ÔN TẬP CHƯƠNG IV: ĐỊNH LÍ THALES (PHẦN 1)

Bài 1: Hãy chỉ ra các cặp đường thẳng song song với nhau trong mỗi hình dưới đây.

Trả lời:

1. a) Ta có:  và , suy ra 

Theo định lí Thales đảo trong tam giác ABC, ta có: MN // BC

1. b) Ta có:  và , suy ra 

Theo định lí Thales đảo trong tam giác ABC, ta có: A'B' // AB

mà hai góc ở vị trí so le trong suy ra A''B'' // AB'

Bài 2: Tính độ dài x trong Hình 7

Trả lời:

1. a) Trong tam giác ABC , ta có AD là đường phân giác góc A, suy ra  nên 

Suy ra 

1. b) Trong tam giác EFG , ta có EH là đường phân giác góc E, suy ra  nên 

Suy ra 12x=18(20−x) ⇒

1. c) Trong tam giác PQR , ta có RS là đường phân giác góc R, suy ra  nên 

Suy ra 

Bài 3: Cho MN là đường trung bình của mỗi tam giác ABC trong Hình 9. Hãy tìm giá trị x trong mỗi hình

Trả lời:

1. a) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2 MN suy ra x = 12
2. b) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có: BC = 2MN suy ra 2x + 3 = 14 suy ra x = 
3. c) Xét tam giác ABC có MN là đường trung bình ta có:

BC = 2MN suy ra 58=2(5x−1)⇒58=10x−2⇒x=6

Bài 4: Quan sát Hình 22, chứng minh rằng MN // BC

Trả lời:

Ta có: ;

Suy ra 

Theo định lí Thales đảo, ta có: MN // BC

Bài 5: Tam giác ABC có AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm. Đường phân giác của góc BAC cắt BC tại D. Qua D vẽ DE // AB (E∈AC)

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng DB, DC và DE
2. b) Chứng minh ABC là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác ABC
3. c) Tính diện tích các tam giác ADB, ADE và DCE

Trả lời:

1. a) Trong tam giác ABC, ta có: AD là đường phân giác góc BAC

Suy ra:  (tính chất đường phân giác)

Mà AB = 15 (cm); AC = 20 (cm)

Nên 

Suy ra:  =1515+20 (tính chất tỉ lệ thức)

Suy ra: 

Nên: 

Do đó,  (cm)

Xét tam giác ABC có: DE // AB, theo hệ quả định lí Thales ta có:

suy ra , vậy cm

1. b) Xét tam giác ABC ta có: AB = 15 cm, AC = 20 cm, BC = 25 cm,

nên

suy ra tam giác ABC vuông tại A

 (cm²)

1. c) Kẻ AH⊥BC ta có:

Suy ra  (cm²)

Suy ra  (cm²)

 (cm²)

Bài 6: Trong Hình 8, cho biết JK = 10 cm, DE = 6.5 cm, EL = 3.7 cm. Tính DJ, EF, DF, KL

Trả lời:

D là trung điểm của JK suy ra 

E là trung điểm của JL suy ra JL = 2EL = 2 . 3,7 = 7,4 (cm)

Trong tam giác JKL có D, E lần lượt là trung điểm của JK và JL suy ra DE là đường trung bình của tam giác JKL suy ra KL = 2DE = 2 . 6,5 = 13 (cm)

Tương tự, ta có: EF là đường trung bình của tam giác JKL

suy ra  (cm)

DF là đường trung bình tam giác JKL

Suy ra DF =  cm.

Bài 7: Để đo chiều cao AC của một cột cờ, người ta cắm một cái cọc ED có chiều cao 2m vuông góc với mặt đất. Đặt vị trí quan sát tại B, biết khoảng cách BE là 1,5m và khoảng cách AB là 9m.

Tính chiều cao AC của cột cờ. 

Trả lời:

Xét ∆ ABC có

AC // ED ( AC ⊥ AB , ED ⊥ AB)                     

   (hệ quả của định lí Ta – lét)      

⇒ AC = 12 (m)

Vậy chiều cao AC của cột cờ là 12m.          

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB //CD) có E và F lần lượt là trung điểm hai cạnh bên AD và BC. Gọi K là giao điểm của AF và DC (Hình 12).

1. a) Tam giác FBA và tam giác FCK có bằng nhau không? Vì sao?
2. b) Chứng minh EF // CD // AB
3. c) Chứng minh 

Trả lời:

1. a) Xét tam giác FBA và FCK ta có:

 (hai góc đối đỉnh)

FB = FC (gt)

 (AB // CD, hai góc so le trong)

Suy ra 

1. b)  suy ra FA = FK

Xét tam giác ADK có: EA = ED, FA = FK, suy ra EF là đường trung bình tam giác ABC nên EF // DK

Mà AB // CD suy ra EF//CD//AB

1. c) EF là đường trung bình tam giác ADK suy ra 

Mà CK = BA (do ) nên 

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 3 cm, AC = 4 cm. Đường phân giác của góc A cắt BC tại D.

1. a) Tính BC, DB, DC
2. b) Vẽ đường cao AH. Tính AH, HD và AD

Trả lời:

1. a) Tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore ta có: 

 suy ra BC = 5 cm

AD là tia phân giác góc A nên  suy ra 

⇒

⇒ (cm),

do đó  (cm)

1. b) Ta có: 

⇒ (cm)

Tam giác ABH vuông tại H nên:

Ta có:  (cm)

Tam giác ADH vuông tại H nên:

 (cm)

Bài 10: Quan sát Hình 24, chỉ ra các cặp đường thẳng song song và chứng minh điều ấy.

