ÔN TẬP CHƯƠNG III: TỨ GIÁC (PHẦN 3)

Bài 1: Quan sát tứ giác ABCD ở Hình vẽ và đọc tên các cạnh, các đường chéo, các đỉnh, các góc của tứ giác đó.

Trả lời:

Tứ giác ABCD có:

- Các cạnh: AB, BC, CD, AD

- Các đường chéo: AC, BD

- Các đỉnh: A, B, C, D

- Các góc: ABC, ADC, BCD, BAD

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có M là trung điểm của cạnh BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA. Chứng minh tứ giác ABDC là hình chữ nhật và

Trả lời:

Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA  M là trung điểm của AD. Tứ giác ABCD có 2 đường chéo là AD và BC cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên là hình bình hành. Lại có góc A vuông nên là hình chữ nhật (đpcm)

 2 đường chéo AD = BC. Mà  nên (đpcm )

Bài 3: Hình 62 mô tả một ô lưới mắt cáo có dạng hình thoi với độ dài của hai đường chéo là 45 mm và 90 mm. Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là bao nhiêu milimét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)?

Trả lời:

Độ dài cạnh của ô lưới mắt cáo đó là: 

(mm)

Bài 4: Cho hình thoi ABCD có AC = BD. Chứng minh ABCD là hình vuông.

Trả lời:

ABCD là hình thoi nên:

- Có các góc đối bằng nhau. Suy ra:

- 4 cạnh bằng nhau. 

=> ABCD có 4 góc vuông và 4 cạnh bằng nhau nên là hình vuông.(đpcm)

Bài 5: Mặt trước của một công trình xây dựng được làm bằng kính có dạng hình bình hành EFGH với M là giao điểm của hai đường chéo (Hình 6). Cho biết EF = 40 m, EM = 36 m, HM = 16 m. Tính độ dài cạnh HG và độ dài hai đường chéo.

Trả lời:

EFGH là hình bình hành suy ra HG = EF = 40 m

EG = 2EM = 2 36 = 72 (m)

HF = 2HM = 2  16 =32 (m)

Bài 6: Cho tam giác nhọn ABC có AH là đường cao. Tia phân giác của góc B cắt AC tại M. Từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AH cắt AB tại N.

1. a) Chứng minh rằng tứ giác BCMN là hình thang.
2. b) Chứng mInh rằng BN = MN.

Trả lời:

1. a) Ta có: (gt)

Và  (AH là đường cao của tam giác ABC) ⇒MN//BC

Suy ra BCMN là hình thang

1. b) (BM là tia phân giác góc B)

Suy ra  ⇒ ΔBMN cân tại N.

Vậy BN=MN

Bài 7: Tứ giác ABCD có số đo . Tính số đo các góc của tứ giác đó.

Trả lời:

Tứ giác ABCD có:  

hay 

Vậy 

Bài 8: Cho hình bình hành  (). Tia phân giác của góc  cắt  ở , tia phân giác của góc  cắt  ở .

1. a) Chứng minh
2. b) Tứ giác là hình gì?

Trả lời:

1. a) Vì là hình bình hành nên

Vì  là phân giác góc   nên .

Vì  là phân giác góc   nên .

Mà  ( so le trong ).

Do đó  (đồng vị).

Vì  nên . Xét tứ giác  có

Vậy tứ giác  là hình bình hành.

Bài 9: Một khu vườn có dạng tứ giác ABCD với các góc A, B, D là góc vuông, AB = 400 m, AD = 300 m. Người ta đã làm một cái hồ nước có dạng hình tròn, khi đó vị trí C không còn nằm trong khu vườn nữa (Hình 52). Tính khoảng cách từ vị trí C đến mỗi vị trí A, B, D.

Trả lời:

Tứ giác ABCD có 3 góc A, B, D là góc vuông nên góc C còn lại cũng là góc vuông. Vậy ABCD là hình chữ nhật. Suy ra:

CB = AD = 300m. Khoảng cách từ C đến B là 300m.

