ÔN TẬP CHƯƠNG XI: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (PHẦN 1)

Bài 1: Cho Δ ABC có AB = 8cm, AC = 6cm, BC = 10cm. Tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC có độ dài cạnh lớn nhất là 25 cm. Tính độ dài các cạnh còn lại của Δ A'B'C'?

Trả lời:

Ta có Δ ABC ∼ Δ A'B'C'

Bài 2: Cho hình thang ABCD có AB//CD,  , DB = 6cm và . Tính độ dài CD.

Trả lời:

Xét DABD và DBDC

;  (so le trong)

Þ  (g – g)

Þ

Bài 3: Cho hình vẽ. Tính

Trả lời:

Xét tam giác ABC vuông tại A. Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Vậy

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 20cm. Kẻ AH vuông góc với BC. Biết BH = 9cm, HC = 16cm. Tính độ dài cạnh AB, AH?

Trả lời:

Ta có BC = HB + HC = 9 + 16 = 25 (cm)

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Py – ta – go ta có

BC² = AB² + AC² ⇒ AB² = BC² - AC² = 25² - 20² = 225 ⇒ AB = 15cm

Xét tam giác ABH vuông tại H, theo định lí Py – ta – go ta có

HB² + HA² = AB² ⇒ AH² = AB² - HB² = 15² - 9² = 144 ⇒ AH = 12cm

Vậy AH = 12cm, AB = 15cm

Bài 5: Trong những cặp hình dưới đây, cặp hình nào là hai hình đồng dạng?

Trả lời:

Các cặp hình đồng dạng là: Cặp hình a) và i); Cặp hình b) và e); Cặp hình d) và h) ; Cặp hình c) và g).               

Bài 6: Cho hình thang ABCD có AB//CD, AB = 4cm , DB = 6cm và . Tính độ dài CD.

Trả lời:

Xét DABD và DBDC

;  (so le trong)

Þ DABD ~ DBDC (g – g)

Þ

Bài 7: Cho hình vẽ dưới đây với OA = 5cm, OB = 16cm, OC = 8cm, OD = 10cm.

Chứng minh tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD.

Trả lời:

Xét hai tam giác OCB và ODA, ta có

Góc O chung

Vậy tam giác OCB đồng dạng với tam giác OAD (c.g.c)

Bài 8: Cho hình thang ABCD (AB // CD), AC cắt DB tại O. Chứng minh

OA . OD = OB . OC?

Trả lời:

Vì AB // CD theo hệ quả talet cho DODC

Þ OA . OD = OB . OC

Bài 9: Tính các độ dài BD, BC biết AB = 2cm, AD = 3cm, CD = 8cm.

Trả lời:

Vì nên  tức là

Ta có nên  suy ra

Bài 10: Cho ABC vuông tại A có AK là đường cao AB = 12cm, AC = 16cm.

1. a) Chứng minh
2. b) Chứng minh

Trả lời:

1. a) Xét (g.g)
2. b) Xét (g.g)

Bài 11: Cho  vuông tại A (AB < AC). Kẻ lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC.

1. a) Chứng minh:
2. b) Chứng minh:
3. c) Lấy M đối xứng với A qua E, tia NH cắt cạnh AC tại N.

Chứng minh:  và EF//HN

Trả lời:

1. a) Xét

  =>  

1. b) Có: EAFH là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Lại có:

=>

Xét  =>  (g.g)

1. c) Ta có:

=>

Do  EF//MN

Bài 12: Cho  thuộc cạnh BC sao cho . Kẻ MH//AC ; MK//AB

1. a) Tính độ dài MB, MC biết BC = 25cm
2. b) Tính chu vi khi biết chu vi bằng 30cm
3. c) Chứng minh:

Trả lời:

1. a) Ta có:
2. b) Ta có MK//AB (1)

1. c) Ta có HM//AC (gt) (c.c.c) (2)

Từ (1)(2) =>  =>

Bài 13: Cho tam giác ABC vuông tại A, điểm D thuộc cạnh BC. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của D trên AB, AC

1. a) Chứng minh: và
2. b) Chứng minh:

Trả lời:

1. Ta có MD//AC vì MD, AC cùng vuông góc với AB và DN//AB vì DN, AB cùng vuông góc với AC, nên:

 và

2. Vì và

 =>

Bài 14: Cho hai tam giác ABC và MNP đồng dạng với nhau. Biết  và chu vi tam giác ABC là 60cm . Tính chu vi tam giác MNP?

