ÔN TẬP CHƯƠNG III: TỨ GIÁC (PHẦN 4)

Bài 1: Tìm số đo các góc chưa biết của tứ giác trong hình

Giải:

Tổng các góc trong tứ giác bằng  nên ta có:

1. a) Trong tứ giác ABCD: 
2. b) Trong tứ giác MNPQ: 
3. c) Trong tứ giác STUV: 
4. d) Trong tứ giác EFGH: 

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB // CD. Qua giao điểm E của AC và BD, ta vẽ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC lần lượt tại F và G (Hình 16). Chứng minh rằng EG là tia phân giác góc CEB.

Giải:

Xét tam giác ACD và BDC ta có:

AD = BC (gt)

AC = BD (gt)

CD chung

Suy ra (c.c.c)

⇒

Ta có: FG // CD suy ra  (đồng vị), 

(so le trong)

Suy ra  hay EG là tia phân giác góc CEB.

Bài 3:

Bài 4: Người ta ghép ba hình tam giác đều có độ dài cạnh là a với vị trí như hình vẽ.

1. a) Chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng.
2. b) Chứng minh tứ giác ACDE là hình thang cân.
3. c) Tính diện tích của tứ giác ACDE theo a.

Giải:

1. a) Vì 3 tam giác ABE, BED, BDC là các tam giác đều có cạnh bằng nhau nên:

 AB//ED

 BC//ED

Như vậy AB và BC cùng // với ED lại có chung điểm B nên 3 điểm A, B, C thẳng hàng. (đpcm)

1. b) Xét tứ giác ACDE có: AC // DE

 tứ giác ACDE là hình thang

2 cạnh bên AE = CD (đều = a)

ACDE là hình thang cân. 

1. c) Diện tích của tứ giác ACDE = Tổng diện tích của 3 tam giác ABE, BED, BDC mà 3 tam giác ABE, BED, BDC đều bằng nhau nên ta chỉ cần tính diện tích của một tam giác BED. 

Gọi BM là đường cao của tam giác BED.

Khi đó 

Diện tích tam giác BED là: 

Diện tích của tứ giác ACDE =

Bài 5: Cho tam giác ABC. Từ một điểm E trên cạnh AC vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB tại F và đường thẳng song song với AB cắt CD tại D. Giả sử AE = BF. Chứng minh:

1. a) Tam giác AED cân; b) AD là phân giác của góc A.

Lời giải

1. a) Vì .

Vì .

 Tứ giác  là hình bình hành.

Mà  (gt) Tam giác  cân.

Vì tam giác  cân tại  nên .

Vì  (so le trong).

.

 là tia phân giác của góc .

Bài 6: Một ô cửa số có dạng hình chữ nhật với chiêu dài là 120 cm và chiêu rộng là 80 cm. Người ta mở rộng ô cửa số đó bằng cách tăng độ dài cạnh dưới về hai bên, mỗi bên 20 cm (mô tả ở Hình 29). Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình gì? Tính diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng.

Giải:

Sau khi mở rộng thì ô cửa số đó có dạng hình thang cân.

Diện tích của ô cửa số đó sau khi mở rộng: (cm²)

Bài 7: Cho hai mảnh giấy, mỗi mảnh có dạng hình vuông với độ dài cạnh là 1 dm. Hãy trình bày cách cắt ghép hai mảnh giấy đó để được một hình vuông có độ dài cạnh là  dm.

Giải:

Cách làm:

- Gấp đôi mỗi mảnh giấy có dạng hình vuông theo đường kẻ chéo như hình đầu tiên, đường kẻ này sẽ có độ dài là dm (đúng với định lý pythagore). Sau đó dùng kéo cắt theo đường kẻ này ta sẽ có 4 mảnh giấy hình tam giác như nhau. 

- Xếp 4 mảnh giấy tam giác này lại sao cho đường cắt của 4 mảnh tạo thành 4 cạnh của hình vuông mới, lúc này cạnh của hình vuông mới sẽ là dm

Bài 8: Cho hình vuông ABCD, trên các cạnh AB, BC, CD, DA lần lượt lấy M, N, P, Q sao cho . Chứng minh MNPQ là hình vuông.

