BÀI 14: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG

1. NHẬN BIẾT (5 câu)

Câu 1: Trong tứ giác ở hình 12, tứ giác nào là hình thoi?

Giải:

- Tứ giác MNPQ có bốn cạnh bằng nhau nên là hình thoi.

- Tứ giác ABCD chỉ có các cạnh đối bằng nhau nên chỉ là hình bình hành và không phải là hình thoi.

Câu 2: Tìm hình vuông trong hai hình sau 

Giải:

Xét tứ giác MNPQ có: MP và NQ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , suy ra MNPQ là hình bình hành. Ta lại có MP vông góc với NQ nên MNPQ là hình thoi suy ra AB = BC = CD = AD (1)

Mặt khác, NO là đường trung tuyến ứng với cạnh MP,  nên tam giác MNP vuông tại N hay 

Tương tự ta có: (2)

Từ (1)(2) suy ra MNPQ là hình vuông

Xét tứ giác URST có: UR = RS = ST = UT,  suy ra URST là hình vuông

Câu 3: Cho biết các góc và các cạnh của tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm gì.

Giải:

Tứ giác ABCD ở Hình 65 có đặc điểm:

- Các góc đều là góc vuông

- Các cạnh đều bằng nhau.

Câu 4: 

1. a) Mỗi hình vuông có là một hình chữ nhật hay không?
2. b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi hay không?

Giải:

1. a) Mỗi hình vuông là một hình chữ nhật.
2. b) Mỗi hình vuông có là một hình thoi.

Câu 5. Cho hình thoi ABCD có AC = BD. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Giải:

ABCD là hình thoi nên:

- Có các góc đối bằng nhau. Suy ra:

- 4 cạnh bằng nhau. 

=> ABCD có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.(đpcm)

2. THÔNG HIỂU (4 câu)

Câu 1. Cho hình thoi MNPQ có I là giao điểm của hai đường chéo.

1. a) Tính MP khi biết MN = 10 dm, IN = 6 dm
2. b) Tính IMNkhi biết 

Giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác MNI vuông tại I:

 suy ra  do đó MI = 8 dm

1. b) Ta có: 

Lại có MP là phân giác góc  suy ra 

Câu 2. Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Giải:

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒EF//AC và  (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC

⇒HG là đường trung bình của tam giác ACD

⇒HG//ACvà  (2)

Từ (1) và (2) ⇒EF//HGvà EF=HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có AB=CDvà AD=BC⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà  ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

Xét ΔEBFvà ΔCGFcó :

EB=EC(gt)

BF=FC(gt)

⇒ΔEBF=ΔGCF(c.g.c)⇒EF=GF

Chứng minh tương tự ta có GF=GH,GH=EF⇒EF=GF=GH=EH

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

Câu 3: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

1. a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
2. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau
3. b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Giải:

1. a) Tứ giác ABCD có:

AD và BC cắt nhau tại M (gt);

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà AD⊥BC (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

1. b) Tứ giác OAMB có:

OM và AB cắt nhau tại E (gt);

E là trung điểm của OM (gt)

E là trung điểm của AB (gt)

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành

Suy ra ,

Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.

Xét tam giác AOB và MBO ta có:

AO = MB (OAMB là hình bình hành)

OB chung

Suy ra ΔAOB=ΔMBO (c.g.c)

1. c) Ta có  (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và  (E là trung điểm của AB)

⇒ (1)

Ta có  (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và  (F là trung điểm của AC)

⇒ (2)

AB=AC (ΔABCcân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.

Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có đường phân giác AD. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC. Chứng minh tứ giác AHDK là hình vuông.

Giải:

H, K lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC nên . Tứ giác AHDK có 3 góc vuông nên góc còn lại cũng là góc vuông. Vậy AHDK là hình chữ nhật. 

