BÀI 2 : HÀM SỐ BẬC HAI  (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Hàm số y = ( x – 4).(x + 5) có là hàm số bậc hai không ? Nếu có hãy xác định hệ số a, b, c của hàm số.

Trả lời:

y = ( x – 4).(x + 5) = x² + x – 20 có dạng y = ax² + bx + c

=> Hàm số y = ( x – 4).(x + 5) có là hàm bậc hai với hệ số a = 1; b = 1; c = -20

Bài 2: Cho hàm số y = x² – 4x +8. Hãy xác định tập xác định và tập giá trị của hàm số.

Trả lời:

TXĐ : D = R

y = x² – 4x + 8 = ( x – 2)² +4 ≥ 4 => Tập giá trị T = [ 4 ; +)

Bài 3: Xét hàm số bậc hai y = x² - 6 . Thay dấu ? bằng các số thích hợp để hoàn thành bảng giá trị của hàm số

Trả lời:

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² + 4|x| + 3

Trả lời:

x² ≥ 0 ; | x| ≥ 0 => x² + 4|x| + 3 ≥ 3

Dấu “=” xảy ra ó x = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 3 tại x = 0

Bài 2: Vẽ parabol (P) : y = x² – 2x - 3

Trả lời:

+) Đỉnh I ( 1; -4) ; trục đối xứng x = 1

+) Giao điểm của đồ thị với trục Oy là A(0 ; -3)

+) Parabol cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình x² – 2x – 3 = 0 ó x = 3 và x = -1

Bài 3: Lập bảng biến thiên của hàm số y = -x² + 2x + 2. Hàm số này có giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị đó.

Trả lời:

Đỉnh S có tọa độ (1; 3)

Vì hàm số bậc hai có a = -1 < 0 nên ta có bảng biến thiên :

Hàm số đạt giá trị lớn nhất = 3 tại x = 1

Bài 4: Tìm parabol y = ax² + bx + c biết parabol có đồ thị như hình sau :

Trả lời:

Đồ thị hàm số cắt Oy tai điểm ( 0; -1 ) => c = -1

Đỉnh I ( 1; -3) =>  = 1 và a + b – 1 = -3

ó 2a + b = 0 ; a + b = -2

ó a = 2 ; b = -4

Vậy parabol cần tìm là y = 2x² – 4x – 1

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm giá trị của tham số m sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x² + 2mx + 5 bằng 1

Trả lời:

Hàm số có a = 1> 0 => hàm số đạt giá trị nhỏ nhất khi x =  = -m

y(-m) = 1 ó m² – 2m² + 5 = 1 ó m² = 4 ó m = ± 2

Bài 2: Tìm m để đồ thị hàm số y = x² – 2(m + 1)x + m² – 3 cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x₁; x₂ sao cho x₁.x₂ = 1

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của hàm số với trục hoành là :

x² – 2(m + 1)x + m² – 3 = 0 (*)

Parabol cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt ó (*) có 2 nghiệm phân biệt x₁.x₂ = 1

ó Δ’ = ( m + 1)² – (m² – 3) > 0 ; x₁.x₂ = m² – 3 = 1

ó m > -2 ; m = ±2 ó m = 2

Bài 3: Xác định hàm số bậc hai có đồ thị là parabol (P) : y = ax² + bx + 4 đi qua điểm A( -1; 0) và có trục đối x =

Trả lời:

(P) đi qua điểm A( -1; 0) => 0 = a.(-1)² + b.(-1) + 4 óa - b = -4 (1)

(P) có trục đối x =  =  => 5a - b = 0  (2)

Từ (1) và (2) => a = 1 ; b = 5

Vậy hàm số y = x² + 5x + 4

Bài 4 : Một quả bóng được ném vào không trung có chiều cao tính từ lúc đầu ném ra được cho bởi công thức h(t) = -t² + 2t + 3 (h tính bằng mét, t tính bằng giây, t ≥0)

1. a) Tính chiều cao lớn nhất quả bóng đạt được
2. b) Hỏi sau bao lâu quả bóng sẽ rơi xuống mặt đất ?

Trả lời:

1. a) h(t) = -t² + 2t + 3 ó h(t) = -(t – 1)² + 4 => max h(t) = h(1) = 4

Vậy quả bóng đạt chiều cao lớn nhất bằng 4m tại thời điểm t = 1 giây

1. b) Ta có : -t² + 2t + 3 = 0 ó t = -1 ( loại) hoặc t = 3 ( thỏa mãn)

Vậy sau 3 giây quả bóng sẽ rơi xuống mặt đất.

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Tìm m ≠ 0 để đồ thị hàm số y = mx² + 2mx + m² + 2m có đỉnh nằm trên đường thẳng y = x + 7

Trả lời:

Đồ thị hàm số có đỉnh I (- ; - ) => I ( -1; m² + m)

Vì đỉnh nằm trên đường thẳng y = x + 7

=> m² + m = (-1) + 7 ó m² + m – 6 = 0

ó m = 2 hoặc m = -3 ( thỏa mãn)

Bài 2: Tìm m để hàm số y = x² – 2x + 2m + 3 có giá trị nhỏ nhất trên [2; 5] bằng -3

Trả lời:

Vì y = x² – 2x + 2m + 3 có a = 1 > 0 => hàm số đồng biến trên khoảng ( 1; +)  

=> hàm số đồng biến trên đoạn [2; 5]

=> giá trị nhỏ nhất trên [2; 5] là y(2) = 2m + 3 = -3 => m = -3

Bài 3: Một cửa hàng buôn giày nhập 1 đôi với giá 30 USD. Cửa hàng ước tính rằng nếu đôi giày được bán với giá x USD thì mỗi tháng khách hàng sẽ mua ( 100 – x) đôi. Hỏi cửa hàng bán một đôi giày giá bao nhiêu thì thu được nhiều lãi nhất ?

Trả lời:

Gọi y (USD) là số tiền lãi của cửa hàng bán giày

Ta có : y = ( x – 30). (100 – x) = - x² + 130x – 3000 = - ( x – 65)² + 1225 ≤ 1225

Dấu “=” xảy ra ó x = 65

Vậy cửa hàng lãi nhiều nhất khi bán đôi giày với giá 65 USD.

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị hàm số y = mx² + 2(m – 2)x – 3m + 1 luôn đi qua hai điểm cố định.

Trả lời:

Gọi A(x_o; y_o) là điểm cố định của đồ thị hàm số y = mx² + 2(m – 2)x – 3m + 1 m

ó  m(x_o² + 2x_o – 3) – 4x_o - y_o + 1 = 0 m

ó x_o² + 2x_o – 3 = 0 và – 4x_o - y_o + 1 = 0

ó x_o = 1 ; y_o = -3 hoặc x_o = -3 ; y_o = 13

Vậy đồ thị luôn đi qua hai điểm cố định là A₁ ( 1; -3) và A₂( 3; 13) m