ÔN TẬP CHƯƠNG III: TỨ GIÁC (PHẦN 2)

Bài 1: Tìm x và y ở các hình sau

Trả lời:

1. a) 
2. b) 

MN // PQ suy ra y =  ngoài = (so le trong)

1. c) Ta có: 4x + 3x + 2x + x = 360^osuy ra 10x=360^ohay x = 36∘
2. d) Ta có: x+2x=180^osuy ra 3x = 180^ohay x = 60^o

Bài 2: Tứ giác nào trong hình vẽ là hình thang cân? Chứng minh.

Trả lời:

1. a) Ta có: 

Mà vàlà hai góc trong cùng phía suy ra GH // KI 

⇒ GHKI là hình thang

Suy ra GHIK không là hình thang cân

1. b) Ta có: _ngoài =180^∘(hai góc kề bù)

Do đó 

⇒ 

Ta có

Mà  và  là hai góc trong cùng phía suy ra MQ // PN 

⇒ MQPN là hình thang

Lại có: .

Do đó MQPN là hình thang cân.

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O thoả mãn OA = OC và . Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

Trả lời:

Xét 2 tam giác OAD và OCB có: 

 (gt)

OA = OC (gt)

(2 góc đối đỉnh)

Tam giác OAD = tam giác OCB bằng nhau (g-c-g)

 OD = OD. 

Vậy tứ giác ABCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên sẽ là hình bình hành.

Bài 4:

1. a) Tứ giác ABCD có  thì  bằng bao nhiêu độ?
2. b) Có hay không một tứ giác có 2 góc tù và 2 góc vuông?
3. c) Có hay không một tứ giác có cả 4 góc đều là góc nhọn?

Trả lời:

1. a) Tứ giác ABCD có thì 
2. b) Không có một tứ giác nào có 2 góc tù và 2 góc vuông.
3. c) Không có một tứ giác nào mà có cả 4 góc đều là góc nhọn.

Bài 5: Lấy một tờ giấy gấp làm tư để có một góc vuông như trong Hình 16, dùng kéo cắt theo đường MN sao cho OM = ON. Mở phần giấy cắt được ra ta được một tứ giác. 

Tứ giác đó là hình gì? Giải thích kết luận của em.

Trả lời:

- Tứ giác nhận được theo nhát cắt của MN là hình thoi vì có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau.

- Nếu có thêm OM = ON thì hình thoi nhận được có hai đường chéo bằng nhau nên là hình vuông.

Bài 6: Tứ giác ABCD có góc ngoài tại đỉnh A bằng 65^∘, góc ngoài tại đỉnh B bằng 100^∘, góc ngoài tại đỉnh C bằng 60^∘. Tính số đo góc ngoài tại đỉnh D

Trả lời:

Ta có:  (hai góc kề bù)

Do đó: 

 (hai góc kề bù)

Do đó: 

 (hai góc kề bù)

Do đó: 

Tứ giác ABCD có: 

Do đó: 

Ta có  (hai góc kề bù)

Do đó 

Vậy góc ngoài tại đỉnh D bằng 

Bài 7: Cho tam giác ABC, đường cao AH. Gọi I là trung điểm của AC, E là điểm dối xứng với H qua I. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của HC, CE. Các đường thẳng AM, AN cắt HE tại G và K.

1. a) Chứng minh tứ giác AHCE là hình chữ nhật.
2. b) Chứng minh HG = GK = KE.

Trả lời:

1. a) Tứ giác AHCE có hai đường chéo AC và HE cắt nhau tại I (gt)

I là trung điểm của AC (gt);

Và I là trung điểm của HE (E đối xứng với H qua I)

Do đó tứ giác AHCE là hình bình hành.

Mà  (AH là đường cao của tam giác ABC)

Vậy tứ giác AHCE là hình chữ nhật.

1. b) MAHC có: HI là đường trung tuyến (I là trung điểm của AC)

Và AM là đường trung tuyến (M là trung điểm của HC)

Mà HI cắt AM tại G (gt)

Do đó G là trọng tâm của tam giác AHC ⇒ (1)

ΔAEC có hai đường trung tuyến AN và EI cắt nhau tại K.

⇒K là trọng tâm của tam giác AEC ⇒ và  (2)

HI=IE (E đối xứng với H qua I)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra 

Ta có:  suy ra 

Bài 8: Cho hình chữ nhật ABCD có điểm E nằm trên cạnh CD sao cho ,  Tính số đo của và .