Xét 2 tam giác vuông DHA và DKA có: 

(AD là đường phân giác của góc A)

AD chung

=> 2 tam giác vuông DHA và DKA bằng nhau theo trường hợp cạnh huyền, góc nhọn

=> 2 cạnh tương ứng AH = AK. Hình chữ nhật AHDK có 2 cạnh liền kề bằng nhau nên là hình vuông (đpcm)

3. VẬN DỤNG (6 câu)

Câu 1: Tính độ dài cạnh của các khuy áo hình thoi có độ dài hai đường chéo lần lượt là 3.2 cm và 2.4 cm

Giải: 

Độ dài cạnh khuy áo là: (cm)

Câu 2: Một hoa văn trang trí được ghép bởi ba hình tứ giác có độ dài mỗi cạnh đều bằng 2 cm (Hình 18). Gọi tên các tứ giác này và tính chu vi của hoa văn

Giải:

Các tứ giác có độ dài mỗi cạn đều bằng nhau suy ra tứ giác là hình thoi

Chu vi hoa văn: 3 x 4 x 2 = 24 (cm)

Câu 3. Tìm bốn ví dụ về hình vuông trong thực tế
Giải:

một mặt của khối rubik, gạch lát nền, cái đĩa hình vuông, khung ảnh hình vuông

Bài 4. Bạn Nam kiểm tra mặt kính của chiếc đồng hồ để bàn và nhận thấy có ba góc vuông và hai cạnh kề bằng nhau (Hình 13). Hãy cho biết mặt kính đồng hồ có hình gì?

Giải:

Mặt đồng hồ có ba góc vuông suy ra mặt đồng hồ là hình chữ nhật 

Lại có, hai cạnh kề bằng nhau suy ra mặt đồng hồ là hình vuông

Câu 5. Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác. 

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Giải:

- Tứ giác nhận được theo nhát cắt của MN là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

- Nếu có thêm OM = ON thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.

Câu 6. Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Giải:

Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là: 

(mm)

4. VẬN DỤNG CAO (3 câu)

Câu 1: Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Giải:

Tam giác ABC có AB = BC (2 cạnh của hình thoi) nên là tam giác cân tại B. Lại có góc B = 60∘ nên ABC là tam giác đều => AC = 40cm. 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Khi đó: OA = 12AC = 20cm. 

Trong tam giác AOB có:

Diện tích tam giác cm2

=> Diện tích viên gạch có dạng hình thoi như trên sẽ là: 2. 692 = 1 384cm2

Câu 2. Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có đạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt phép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là  dm.

Giải:

Cách làm:

- Gấp đôi mỗi mảnh giấy có dạng hình vuông theo đường kẻ chéo như hình đầu tiên, đường kẻ này sẽ có độ dài là dm (đúng với định lý pythagore). Sau đó dùng kéo cắt theo đường kẻ này ta sẽ có 4 mảnh giấy hình tam giác như nhau. 

- Xếp 4 mảnh giấy tam giác này lại sao cho đường cắt của 4 mảnh tạo thành 4 cạnh của hình vuông mới, lúc này cạnh của hình vuông mới sẽ là dm

Câu 3. Bạn Thảo có một mảnh giấy có dạng hình tròn. Bạn Thảo đố bạn Minh: Không dùng thước thẳng và compa, làm thế nào có thể xác định tâm của hình tròn và chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình vuông? Bạn Minh đã làm như sau:

Bước 1. Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Tiếp tục gấp mảnh giấy (có dạng nửa hình tròn) ở Bước 1 sao cho hai nửa mới của nửa hình tròn đó lại trùng khít nhau. Trải miếng bìa về dạng hình tròn ban đầu, ta được nét gấp mới là một đường kính khác của hình tròn.

Bước 3. Ta đánh dấu giao điểm của hai đường kính là O và hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó O là tâm của hình tròn và tứ giác ABCD là hình vuông (Hình 7).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Minh.

Giải:

Giải thích:

- Giao điểm của 2 đường kính của hình tròn sẽ cách tất cả các điểm trên đường tròn những khoảng cách như nhau gọi là bán kính. Và giao điểm O này chính là tâm của đường tròn. 

- Với việc xác định các điểm mút như trên ta đi xét các tam giác sau:

Tam giác AOD và COB có: 

OA = OB; OD = OC (đều là bán kính đường tròn)

Góc AOD và BOC bằng nhau (2 góc đối đỉnh)

=> Tam giác AOD và COB bằng nhau (c-g-c). Suy ra:

AD = BC (1)

=> AD//BC (2)

Tương tự vói 2 tam giác DOC và BOA. Suy ra:

AB = DC. (3)

=> AB//DC (4)

Từ (2) và (4) => ABCD là hình bình hành. Kết hợp với (1) và (2) 

=> ABCD là hình vuông (hình bình hành có 2 cạnh đối song song và bằng nhau)