE và AE, góc AEB có thể đo được)