BÀI 13: HÌNH CHỮ NHẬT

1. NHẬN BIẾT (6 câu)

Câu 1: Chỉ được sử dụng compa, hãy kiểm tra tứ giác ở hình sau có phải là hình chữ nhật hay không.

Giải:

- Ta kiểm tra các cặp cạnh đối xem chúng có bằng nhau không

Nếu các cặp cạnh đối bằng nhau ⇒ ABCD là hình bình hành

- Sau đó: Kiểm tra hai đường chéo xem chúng bằng nhau không

Nếu hai đường chéo bằng nhau ⇒ ABCD là hình chữ nhật

Câu 2: Cho hình 15. Vẽ thêm điểm P để tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Giải:

Trên tia đối của tia HM lấy điểm P sao cho HP=HM

Chứng minh:

Tứ giác MNQP có QN và MP cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Mặt khác (gt) ⇒ Tứ giác MNQP là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết).

Câu 3: Cho biết số đo mỗi góc của tứ giác ABCD trong hình 47. 

Giải:

Số đo mỗi góc của tứ giác ABCD trong hình 47 đều bằng 90o

Câu 4: 

1. a) Mỗi hình chữ nhật có là một hình thang cân hay không?
2. b) Mỗi hình chữ nhật có là một hình bình hành hay không?

Giải:

1. a) Mỗi hình chữ nhật có là một hình thang cân.
2. b) Mỗi hình chữ nhật có là một hình bình hành.

Câu 5. Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, Aˆ=90∘. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật.

Giải:

ABCD là hình thang cân và AB//CD nên:

2 góc kề đáy AB là:  

2 góc kề đáy CD là 

Tứ giác ABCD có 4 góc vuông nên là hình chữ nhật. 

Câu 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm cúa cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật và

Giải:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA M là trung điểm của AD. Tứ giác ABCD có 2 đường chéo là AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)

2 đường chéo AD = BC. Mà nên (đpcm )

2. THÔNG HIỂU (4 câu)

Câu 1. Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M,N lần lược là hình chiếu của O trên AB, BC. Chứng minh.

Giải:

Tứ giác MBNO có 3 góc vuông là OMB, MBN và ONB nên góc còn lại là NOM cũng là góc vuông. Vậy MBNO là hình chữ nhật. 

MO = BN (1)

MO//BN (hay MO//CN) (2)

N là hình chiếu của O trên BC nên NB=NC (3)

Từ (1) và (3) MO = NC. kết hợp với (2) suy ra OMNC là hình bình hành (tứ giác cócặp cạnh đối song song và bằng nhau)

MN = OC. Mà O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên . Vậy (đpcm)

Câu 2. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi D là trung điểm của BC. Vẽ DE // AB, vẽ DF // AC (E ∈ AC, F∈AB).

1. a) Chứng minh rằng tứ giác AEDF là hình chữ nhât.
2. b) Chứng minh rằng tứ giác BFED là hình bình hành.

Giải:

1. a) Tứ giác AEDF có:

 AE // DF (AC // FD, E∈AC)

AF // DE (AB // DE, F∈AB)

⇒AEDF là hình bình hành.

Mà (ΔABC vuông tại A)

Nên AEDF là hình chữ nhât.

1. b) ΔABC có D là trung điểm của BC và FD // AC ⇒F là trung điểm của AB.

ΔABC có D là trung điểm của BC và DE // AB ⇒E là trung điểm của AC

⇒ EFlà đường trung bình của tam giác ABC

⇒ EF//BC và 

Lại có  (Vì D là trung điểm của BC)

⇒ EF//BD và EF=BD

Vậy tứ giác BFED là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

Câu 3: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

1. a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
2. b) Chứng minh HG = GK = KE.

Giải:

1. a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)

I là trung điểm của AC (gt);

Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)

Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà  (AH là đường cao của tam giác ABC)

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

1. b) MAHC có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)

Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)

Mà HI cắt AM tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC ⇒ (1)

ΔAEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

⇒K là trọng tâm của tam giác AEC ⇒ và  (2)

HI=IE (E đối xứng với H qua I)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

Ta có:  suy ra 

Câu 4: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho ,  Tính số đo của và . 

Giải:

Trong tam giác EBC có: 

Trong tam giác ABE có: 

3. VẬN DỤNG (3 câu)

Câu 1: Tìm bốn ví dụ về hình chữ nhật trong thực tế.

Giải: 

mặt bàn học hình chữ nhật, mặt chiếc đồng hồ hình chữ nhật, cửa sổ hình chữ nhật, cái chiếu hình chữ nhật

Câu 2: 

1. a) Hãy sử dụng eke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không.
2. b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không

Giải:

1. a) Ta dùng eke kiểm tra xem ba góc của khung cửa sổ có vuông hay không, nếu có 3 góc vuông thì góc còn lại cũng sẽ vuông, do đó khung cửa sổ là hình chữ nhật
2. b) Ta dùng cuộn dây kiểm tra xem các cặp cạnh đối của khung cửa sổ có bằng nhau hay không, nếu bằng nhau thì khung cửa sổ là hình bình hành

Ta tiếp tục kiểm tra xem độ dài hai đường chéo của khung cửa sổ có bằng nhau không, nếu bằng nhau thì đó là hình chữ nhật

Câu 3. Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông, AB = 400 m, AD = 300 m. Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình 52). Tính khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D.

Giải:

Tứ giác ABCD có 3 góc A, B, D là góc vuông nên góc C còn lại cũng là góc vuông. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Suy ra:

CB = AD = 300m. Khoảng cách từ C đến B là 300m.

CD = AB = 400m. Khoảng cách từ C đến D là 400m. 

Xét tam giác vuông ADC có:. 

Vậy khoảng cách từ C đến A là 500m.

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Câu 1: Bạn Linh có một mảnh giấy dạng hình tròn. Bạn Linh đố bạn Bình: Làm thế nào có thể chọn ra 4 vị trí trên đường tròn đó để chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật? Bạn Bình đã làm như sau:

Bước 1: Gấp mảnh giấy sao cho hai nửa hình tròn trùng khít nhau. Nét gấp thẳng tạo thành đường kính của hình tròn. Ta đánh dấu hai đầu mút của đường kính đó là hai điểm A, C.

Bước 2. Sau đó lại gấp tương tự mảnh giấy đó nhưng theo đường kính mới và đánh dấu hai đầu mút của đường kính mới là hai điểm B, D. Khi đó tứ giác ABCD là hình chữ nhật (Hình 53).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Bình.

Giải:

Giải thích: Khi gấp như thế thì giao điểm của 2 đường gấp chính là trọng tâm của hình tròn. Khi đó khoảng cách từ giao điểm đó đến các vị trí đầu mút là bằng nhau. Như vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo bằng nhau (đường kính của hình tròn) và cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình chữ nhật.