Trả lời:

Do tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP nên

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

Vậy

Bài 15: Cho tứ giác ABCD có ; ; ; ; . Chứng minh rằng tứ giác là hình thang.

Trả lời:

Ta có

Do đó

 (c.c.c)

 Mà hai góc ở vị trí so le trong

Do đó suy ra   Tứ giác ABCD là hình thang. 

Bài 16: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, lấy điểm D bất kì thuộc BC, một đường thẳng vuông góc với BC tại D cắt các đường thẳng AC và AB lần lượt tại E và F.

1. a) Chứng minh DB.DC = DE.DF
2. b) Gọi AH là đường cao của  , biết HB = 3cm, HC = 12cm. Tính đường cao AH.

Trả lời:

1. a) Ta có  (cùng phụ với  )

Do đó hai tam giác vuông BDF đồng dạng với tam giác EDC (g.g)

1. b) Ta có   (cùng phụ với  )

Do đó tam giác AHB đồng dạng với tam giác CHA (g.g)

Bài 17: Một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 26cm và có độ dài các cạnh góc vuông tỉ lệ với 5 và 12. Tính độ dài các cạnh góc vuông?

Trả lời:

Gọi độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là Theo định lí Py – ta – go ta có:

Theo bài ra ta có:

Khi đó ta có:

Vậy độ dài các cạnh góc vuông lần lượt là 10 cm và 24 cm

Bài 18: Hình nào đồng dạng phối cảnh với tam giác OBC?

Trả lời:

Quy ước mỗi ô vuông có cạnh bằng 1cm. Sử dụng thước đo để đo độ dài các cạnh của tam giác.

Ta có  nên tam giác ONP đồng dạng phối cảnh với tam giác OBC với tỉ số .

Bài 19: Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây 15m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6m?

Trả lời:

Gọi chiều cao của cây là h = A'C' và cọc tiêu AC = 2m.

Khoảng cách từ chân đến mắt người đo là DE = 1,6m.

Cọc xa cây một khoảng A'A = 15m, và người cách cọc một khoảng AD = 0,8m và gọi B là giao điểm của C'E và A'A.

Ta có A’C’ ⊥ A’B, AC ⊥ A’B, DE ⊥ A’B ⇒ A’C’ // AC // DE.

Ta có

 mà AC = 2m, DE = 1,6m nên

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau suy ra

⇒ BD = 0,8.4 =3,2m; AB = 5.0,8 = 4m.

⇒ A'B = A'A + AD + DB = 15 + 0,8 + 3,2 = 19m

+

Vậy cây cao 9,5m.

Bài 20: Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Trên cạnh OA lấy điểm D sao cho . Qua D vẽ các đường thẳng  song song với AB, AC lần lượt cắt OB, OC tại E và F

1. a) Chứng minh

b)Tính độ dài DE, AB biết hiệu độ dài hai cạnh đó là 12cm

1. c) Tính chu vi của DEF, biết rằng tổng chu vi của ABC và DEF là 120cm.

Trả lời:

1. a) Ta có suy ra

 (1)

Tương tự:   (2)

Do đó  ( theo định lí Ta let đảo)

  (3)

Từ (1) và (2); (3) suy ra

 ( c.c.c)

1. b) Ta có mà

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau có

1. c) Ta có tỉ số về chu vi bằng tỉ số đồng dạng

 theo tỉ số đồng dạng

Do đó

Mà theo giả thiết