BÀI 11: HÌNH THANG CÂN

(18 câu)

1. NHẬN BIẾT (7 câu)

Câu 1: Tìm các góc chưa biết của hình thang MNPQ có hai đáy là MN và QP trong mỗi trường hợp sau và nêu nhận xét của em

1. a)  và 
2. b) 

Giải:

1. a) Hình thang MNPQ (MN//PQ) có:

MNPQ là hình thang vuông. 

Suy ra và

1. b) Hình thang MNPQ (MN//PQ) có:

MNPQ là hình thang cân

Suy ra 

Câu 2: Tìm các đoạn thẳng bằng nhau trong hình thang cân MNPQ có hai đáy là MN và PQ

Giải:

MQ = NP

MP = NQ

Câu 3: Sử dụng thước đo góc và thước đo độ dài để tìm hình thang cân trong các tứ giác ở hình vẽ.

Giải:

1. a) c) là hình thang cân

Câu 4: Tìm x và y ở các hình sau.

Giải:

1. a) 
2. b) 

MN // PQ suy ra y = ngoài = (so le trong)

1. c) Ta có: 4x + 3x + 2x + x = 360osuy ra 10x=360ohay x = 36∘
2. d) Ta có: x+2x=180osuy ra 3x = 180ohay x = 60o

Câu 5. Cho tứ giác ABCD có AB = CD, BD là tia phân giác góc B. Chứng minh rằng ABCD là hình thang.

Giải:

Xét tam giác ABD có AB=AD (gt)

⇒ΔABD cân tại A ⇒  

Mà  (BD là tia phân giác của góc B)

Do đó 

Mà và so le trong 

⇒AD // BC

Vậy ABCD là hình thang.

Câu 6. Cho hình thang cân ABCD có AB//CD. Chứng mình 

Giải:

ABCD là hình thang cân nên: ; AD=BC. 

Xét tam giác ADB và tam giác BCA, ta có:

AD=BC

AB chung

tam giác ADB = tam giác BCA (c.g.c) 

(2 góc tương ứng)

Câu 7. Tứ giác nào trong hình vẽ là hình thang cân?

Giải:

1. a) Ta có: 

Mà vàlà hai góc trong cùng phía suy ra GH // KI 

⇒ GHKI là hình thang

Suy ra GHIK không là hình thang cân

1. b) Ta có: ngoài =180∘(hai góc kề bù)

Do đó  

⇒ 

Ta có

Mà  và  là hai góc trong cùng phía suy ra MQ // PN 

⇒ MQPN là hình thang

Lại có: .

Do đó MQPN là hình thang cân.

2. THÔNG HIỂU (5 câu)

Câu 1. Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AH cắt AB tại N.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác BCMN là hình thang.
2. b) Chứng mình rằng BN = MN.

Giải:

1. a) Ta có: MN⊥AH (gt)

Và BC⊥AH (AH là đường cao của tam giác ABC) ⇒MN//BC

Suy ra BCMN là hình thang

1. b) (BM là tia phân giác góc B)

Suy ra  ⇒ ΔBMN cân tại N.

Vậy BN=MN

Câu 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

1. a) Chứng minh rằng: ΔABD=ΔEBD
2. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng mình rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.
3. c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Giải:

1. a) Xét ΔABD và ΔEBD ta có:

AB = BE (gt)

BD là cạnh chung

(BD là tia phân giác của góc B)

Do đó ΔABD = ΔEBD(c.g.c)

1. b) Ta có: (ΔEBD = ΔABD)

Mà  (ΔABD vuông tại A)

Nên  ⇒ DE⊥BC

Mặt khác AH⊥BC (gt) do đó DE // AH

⇒ Tứ giác ADEH là hình thang

Lại có  (AH⊥BC)

Vậy tứ giác ADEH là hình thang vuông.

1. c) Ta có BE = BA(gt) ⇒Tam giác cân tại B.

Mà BD là tia phân giác của góc B. Do đó BD là đường cao của tam giác BAE.

Xét ΔBAE có: AH, BD là hai đường cao cắt nhau tại I 

⇒ I là trực tâm của tam giác BAE.