Trả lời:

1. a) Ta có: , theo định lí Thales đảo ta có: IJ//NP

Tương tự, ta có:  suy ra JK // MN;  suy ra IK //MP

1. b) Ta có: ;

 nên 

 theo định lí Thales đảo ta có: MN // BC

Tương tự, ta có:  suy ra NP // AB

Bài 11: Cho tam giác ABC nhọn. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, AC, BC. Kẻ đường cao AH. Chứng minh rằng tứ giác MNPH là hình thang cân.

Trả lời:

Xét tam giác ABC ta có:

M là trung điểm của AB (gt) ;

N là trung điểm của AC (gt) ;

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒MN//BC

⇒ Tứ giác MNPH là hình thang.

Xét tam giác ABC ta có 

M là trung điểm của AB (gt) ;

P là trung điểm của BC

⇒MP là đường trung bình của tam giác ABC ⇒

ΔACH vuông tại H có HN là trung tuyến (N là trung điểm của AC)⇒NH=12AC. Mà MP=12AC(cmt)

⇒NH=MP

Hình thang MNPH (MN//PH) có MP=NH nên là hình thang cân.

Bài 12: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Đường phân giác của góc AMB cắt AB tại D và đường phân giác của góc AMC cắt AC tại E (Hình 8). Chứng minh DE // BC 

Trả lời:

Xét tam giác ABM có MD là đường phân giác góc AMB suy ra 

Xét tam giác ACM có ME là đường phân giác góc AMC suy ra 

Mà MB = MC, do đó: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Bài 13: Giữa hai điểm B và C có một hồ nước (xem hình bên). Biết DE = 45 m. Làm thế nào để tính được khoảng cách giữa hai điểm B và C

Trả lời:

Theo kiến thức bài trước:

Xét tam giác ABC ta có: , theo định lí Thales đảo ta có: DE // BC

Suy ra , vậy BC = 2DE = 90 (m)

Sau khi học xong bài này:

Ta có: D, E là trung điểm của AB và AC nên DE là đường trung bình của tam giác ABC suy ra  vậy BC = 2DE = 90 (m)

Bài 14: Với số liệu được ghi trên HÌnh 21. Hãy tính khoảng cách CD từ con tàu đến trạm quan tắc đặt tại điểm C

Trả lời:

Ta có: 

mà hai góc ở vị trí đồng vị nên CD // BE

Theo hệ quả định lí Thales ta có:

suy ra  vậy CD = 360

Khoảng cách từ con tàu đến trạm quan trắc là 360m

Bài 15: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh

Trả lời:

AD là đường phân giác

BE là đường phân giác

CF là đường phân giác

Bài 16: Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh:

1. a) EFGH là hình thoi. b) AC, BD, EG, FH đồng quy.

Trả lời:

1. a) có là đường trung bình nên  và .

 có  là đường trung bình nên  và .

Suy ra  và . Do đó  là hình bình hành.

Hơn nữa,  có  là đường trung bình nên .

Mà  (hình chữ nhật ) nên , suy ra  là hình thoi.

1. b) Vì là hình chữ nhật nên và .

Do đó tứ giác  là hình bình hành.

Mà  là trung điểm của đường chéo  (trong hình chữ nhật ).

Nên  cũng là trung điểm của đường chéo .

Hoàn toàn tương tự, ta cũng chứng minh được  là hình bình hành.

Và suy ra  cũng là trung điểm của đường chéo .

Vậy , , ,  đồng quy tại .

Bài 17: Quan sát Hình 25 và chứng minh x=aha′−a

Trả lời:

Xét tam giác ABC có BC⊥AB′,B′C′⊥AB′ suy ra BC// B'C', theo hệ quả định lí Thales ta có:

suy ra 

⇒a′x=a(x+h)⇒a′x−ax=ah⇒x(a′−a)=ah⇒

Bài 18: Cho hình thang cân  có hai đường chéo  và  cắt nhau tại . Gọi  lần lượt là trung điểm của  và . Biết rằng , đáy lớn  cm.

1. a) Tính độ dài đoạn thẳng .
2. b) Chứng minh .

Trả lời:

1. a) Vì nên .

Suy ra  nên .

Vậy .

1. b) Vì nên

 suy ra .

Vậy .

Bài 19: Cho tam giác ABC có  cm,  cm,  cm. Đường phân giác góc A cắt BC tại D.

1. a) Tính độ dài các đoạn thẳng BD, DC.
2. b) Tính tỉ số diện tích hai tam giác ABD và ACD.

Trả lời:

1. a) Áp dụng tính chất đường phân giác trong góc A. Ta có

        (1)

Mặt khác .     (2)

Từ  và  ta có tính được  cm và  cm.

1. b) Gọi AH là đường cao kẻ từ A của và là diện tích . Ta có

;

 và  .

Suy ra

 và  .

Do đó .

Bài 20: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. Đường thẳng qua I cắt các đường thẳng BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F sao cho D E nằm cùng phía đối với điểm I . Chứng minh rằng:

Trả lời:

Áp dụng tính chất đường phân giác trong và ngoài của tam giác, ta có:

Ta có:

Ta có:

Từ (1) và (2) cộng vế với vế, suy ra: