ÔN TẬP CHƯƠNG XI: TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG (PHẦN 2)

Bài 1: Chứng minh 2 tam giác ABC và DEF đồng dạng và viết các cặp góc bằng nhau, nếu biết một trong các trường hợp sau

1. a) AB = 4cm, BC = 6cm, AC = 5cm, DE = 10cm, DF = 12cm, EF = 8cm.
2. b) AB = 24cm, BC = 21cm, AC = 27cm, DE = 28cm, DF = 36cm, EF = 32cm.
3. c) AB = DE = 12cm, AC = DF = 18cm, BC = 27cm, EF = 8cm.

Trả lời:

1. a) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
2. b) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:
3. c) Ta chia các cặp cạnh theo thứ tự từ nhỏ đến lớn:

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi M là trung điểm của AB, kẻ MH vuông góc với BC tại H. Chứng minh rằng CH² - BH² = AC²

Trả lời:

Nối C với M ta được tam giác vuông CMH

Áp dụng định lí Py – ta – go ta có

Do đó CH² - BH² = (CM² - MH²) - BH² = CM² - (MH² + BH²) = CM² - BM²

Mà MA = MB (gt)

Nên CH² - BH² = CH² - MA² = AC²

Vậy CH² - BH² = AC²

Bài 3: Hình nào đồng dạng với hình a) trong các hình sau? Chứng minh.

Trả lời:

* Xét tỉ số đồng dạng của hình a) và hình b) ta có

Vậy a) và b) không phải là cặp hình đồng dạng.

* Xét tỉ số đồng dạng của hình a) và hình c) ta có

Vậy a) và c) là cặp hình đồng dạng.

* Xét tỉ số đồng dạng của hình a) và hình d) ta có

Vậy a) và d) không phải là cặp hình đồng dạng.

Bài 4: Tính độ dài đoạn thẳng trong các hình sau

1. b)

Trả lời:

1. a) đều
2. b) vuông cân tại . Theo định lí Py – ta – go ta có:

.

Vậy  

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD. Lấy điểm F trên BC, tia DF cắt AB tại G.

1. a) Chứng minh
2. b) Biết AB = 6cm, AD = 5cm, CF = 3cm. Tính độ dài AG?
3. c) Chứng minh:

Trả lời:

1. Ta có BG//DC nên:
2. Vì nên:

Từ đó ta có:  

1. Ta có: BF//AD nên . Lại có:nên:

 =>  hay AG.CF = CD.AD

Bài 6: Tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số, biết chu vi của tam giác ABC bằng 40 cm. Chu vi của tam giác MNP là?

Trả lời:

Vì tam giác ABC đồng dạng với tam giác MNP theo tỉ số  nên

Bài 7: Cho tứ giác ABCD, có , , , ,

1. a) Tính góc
2. b) Chứng minh
3. c) Chứng minh .

Trả lời:

1. a) Ta có , suy ra tam giác ABD vuông tại A (Pitago đảo)
2. b) Ta có (Pitago)
3. c)

Bài 8: Cho hình thang ABCD có AB//CD. Trên AD và BC lấy 2 điểm M, N sao cho MN song song với hai đáy AB, CD.

1. a) Chứng minh rằng
2. b) Cho biết AB = 3cm, CD = 5cm và . Tính độ dài MN.

Trả lời:

1. a) Nối AC cắt MN tại I.

MI//CD nên  ( định lí Talet)

IN//AB nên  (định lí Talet)

Do đó  (đpcm)

1. b) MI//CD nên ( hệ quả định lí Talet), suy ra

IN//AB nên  (Hệ quả định lí Talet), suy ra  

Bài 9: Cho tam giác ABC, vẽ tam giác A'B'C' đồng dạng với tam giác ABC theo tỉ số đồng dạng .

Trả lời:

+) Dựng ΔADE  ΔABC theo tỉ số 

Trên AB lấy D, trên AC lấy E sao cho 

Suy ra

Khi đó theo định lý Ta - let đảo ta suy ra DE // BC

⇒ ΔADE  ΔABC theo tỉ số  (định lý)

+) Dựng ΔA’B’C’ = ΔADE

Vẽ đoạn A’B’ = AD.

Dựng góc 

Trên tia B’x lấy điểm C’ sao cho B’C’ = DE

Nối C’A’ ta được ΔA’B’C’ = ΔADE (c.g.c)

Suy ra ΔA’B’C’ đồng dạng với ΔADE theo tỉ số

Mà ΔADE  ΔABC theo tỉ số  

Suy ra ΔA’B’C’  ΔABC theo tỉ số

Bài 10: Cho Δ A'B'C' ∼ Δ A''B''C'' theo tỉ số đồng dạng k₁, Δ A''B''C'' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₂. Hỏi Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' và Δ A'B'C' ∼ Δ ABC đồng dạng theo tỉ số nào?