CD = AB = 400m. Khoảng cách từ C đến D là 400m. 

Xét tam giác vuông ADC có:.

Vậy khoảng cách từ C đến A là 500m.

Bài 10: Một mặt tường của chân tháp cột cờ Hà Nội có dạng hình thang cân ABCD (Hình vẽ). Cho biết . Tìm số đo  và 

Trả lời:

Hình thang ABCD (AB // CD) có: 

suy ra 

Bài 11: Cho hình bình hành ABCD có AC vuông góc với AD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh tứ giác AECF là hình thoi.

Trả lời:

Hình bình hành  có  và .

Suy ra .

 vuông tại  có  là đường trung tuyến,

nên .

 vuông tại  có  là đường trung tuyến

nên .

Lại có  (do  là hình bình hành),

Vậỵ , hay  là hình thoi.

Bài 12: Ta có tứ giác ABCD với AB = AD, CB = CD (Hình vẽ) là hình "cái diều".

1. a) Chứng minh rằng AC là đường trung trực của BD
2. b) Cho biết . Tính  và 

Trả lời:

1. a) Ta có: AB = AD (gt) A thuộc đường trung trực của BD

CB = CD (gt)  C thuộc đường trung trực của BD.

Vậy AC là đường trung trực của BD.

1. b)  Xét ∆ ABC và ∆ADC có:

AB = AD (gt)

CB = CD (gt)

AC chung

nên ∆ ABC = ∆ADC (c.c.c)

Suy ra 

Ta có: 

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, kẻ AH vuông góc với BD tại H và CK vuông góc với BD tại K (Hình vẽ)

1. a) Chứng minh tứ giác AHCK là hình bình hành
2. b) Gọi I là trung điểm của HK. Chứng minh IB = ID

Trả lời:

1. a)  Xét tam giác vuông DKC và BHA ta có:

DC = AB( hbh ABCD)

 ( hbh ABCD, AB//DC)

Suy ra ΔDKC=ΔBHA ( ch-gn) CK=AH

Ta có : ; CK ⊥ DB

CK//AH

Xét tứ giác AKCH có:

CK//AH(cmt)

CK=AH( cmt)

 AKCH là hình bình hành ( DHNB)

1. b) AKCH là hình bình hành suy ra AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường, do đó I là trung điểm của AC

ABCD là hình bình hành suy ra AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường , do đó I là trung điểm của BD hay IB = ID

Bài 14: Mặt bên của một chiếc vali (Hình 17a) có dạng hình thang cân và được vẽ lại như Hình 17b. Biết hình thang đó có độ dài đường cao là 60 cm, cạnh bên là 61 cm và đáy lớn là 92 cm. Tính độ dài đáy nhỏ

Trả lời:

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác ADE vuông tại E ta có:

suy ra  do đó DE =11 cm

Kẻ BK vuông góc với BC ta có:

AB = EK, DE = KC suy ra AB = EK = 92 - 11 2 = 70 (cm)

Bài 15: Cho hình 21. Chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình thoi.

Trả lời:

E, F lần lượt là trung điểm của AB và BC

⇒EF là đường trung bình của tam giác ABC

⇒EF//AC và  (1)

H, G lần lượt là trung điểm của AD và DC

⇒HG là đường trung bình của tam giác ACD

⇒HG//ACvà  (2)

Từ (1) và (2) ⇒EF//HGvà EF=HG

Vậy tứ giác EFGH là hình bình hành.

Tứ giác ABCD có AB=CDvà AD=BC⇒ Tứ giác ABCD là hình bình hành.

Mà  ⇒ ABCD là hình chữ nhật.

Xét ΔEBFvà ΔCGFcó :

EB=EC(gt)

BF=FC(gt)

⇒ΔEBF=ΔGCF(c.g.c)⇒EF=GF

Chứng minh tương tự ta có GF=GH,GH=EF⇒EF=GF=GH=EH

Do đó tứ giác EFGH là hình thoi.

Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD có hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O. Gọi M,N lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC. Chứng minh.