Lời giải

Bốn tam giác , , ,  bằng nhau    Tứ giác  là hình thoi.

Có  nên .

Mặt khác,   .

Vậy hình thoi  có một góc vuông nên tứ giác  là hình vuông.

Bài 9: Cho hình thang cân  có ,  là giao điểm của hai đường chéo,  là giao điểm của hai đường thẳng chứa cạnh bên  và . Chứng minh

1. a) , ;
2. b) là đường trung trực của hai đáy hình thang .

Lời giải

1. a) Do là hình thang cân

.

 Xét  và  có

• ( là hình thang cân);
• ( là hình thang cân);
• là cạnh chung.

.

 (cặp góc tương ứng).

Suy ra  cân tại .

Chứng minh tư tương tự với .

1. b) , cân tại

,  thuộc trung trực ,     (1)

Mà ;  (cmt)  thuộc trung trực ,   (2)

Từ  và  là đường trung trực của , .

Bài 10: Cho tam giác ABC, phân giác AD. Qua D kẻ đường thẳng song song với AC cắt AB tại E, qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt AC tại F. Chứng minh EF là phân giác của .

Lời giải

Tứ giác  có  và

nên là hình bình hành.

Mặc khác đường chéo  là phân giác của

nên  là hình thoi.

Do đó đường chéo  là phân giác của .

Bài 11: Hình 20 mô tả mặt cắt dọc phân nổi trên mặt nước của một chiếc tàu thuỷ. Tính chu vi mặt cắt dọc phân nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó (làm tròn kết quả đến hàng phần mười của mét)

Giải:

- Cạnh AB của mặt cắt là:

=(m)

- Cạnh BC của mặt cắt là: (m)

- Cạnh AD của mặt cắt là: (m)

Vậy chu vi mặt cắt dọc phân nổi trên mặt nước của chiếc tàu thuỷ đó là:

AB+BC+CD+DA = 48,9+19,5+24+10,1 = 102,5 (cm)

Bài 12: Một viên gạch trang trí có dạng hình thoi với độ dài cạnh là 40 cm và số đo một góc là 60° (Hình 63). Diện tích của viên gạch đó là bao nhiêu centimet vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Giải:

Tam giác ABC có AB = BC (2 cạnh của hình thoi) nên là tam giác cân tại B. Lại có góc B = 60∘ nên ABC là tam giác đều => AC = 40cm. 

Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Khi đó: OA = 12AC = 20cm. 

Trong tam giác AOB có:

Diện tích tam giác cm²

=> Diện tích viên gạch có dạng hình thoi như trên sẽ là: 2. 692 = 1 384cm²

Bài 13: Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo. Trên AB lấy điểm K, trên CD lấy điểm I sao cho . Chứng minh rằng ba điểm K, O, I thẳng hàng và các đường thẳng  đồng quy.

Lời giải

Vì  là hình bình hành nên .

Xét tứ giác  có

 Tứ giác  là hình bình hành.

Xét hình bình hành  có  là trung điểm .

Suy ra  là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành , ,  thẳng hàng.

Hay , ,  đồng quy.

Bài 14: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên các cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM song song với BC (). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Lời giải

Ta có: Tam giác  vuông cân tại  nên .

,    hay .

Do đó tam giác  vuông tại  và

 nên  là tam giác vuông cân tại   .

Mà   . Và   .

Do đó  là hình bình hành. Hình bình hành  có .

  là hình chữ nhật.

Bài 15: Cho hình thang  (, ) có đường chéo  vuông góc với cạnh bên ,  là tia phân giác góc  và .

1. a) Chứng minh là hình thang cân;
2. b) Tính độ dài cạnh , biết chu vi hình thang bằng

Lời giải

1. a) Gọi . Tam giác có vừa là phân giác vừa là đường cao nên  cân tại .

Lại có  nên  là tam giác đều. Suy ra  là hình thang cân.

1. b) Theo phần là trung điểm ,  là đường trung bình trong .

 Lại có  là hình thang cân .

 Mà .

Do chu vi hình thang  là

 cm.

