Câu hỏi tự luận toán 10 chân trời sáng tạo chương 7 Bài 3: Phương trình quy về phương trình bậc hai

BÀI 3: PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương 2 vế của phương trình ta được :

x2 – 5x + 4 = x + 11

ó x2 – 6x - 7 = 0

ó (x +1)( x – 7) = 0

ó x = - 1 hoặc x = 7

Thử lại ta thấy x = -1 (thỏa mãn) ; x = 7 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm x = -1 ; x = 7

Bài 2: Giải phương trình

Trả lời:

Bình phương hai vế của phương trình ta được :

x2 + 4x + 5 = 2x2 - 6x - 6

ó x2 – 10x – 11 = 0

ó ( x – 11)( x + 1) = 0

ó x = 11 hoặc x = -1

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy phương trình có hai nghiệm x = 11 ; x = -1

Bài 3: Giải phương trình   = 2x - 4

Trả lời:

+) 2x – 4 ≥ 0 ó x ≥ 2 (1)

+) Bình phương hai vế của phương trình ta được

    11x2 – 35x – 20 = 4x2 – 16x + 16

ó 7x2 – 19x – 36 = 0

ó ( 7x + 9)(x -4) = 0

ó x =   hoặc x = 4 ( 2)

Từ ( 1) và (2) => x = 4

Thử lại ta thấy x = 4 thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm là x = 4

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Giải phương trình ( x + 1)( x + 4) – 3.  = 6

Trả lời:

( x + 1)( x + 4) – 3.  = 6

ó x2 + 5x – 2 – 3.  = 0

Đặt t =   ( t ≥ 0) => t2 = x2 + 5x + 2  => t2 – 2 = x2 + 5x

=> ( t2 – 2) – 2 – 3t = 0 ó t2 – 3t – 4 = 0 ó t = 4 hoặc t = -1 ( loại)

t = 4 =>  = 4 ó x2 + 5x + 2  = 16 ó x2 + 5x – 14 = 0 ó x = -7 ; x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {-7; 2}

Bài 2: Giải phương trình :  = |x – 4|

Trả lời:

Bình phương hai vế phương trình ta có :

3x2 – 9x – 5 = x2 – 8x + 16

ó 2x2 – x – 21 = 0

ó x = -3 hoặc x =

Thử lại ta thấy x = -3 ; x =  đều thỏa mãn

Vậy phương trình có nghiệm x = -3 hoặc x =

Bài 3: Giải phương trình :          x2 +  = 42

Trả lời:

Đặt t =  ( t ≥ 0)

=> t2 – 30 + t = 42

ó t2 + t – 72 = 0

ó ( t + 9)(t – 8) = 0

ó t = -9 (loại) ; t = 8 ( thỏa mãn)

Với t = 8 =>  = 8 ó x2 + 30 = 64 ó x2 = 34 ó x = ±

Thử lại ta thấy thỏa mãn

Vậy x = ±  là nghiệm của phương trình.

Bài 4: Giải phương trình :         ( x – 4)  = x2 - 16

Trả lời:

( x – 4)  = x2 - 16

ó ( x – 4)  = ( x – 4)( x + 4)

ó ( x – 4) [ – ( x + 4)] = 0

ó x – 4 = 0 hoặc  – ( x + 4) = 0

+) x – 4 = 0 ó x = 4

+)  – ( x + 4 ) = 0

ó  = x + 4  

ó 3x2 + 7 = x2 + 8x + 16 và x ≥ -4

ó 2x2 – 8x – 9 = 0 và x ≥ -2

ó x =  hoặc x =  và x ≥ -2

Thử lại ta thấy đều thỏa mãn

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4; ; }

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tính tổng các nghiệm của phương trình  = x2 + x - 6

Trả lời:

 = x2 + x - 6

ó x2 + x  + 6 -  – 12 = 0

ó ()2 -  – 12 = 0

ó  = -4 ( loại) hoặc  = 3

ó x2 + x + 6 = 9 ó x2 + x – 3 = 0

Theo định lý Vi -ét ta có x1+ x2 = -1

Vậy tổng hai nghiệm của phương trình bằng – 1

Bài 2 : Tìm nghiệm của phương trình  +  = 1

Trả lời:

Điều kiện 3 – x ≥ 0  và x – 9 > 0 ó x ≤ 3 và x > 9 ( vô nghiệm)

Hệ điều kiện vô nghiệm => phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải phương trình  +  = 2x – 12 + 2.