Trả lời:

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' là k

Ta có

Điều đó chứng tỏ Δ A''B''C'' ∼ Δ A'B'C' theo tỉ số đồng dạng là k =

Gọi tỉ số đồng dạng của Δ A'B'C' ∼ Δ ABC là k₃

Thì k₁ = , k₂ =  ⇒ k₃ =  = . = k₁.k₂

Điều đó chứng tỏ Δ A'B'C' ∼ Δ ABC theo tỉ số đồng dạng là k₃ = k₁k₂

Bài 11: Trên hình dưới đâyhãy chỉ ra các tam giác đồng dạng. Viết các tam giác này theo thứ tự các đỉnh tương ứng và giải thích vì sao chúng đồng dạng?

Trả lời:

Xét ∆ABE và ∆ADC có

 chung

+ Xét ∆FDE và ∆FBC có

+ Xét ∆ABE và ∆FDE có

 chung

Từ (1) và (3) suy ra  (4).

Từ (2) và (3) suy ra  (5).

Từ (2) và (4) suy ra  (6).

Vậy có tất cả 6 cặp tam giác đồng dạng.

Bài 12: Cho hình bình hành ABCD có AC > BD. Kẻ  và . Chứng minh:

1. a)
2. b)
3. c)

Trả lời:

1. a) Xét

=> (g.g)

=>  (1)

1. b) Tương tự ta có: (g.g) àAF = AK.AC (2)
2. c) Từ (1)(2) suy ra:

Lấy (2) + (3) ta được:  (đpcm)

Bài 13: Cho hình thoi  có . Một đường thẳng đi qua  cắt các tia ,  lần lượt tại  và .

1. a) Chứng minh .
2. b) Chứng minh , rồi suy ra .
3. c) Gọi là giao điểm của và . Tính .

Trả lời:

1. a) Ta có và nên

,   

 (g.g).

1. b) Từ câu a), ta có (do  đều)  mà .

Vậy  .

1. c) Từ kết quả câu b), ta có , từ đó ta nhận được .

Bài 14: Cho . , BC = a. Lấy điểm D trên cạnh AC sao cho . Tính độ dài AD theo a.

Trả lời:

 cân tại A;  Trên nửa măt phẳng bở BC, chứa điểm A vẽ  cân tại I thì I nằm trong . Ta có:

, AI chung.

=>

=>

=>

 vuông cân tại I, theo Pytago có:

Bài 15: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

1. a) Chứng minh OA.OD = OB.OC.
2. b) Đường thẳng qua O, vuông góc với AB, CD theo thứ tự tại H, K. Chứng minh

Trả lời:

1. a) (đpcm)
2. b)

Mà  nên

Bài 16: Bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là 4,5m. Cùng thời điểm đó, một thanh sắt cao 2,1m cắm vuông góc với mặt đất có bóng dài 0,6m. Tính chiều cao của cột điện.

Trả lời:

Kí hiệu như trên hình vẽ

Giả sử bóng của một cột điện trên mặt đất có độ dài là AC⇒ AC = 4,5m

Chiều cao thanh sắt là DE ⇒DE = 2,1m

Bóng mặt đất là DF = 0,6m

Xét hai tam giác vuông ABC và DEF có

Bài 17: Cho tam giác ABC, trực tâm H. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi O là giao điểm của các đường trung trực của tam giác, G là trọng tâm . Chứng minh:

2. a) để suy ra AH = 2.OM
3. b) Chứng minh:
4. c) Ba điểm H, G, O thẳng hàng và GH = 2.GO

Trả lời:

1. a) Ta có: MN là đường trung bình

MN//AB,

Chứng minh được:

1. b)
2. c)

=>

Bài 18: Hình nào đồng dạng phối cảnh với tam giác OAB?

Trả lời:

Quy ước mỗi ô vuông có cạnh bằng 1cm. Sử dụng thước đo để đo độ dài các cạnh của tam giác.

Ta có  nên tam giác OMN đồng dạng phối cảnh với tam giác OAB với tỉ số .

Bài 19: Cho hình vẽ bên, biết MP = 6cm, NQ = 8cm, MN = 2cm, QP = 8cm và

. Chứng minh:

Trả lời:

Qua N, dựng NH//MP với

Suy ra

Ta có: //PQ

Suy ra:

Xét

Do đó:

=> PH = MN = 2cm; NH = MP = 6cm

Khi đó:  có: cm

Ta có:

 =>

Do đó  vuông tại N (định lí Pytago) =>

Mà NH//MP nên

Bài 20: Cho  có đường cao AH, biết ;

1. a) Tính độ dài AH và chứng minh
2. b) Chứng minh

Trả lời:

1. a) Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có

Vì vuông tại H, theo định lý Pitago ta có

Ta lại có

Xét  và  có     

1. b) Ta có

Xét  và  có