⇒ EF là đường cao của tam giác BAE

⇒ EF AB

Mà AC⊥AB ⇒ EF//AC

Vậy tứ giác ACEF là hình thang.

Mà . Do đó tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Câu 4: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác góc CEB.

Giải:

Xét tam giác ACD và BDC ta có:

AD = BC (gt)

AC = BD (gt)

CD chung

Suy ra ΔACD=ΔBDC (c.c.c)

⇒

Ta có: FG // CD suy ra  (đồng vị), 

(so le trong)

Suy ra  hay EG là tia phân giác góc CEB.

Câu 5. Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như hình vẽ.

1. a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.
3. c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Giải:

1. a) Vì 3 tam giác ABE, BED, BDC là các tam giác đều có cạnh bằng nhau nên:

AB//ED

BC//ED

Như vậy AB và BC cùng // với ED lại có chung điểm B nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng. (đpcm)

1. b) Xét tứ giác ACDE có: AC // DE

tứ giác ACDE là hình thang

2 cạnh bên AE = CD (đều = a)

ACDE là hình thang cân. 

1. c) Diện tích của tứ giác ACDE = Tổng diện tích của 3 tam giác ABE, BED, BDC mà 3 tam giác ABE, BED, BDC đều bằng nhau nên ta chỉ cần tính diện tích của một tam giác BED. 

Gọi BM là đường cao của tam giác BED. 

Khi đó 

Diện tích tam giác BED là: 

Diện tích của tứ giác ACDE =

3. VẬN DỤNG (5 câu)

Câu 1: Một mặt tường của chân tháp cột cờ Hà Nội có dạng hình thang cân ABCD (Hình vẽ). Cho biết . Tìm số đo  và 

Giải: 

Hình thang ABCD (AB // CD) có: 

suy ra 

Câu 2: Tứ giác EFGH có các góc cho như Hình vẽ

1. a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang
2. b) Tìm góc chưa biết của tứ giác

Giải:

1. a) Ta có: 

hay và là hai góc bù nhau

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

suy ra EH // FG

Do đó EFGH là hình thang (DHNB)

1. b) Hình thang EFGH (EH // FG) có: 

Câu 3. Một khung cửa sổ hình thang cân có chiều cao 3m, hai đáy là 3m và 1m (Hình 9). Tìm độ dài hai cạnh bên và hai đường chéo.

Giải:

Kẻ BK vuông góc với CD ta có: HK = AB, DH = CK = (3 - 1) : 2 = 1(m)

Cho tam giác AHD vuông tại H ta có:

(định lí Pythagore)

Do đó: (m)

Xét tam giác AHC vuông tại H ta có:

( định lí Pythagore)

(m)

Do đó AC = (m)

Suy ra (m)

Bài 4. Mặt cắt của một li giấy đựng bỏng ngô có dạng hình thang cân MNPQ (Hình 13) với hai đáy MN = 6 cm, PQ = 10 cm và độ dài hai đường chéo   cm. Tính độ dài đường cao và cạnh bên của hình thang.

Giải:

Ta có QH = PK = (10 - 6) : 2 = 2(cm)

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác MPH vuông tại H ta có:

suy ra  do đó MH = 8 cm

Xét tam giác MHQ vuông tại H ta có:

do đó MH = (cm)

Vậy độ dài đường cao là 8 cm, độ dài cạnh bên là cm

Câu 5: Một ô cửa số có dạng hình chữ nhật với chiêu dài là 120 cm và chiêu rộng là 80 cm. Người ta mở rộng ô cửa số đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng. 

Giải:

Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình thang cân.

Diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng: (cm2)

4. VẬN DỤNG CAO (1 câu)

Câu 1: Mặt bên của một chiếc vali (Hình 17a) có dạng hình thang cân và được vẽ lại như Hình 17b. Biết hình thang đó có độ dài đường cao là 60 cm, cạnh bên là 61 cm và đáy lớn là 92 cm. Tính độ dài đáy nhỏ

Giải:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADE vuông tại E ta có:

suy ra  do đó DE =11 cm

Kẻ BK vuông góc với BC ta có:

AB = EK, DE = KC suy ra AB = EK = 92 - 11 × 2 = 70 (cm)