Trả lời:

Điều kiện x ≥ 3

Đặt t =  +  ( t ≥ 0)

=> t2 = 2x + 2.

Ta có phương trình : t = t2 – 12 ó t = -3 ( loại) hoặc t = 4

t = 4 => 2x + 2. = 16

ó = 8 – x

ó 8 – x ≥ 0 ; x2 – 9 = 64 – 16x + x2

ó x ≤ 8 ; x = 4,5625 ó x = 4,5625

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4,5625}

Bài 4: Tìm số giao điểm giữa đồ thị hàm số y =  và đường thẳng y = x - 3

Trả lời:

Giao điểm giữa đồ thị hàm số y =  và đường thẳng y = x – 3 là nghiệm của phương trình  = x – 3

ó 3x – 4 = ( x – 3)2 ; x – 3 ≥ 0

ó x2 – 9x + 13 = 0 ; x ≥ 3

ó x =  hoặc x =  ; x ≥ 3

ó x =  ( thỏa mãn)

Vậy đồ thị hàm số y =  và đường thẳng y = x – 3 có 1 giao điểm chung.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tỉnh tổng các nghiệm của phương trình  - 3. = 18

Trả lời:

Đặt t =  ; t ≥

Ta có phương trình : t2 – 3t +18 = 0

ó t = 6 ( thỏa mãn điều kiện) hoặc t = -3 ( không thỏa mãn)

Với t = 6 =>  = 6 ó x2 + 1247 = 1296 ó x = ± 7

Thử lại thấy thỏa mãn => tổng các nghiệm của phương trình bằng 0

Bài 2: Giải phương trình  = 1 +

Trả lời:

Đặt t =  => t3 = x + 7 => t3 – 7 = x

Ta có phương trình : t = 1 +

ó  = t – 1

ó t – 1 ≥ 0 ; t3 – 7 = t2 – 2t + 1

ó t ≥ 1 ; t3 – t2 + 2t – 8 = 0

ó t ≥ 1 ; ( t – 2)(t2 + t + 4) = 0

ó t = 2

=>  = 2 => x + 7 = 8 ó x = 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1}

Bài 3: Xét nửa đường tròn đường kính MN = 10. Xét điểm B ( không trùng hai điểm M, N) di động trên nửa đường tròn và hình chiếu của B trên đoạn MN là điểm A, vẽ hình chữ nhật ABCD với C cũng thuộc nữa đường tròn. Tìm độ dài AI biết chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 22.

Trả lời:

Đặt AI = x ( 0 < x < 5) => AD = 2x

Tam giác ABC vuông tại A => AB =

Chu vi hình chữ nhật ABCD là : 2.( AB + AD) = 22

ó 2. + 4x = 22

ó  = 11 – 2x

ó 25 – x2 = 121 – 44x + 4x2  ; 11 – 2x ≥ 0

ó 5x2 – 44x + 96 = 0 ; x ≥

ó x =  hoặc x = 4 ; x ≥

Thử lại thấy thỏa mãn

Vậy khoảng cách giữa hai điểm A và I là   hoặc 4

Bài 4 : Một công ty muốn làm một đường ống dẫn từ điểm A trên bờ đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Giá để xây đường ống trên bờ là 50000 USD /km và đường ống dưới nước là 130 000 USD/ km. Điểm B’ là điểm trên bờ biển sao cho BB’ vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến B’ là 9 km. Biết rằng chi phí làm đường ống này là 1170000 USD. Tính khoảng cách giữa vị trí A và C.

Trả lời:

Đặt B’C = x ( 0 ≤ x ≤ 9) => BC =

Tổng chi phí làm đường ống là : 50 000. (9 – x) + 130 000.  = 1 170 000

ó 5.(9 – x) + 13. = 117

ó 13. = 5x + 72

ó 5x + 72 ≥ 0 ; 169.(36 + x2 ) = 25x2 + 720x + 5184

ó x ≥  ; 144x2 – 720x + 900 = 0

ó x =

B’C =  = 2,5 => AC = 9 – 2,5 = 6,5 (km)