Trả lời:

Tứ giác MBNO có 3 góc vuông là OMB, MBN và ONB nên góc còn lại là NOM cũng là góc vuông. Vậy MBNO là hình chữ nhật. 

MO = BN (1)

MO//BN (hay MO//CN) (2)

N là hình chiếu của O trên BC nên NB=NC (3)

Từ (1) và (3)  MO = NC. kết hợp với (2) suy ra OMNC là hình bình hành (tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)

 MN = OC. Mà O là giao điểm 2 đường chéo của hình chữ nhật ABCD nên . Vậy (đpcm)

Bài 17: Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD, E và F là giao điểm của AK và CI với BD.

1. a) Chứng minh tứ giác AKCI là hình bình hành.
2. b) Chứng minh rằng DE = EF = FB.

Trả lời:

1. a) Ta có:

 (I là trung điểm của AB),

 (K là trung điểm của CD)

Và AB=CD(ABCD là hình bình hành)

⇒AI=CK

Mà AI // CK (AB//CD,I∈AB,K∈CD)

Do đó tứ giác AICK là hình bình hành.

1. b) ΔABEcó I là trung điểm của AB và IF//AE

Nên F là trung điểm của EB ⇒BF=EF (1) 

ΔDCFcó EK // FC và K là trung điểm của CD

Nên E là trung điểm của DF ⇒DE=EF (2)

Từ (1) và (2) suy ra DE=EF=BF

Bài 18: Cho hình bình hành , gọi  là giao điểm của hai đường chéo. Gọi  và  lần lượt là trung điểm của , . Kẻ  vuông góc với  tại ,  vuông góc với  tại . Chứng minh ba điểm , ,  thẳng hàng và các đường thẳng , ,  đồng quy.

Trả lời:

Vì  là hình bình hành nên .

Vì .

Ta có (1).

Ta có  (cạnh huyền - góc nhọn)

(2) .

Từ   và  suy ra tứ giác  là hình bình hành.

Xét hình bình hành  có  là trung điểm của .

Suy ra  là giao điểm hai đường chéo của của hình bình hành .

 thẳng hàng.

Do đó  cùng đi qua .

Hay  đồng quy.

Bài 19: Cho hình thoi ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên cạnh AB, BC, CD, DA lấy theo thứ tự các điểm M, N, P, Q sao cho AM = CN = CP = AQ. Chứng minh:

1. a) M, O, P thẳng hàng và N, O, Q thẳng hàng;
2. b) Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Trả lời:

1. a) Tứ giác có và  (hình thoi ) nên là hình bình hành.

Mà  là trung điểm  (hình thoi ) nên  là trung điểm .

Tứ giác  có  và  (hình thoi ) nên là hình bình hành.

Mà  là trung điểm  (vì hình thoi ) nên  là trung điểm .

Vậy , ,  thẳng hàng và , ,  thẳng hàng.

1. b) Tứ giác có cắt  tại trung điểm  của mỗi đường nên là hình bình hành.

Hình thoi  có  là phân giác của  và , suy ra  và

Do đó  hay , hay  là hình chữ nhật.

Bài 20: Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao điểm hai đường thẳng AC và BD. Qua điểm O vẽ đường thẳng song song với AB cắt hai cạnh AD, BC lần lượt tại M, N. Trên AB, CD lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Gọi I là giao điểm của AC và PQ. Chứng minh:

1. a) Các tứ giác AMNB, APCQ là hình bình hành;
2. b) Ba điểm M, N, I thẳng hàng;
3. c) Ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy.

Trả lời:

1. a) Vì là hình bình hành nên .

Vì .

Xét tứ giác  có

 Tứ giác  là hình bình hành.

Xét tứ giác  có .

 Tứ giác  là hình bình hành.

1. b) Vì là hình bình hành.

Mà  là giao điểm của  và  suy ra  và  trùng nhau.

Do đó  thẳng hàng.

1. c) Ta có là giao điểm của và .

Mà  thẳng hàng.

Vậy ba đường thẳng  đồng quy.