Bài 16: Cho tứ giác ,  là trung điểm của cạnh . Qua  kẻ đường thẳng song song với  cắt  ở . Qua  kẻ đường thẳng song song với  cắt  ở . Qua  kẻ đường thẳng song song với  cắt  ở .

1. a) Chứng minh tứ giác là hình bình hành.
2. b) Tứ giác cần thêm điều kiện gì để tứ giác là hình chữ nhật.

Lời giải

1. a) Có và nên tứ giác  là hình bình hành vì có các cặp đối song song với nhau.
2. b) Để tứ giác là hình chữ nhật thì hay  vì  và . Vậy điều kiện để tứ giác  là hình chữ nhật thì tứ giác  phải có hai đường chéo vuông góc.

Bài 17: Cho hình bình hành  có , . Gọi ,  theo thứ tự là trung điểm của , . Vẽ  đối xứng với  qua .

1. a) Tứ giác là hình gì? Vì sao?
2. b) Chứng minh tứ giác là hình thang cân.
3. c) Chứng minh là hình chữ nhật.
4. d) Tính góc .

Lời giải

1. a) Vì Tứ giác  là hình thoi.
2. b) Dễ thấy , ;  đều. Do đó,  suy ra  là hình thang cân.
3. c) là hình thoi. Suy ra là đường phân giác trong của .

Có  và  hay . Vậy tứ giác  là hình bình hành vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Thấy rằng  vừa là đường trung tuyến, phân giác của . Suy ra  hay   Tứ giác  là hình chữ nhật vì là hình bình hành có một góc vuông.

Bài 18: Cho hình thang vuông  có  và , kẻ  vuông góc với .

1. a) Chứng minh rằng tứ giác là hình vuông.
2. b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh đối xứng với  qua .
3. c) Kẻ vuông góc với . cắt ,  tại  và . Chứng minh tứ giác  là hình thoi.

Lời giải

1. a) là hình vuông vì là hình chữ nhật và có hai cạnh kề bằng nhau.
2. b) Có và nên tứ giác  là hình bình hành.   là trung điểm của . Vậy  đối xứng với  qua .
3. c) Có (c.g.c) nên ; (c.g.c) nên .

Lại có  (cùng phụ với góc )   (vì ). Vậy  (g.c.g)    Tứ giác  là hình thoi vì có bốn cạnh bằng nhau.

Bài 19: Cho tam giác  vuông tại , đường trung tuyến . Gọi  là trung điểm của ,  là điểm đối xứng của  qua .

1. a) Chứng minh đối xứng với qua đường thẳng .
2. b) Các tứ giác , là hình gì? Vì sao?
3. c) Tam giác vuông cần thêm điều kiện gì thì tứ giác là hình vuông?

Lời giải

1. a) Ta có: M trung điểm BC; D trung điểm AB (gt) => MD là đường trung bình của tam giác ABC => MD // AC

Vì  nên    đối xứng với  qua đường thẳng .

1. b) Có và cắt nhau tại trung điểm  của mỗi đường nên tứ giác  là hình bình hành.  . Vậy tứ giác  cũng là hình bình hành vì có  hay  và .
2. c) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau nên là hình thoi. Để hình thoi là hình vuông thì cần điều kiện . Vì tứ giác  là hình bình hành nên . Vậy nếu  suy ra . Lúc này tam giác  cân tại . Vậy để tứ giác  là hình vuông thì tam giác vuông  cần thêm điều kiện  hay tam giác  vuông cân tại .

Bài 20: Cho hình vuông .  là điểm trên cạnh ,  là điểm trên tia đối của tia  sao cho .

1. a) Chứng minh tam giác vuông cân.
2. b) Gọi là trung điểm của . Chứng minh thuộc .
3. c) Lấy điểm đối xứng với qua . Chứng minh tứ giác  là hình vuông.

Lời giải

1. a) ; . Dễ thấy   . Do đó,  là tam giác vuông cân tại .
2. b) Chứng minh . Do đó nằm trên đường trung trực của . Mà là đường trung trực của  (tính chất hình vuông ) nên .
3. c) Vì là tam giác vuông cân nên . Hơn nữa và  nên  . Vậy tứ giác  là hình vuông.