Trả lời:

Trong tam giác EBC có: 

Trong tam giác ABE có: 

Bài 9: Cho tam giác ABC cân tại A, gọi M là trung điểm của BC. Lấy điểm D đối xứng với điểm A qua BC.

1. a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thoi.
2. b) Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC, lấy điểm O sao cho E là trung điểm của OM. Chứng minh hai tam giác AOB và MBO vuông và bằng nhau
3. b) Chứng minh tứ giác AEMF là hình thoi.

Trả lời:

1. a) Tứ giác ABCD có:

AD và BC cắt nhau tại M (gt);

M là trung điểm của BC (gt)

M là trung điểm của AD (D đối xứng với A qua BC)

Do đó tứ giác ABDC là hình bình hành

Mà AD ⊥ BC (vì D đối xứng với A qua BC)

Nên hình bình hành ABDC là hình thoi.

1. b) Tứ giác OAMB có:

OM và AB cắt nhau tại E (gt);

E là trung điểm của OM (gt)

E là trung điểm của AB (gt)

Do đó tứ giác OAMB là hình bình hành

Suy ra ,

Do đó AOB và MBO là tam giác vuông.

Xét tam giác AOB và MBO ta có:

AO = MB (OAMB là hình bình hành)

OB chung

Suy ra ΔAOB = ΔMBO (c.g.c)

1. c) Ta có  (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và  (E là trung điểm của AB)

⇒ (1)

Ta có  (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền)

Và  (F là trung điểm của AC)

⇒ (2)

AB=AC (ΔABC cân tại A)  (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra EM = EA = MF = AF

Do đó tứ giác AEMF là hình thoi.

Bài 10: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của GB và GC. Chứng minh tứ giác PQMN là hình bình hành.

Trả lời:

Theo tính chất đường trung tuyến ta có: 

-, mặt khác Q là trung điểm của GC nên GN = GQ

-, mặt khác P là trung điểm của GB nên GM = MP.

Hơn nữa, 2 góc đối đỉnh NGP và QGM bằng nhau nên khi đó 2 tam giác NGP và QGM bằng nhau (c-g-c)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NP//MQ

Tương tự 2 tam giác NGM và QGP cũng bàng nhau (c-g-c)

mà 2 góc này ở vị trí so le trong nên NM//PQ

Vậy tứ giác MNPQ có 2 cạnh đối song song nhau nên là hình bình hành (đpcm)

Bài 11:

14. a) Cạnh của một hình thoi bằng 25, một đường chéo bằng 14. Tính độ dài đường chéo còn lại.
15. b) Cho hình thoi DEFG như hình vẽ bên. Tính x.

Trả lời:

1. a) Hình thoi có và .

Áp dụng các tính chất của hình thoi, ta có

Suy ra .

1. b) Vì là hình thoi và nên .

Hơn nữa,  là phân giác của  (hình thoi ). Do đó

Bài 12: Quan sát hình vẽ, cho biết ABCD và AKCH đều là hình bình hành. Chứng minh ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Trả lời:

Gọi O là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành có: tại O

AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,

do đó O cũng là trung điểm của BC

AKCH là hình bình hành:

tại O

AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,

do đó O cũng là trung điểm của HK

Vậy ba đoạn thẳng AC, BD và HK có cùng trung điểm O.

Bài 13: Tứ giác EFGH có các góc cho như Hình vẽ

1. a) Chứng minh rằng EFGH là hình thang
2. b) Tìm góc chưa biết của tứ giác

Trả lời:

1. a) Ta có: 

 hay và là hai góc bù nhau

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía

suy ra EH // FG

Do đó EFGH là hình thang (DHNB)

1. b) Hình thang EFGH (EH // FG) có: 

Bài 14:

1. a) Hãy sử dụng eke sao cho chỉ sau ba lần đo ta có thể xác định khung cửa sổ ở Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không.
2. b) Hãy sử dụng một cuộn dây, xác định khung cửa sổ trong Hình 7 có phải là hình chữ nhật hay không

Trả lời:

1. a) Ta dùng eke kiểm tra xem ba góc của khung cửa sổ có vuông hay không, nếu có 3 góc vuông thì góc còn lại cũng sẽ vuông, do đó khung cửa sổ là hình chữ nhật
2. b) Ta dùng cuộn dây kiểm tra xem các cặp cạnh đối của khung cửa sổ có bằng nhau hay không, nếu bằng nhau thì khung cửa sổ là hình bình hành

Ta tiếp tục kiểm tra xem độ dài hai đường chéo của khung cửa sổ có bằng nhau không, nếu bằng nhau thì đó là hình chữ nhật

Bài 15: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Tia phân giác của góc B cắt AC tại D. Trên BC lấy điểm E sao cho BE = BA.

