BÀI 3: TÍCH CỦA MỘT SỐ VỚI MỘT VECTƠ   (15 CÂU)

1. NHẬN BIẾT ( 3 CÂU)

Bài 1: Cho đoạn thẳng MN. Lấy điểm I trên đoạn thẳng MN sao cho NI = 2. MI.

Biểu diễn vectơ  , theo

Trả lời:

 =   . ;  = .

Bài 2: Cho hình bình hành HIJK. Xác định vectơ  = 7. + 7.

Trả lời:

 = 7. + 7. = 7. ( + ) = 7.

Bài 3: Cho tam giác EDF có trung tuyến FH và trọng tâm G. Biểu thị vectơ  , theo

Trả lời:

 =   . ;  = .

2. THÔNG HIỂU ( 4 CÂU)

Bài 1: Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh với mọi điểm O bất kì ta có  =  + )

Trả lời:

 =  +  ;  =  +  => 2. =  +  + (  + ) =  +

=>  =  + )

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi E, F là hai điểm được xác định như sau :  = 2.; 3. + 2. = . Biểu diễn  theo ,

Trả lời:

 =  +  = (-2). + .  

Bài 3: Cho tam giác ABC. Điểm M là trung điểm AB và N là điểm trên AC sao cho NA = 2.NC. Gọi K là trung điểm MN. Phân tích  theo ,

Trả lời:

 = . ( + ) = . ( +. ) =  + .

Bài 4 : Cho tam giác OAB với M, N là trung điểm của OA, OB. Tìm m, n sao cho  = m. + n.

Trả lời:

 =  -  =   -  .. Vậy m = 1 ; n = -

3. VẬN DỤNG ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho điểm G là trọng tâm tứ giác ABCD và A′, B′, C′ , D′ lần lượt là trọng tâm các tam giác BCD , ACD , ABD và ABC. Chứng minh rằng G là điểm chung của các đoạn thẳng AA′ , BB′ , CC′ và DD′.

Trả lời:

G là trọng tâm tứ giác ABCD =>  +  +  +  =

A’ là trọng tâm tam giác BCD =>  +  +  = 3.

=>  = (-3).  => G; A và A’ thẳng hàng

Chứng minh tương tự :  = (-3).  ;  = (-3). ;  = (-3).

=> G, B, B’ thẳng hàng ; G, C, C’ thẳng hàng ; G, D, D’ thẳng hàng

Vậy G là điểm chung của 4 đoạn AA’, BB’, CC’, DD’

Bài 2: Cho tam giác ABC . Gọi A′ là điểm đối xứng với A qua B , B′ là điểm đối xứng với B qua C và C′ là điểm đối xứng với C qua A . Chứng minh rằng các tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.

Trả lời:

 +  +  = 2. + 2. + 2. =2.( +  + ) =

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC =>  +  +  =

=>  +  +  +  +  +  =

⬄ +  +  = => G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’

Vậy hai tam giác ABC và A′B′C′ có cùng trọng tâm.

Bài 3 : Cho G là trọng tâm tam giác ABC. Biểu diễn  ;  theo  =  ;  =

Trả lời:

+) G là trọng tâm =>  +  +  =  =>  = -  -   = -  -

+)  =  -   = -  -  -  = -  - 2

+)  =  -  =  – (-  - ) = 2. +

Bài 4 : Cho ΔABC có 3 trung tuyến AM, BN, CP. Chứng minh  +  +  =

Trả lời:

Vì M, N, P là trung điểm 3 cạnh

=>  +  +  = . ( + ) + . ( + ) + . ( + )

= . ( + ) + . ( + ) + . ( + ) =

4. VẬN DỤNG CAO ( 4 CÂU)

Bài 1: Cho ΔABC , với điểm M bất kì hãy chứng minh  = + 4.  - 5.  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Trả lời:

 = + 4.  - 5.  = ( + ) + 4. ( + ) – 5.  =  +4.

=>  không phụ thuộc vào vị trí điểm M.

Bài 2: Cho tam giác ABC. Gọi A’, B’, C’ là các điểm xác định bởi 2023. + 2024.   = ; 2023. + 2024.   = ; 2023. + 2024.   = . Chứng minh hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC =>  +  +  =

2023. + 2024. =  ⬄ 2023.( +  ) + 2024.( +  ) =  

⬄ 4047. + 2023. + 2024.  =

Tương tự ta có :

4047. + 2023.+ 2024.  =
4048. + 2023.+ 2024.  =

=> 4047.( +  + ) + 2023. ( +  + ) + 2024. ( +  + ) =

⬄  +  +  =  ⬄  +  +  =

=>  +  +  +  +  +  =

⬄ +  +  = => G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’

Vậy hai tam giác ABC và A’B’C’ có cùng trọng tâm.

Bài 3: Điểm M được gọi là điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k ≠ 1. Nếu  = k. , chứng minh rằng với mọi điểm O thì  =

Trả lời:

 = k.  ⬄  = k. ( ) ⬄ ( 1 – k). =  k.

Vì k ≠ 1 =>  =

Bài 4: Một đường thẳng cắt cạnh DA, DC và đường chéo DB của hình bình hành ABCD tại E, F, M. Biết rằng  = m.  ;  = n.  (m, n > 0) . Hãy biểu diễn  qua  và m, n

Trả lời:

Đặt  = x.  ;  = y.

 =  +  =>  = x.  + x.

 =  -  =  x.  + x.  - m.  = (x-m). + x.

 =  -  = x. + (x-n).

 = y.  ⬄ (x-m). + x.  = xy. + y(x-n).

 và  không cùng phương => x – m = xy ; x = y.(x-n) => y =  ; x =

Vậy  = .