1. a) Chứng minh rằng: ΔABD=ΔEBD
2. b) Kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Chứng mình rằng tứ giác ADEH là hình thang vuông.
3. c) Gọi I là giao điểm của AH với BD, đường thẳng EI cắt AB tại F. Chứng minh rằng tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Trả lời:

1. a) Xét ΔABD và ΔEBD ta có:

AB = BE (gt)

BD là cạnh chung

 (BD là tia phân giác của góc B)

Do đó ΔABD = ΔEBD(c.g.c)

1. b) Ta có: (ΔEBD = ΔABD)

Mà  (ΔABD vuông tại A)

Nên 

Mặt khác  (gt) do đó DE // AH

⇒ Tứ giác ADEH là hình thang

Lại có  ()

Vậy tứ giác ADEH là hình thang vuông.

1. c) Ta có BE = BA(gt) ⇒Tam giác cân tại B.

Mà BD là tia phân giác của góc B. Do đó BD là đường cao của tam giác BAE.

Xét ΔBAE có: AH, BD là hai đường cao cắt nhau tại I 

⇒ I là trực tâm của tam giác BAE.

⇒ EF là đường cao của tam giác BAE

⇒ EF  AB

Mà AC⊥AB ⇒ EF//AC

Vậy tứ giác ACEF là hình thang.

Mà . Do đó tứ giác ACEF là hình thang vuông.

Bài 16: Cho hình thang cân  có , .  là tia phân giác của góc . Tính các cạnh của hình thang biết chu vi hình thang bằng  cm.

Trả lời:

 Gọi  đều.

, .

Có  là tia phân giác của góc D

 cân tại A.

; .

Chu vi hình thang là .

Vậy  cm,  cm.

Bài 17: Cho hình vuông . Gọi ,  lần lượt là trung điểm của , . Chứng minh:

1. a) . b) .

Trả lời:

1. a) Có (c.g.c)  (cạnh tương ứng)
2. b) (cmt)

=>  (góc tương ứng), ta có:

 .

Bài 18: Cho tam giác , qua điểm  thuộc cạnh , kẻ các đường thẳng song song với  và , cắt  và  theo lần lượt ở  và .

1. a) Tứ giác là hình gì?
2. b) Điểm ở vị trí nào trên thì  là hình thoi.

Trả lời:

1. a) Tứ giác có và  nên là hình bình hành.
2. b) Để hình bình hành là hình thoi thì là phân giác của góc .

1. b)

Bài 19: Cho hình bình hành MNPQ có MN = 2 MQ và . Gọi I, K lần lượt là trung điểm của MN, PQ và A là điểm đối xứng của Q qua M.

1. a) Tứ giác MIKQ là hình gì? Vì sao?
2. b) Chứng minh tam giác đều.
3. c) Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật.

Trả lời:

1. a) Vì Tứ giác  là hình thoi.
2. b) Tam giác có nên cân tại  và  nên   là tam giác đều.
3. c) Dễ dàng nhận thấy tứ giác là hình bình hành. Vì tam giác là tam giác đều nên . Vậy tam giác  có  là đường trung tuyến và  nên tam giác  là tam giác vuông tại  (trong tam giác vuông trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền). Vậy hình bình hành  có một góc vuông nên tứ giác  là hình chữ nhật.

Bài 20: Bạn Hoa vẽ tam giác ABC lên tờ giấy sau dó cắt một phần tam giác ở phía góc C (Hình 44). Bạn Hoa đố bạn Hùng: Không vẽ lại tam giác ABC, làm thế nào tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB?

Bạn Hùng đã làm như sau:

- Qua điểm A kẻ đường thẳng d song song với BC, qua điểm B kẻ đường thẳng d' song song với AC;

- Gọi E là giao điểm của d và d';

- Đo độ dài các đoạn thẳng AE, BE và đo góc AEB. Từ đó, tính được độ dài các đoạn thẳng AC, BC và số đo góc ACB (Hình 45).

Em hãy giải thích cách làm của bạn Hùng.

Trả lời:

Giải thích: Hùng làm như vậy thì tứ giác ACBE sẽ là hình bình hành (có các cặp cạnh đối song song).

Khi đó đoạn thẳng AC = BE, AE = BC.

Góc ACB = góc AEB (cặp góc đối nhau trong hình bình hành ACBE)

(Các đoạn thẳng BE và AE, góc AEB có thể đo được)